高中数学必修四1.2.1任意角三角函数 教案（2课时）

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1.2.1任意角三角函数（1）
课前自主预习
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
2、过程与方法
初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.
二、教学重、难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
三、学法与教学用具
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.
另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.
教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器
四、教学设想
第一课时 任意角的三角函数（一）
学法指导：认真阅读必修一课本11-15页，认真完成预习案，独立完成课内探究，牢记基础知识，掌握基本题型。如果有不会的问题再回去阅读课本。研究课本例题。
【学习目标】
掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义及在各象限的符号。
1.任意角的三角函数的定义：
（1）设是一个任意角，我们使角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，设它的终边上的任意一点（除原点外），它与原点的距离是在的终边上任取（异于原点的）一点（x,y）
则P与原点的距离
(2) 比值叫做的正弦 记作：
比值叫做的余弦 记作：
比值叫做的正切 记作： 以上三种函数，统称为三角函数.
注：突出探究的几个问题：
①sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余几
个符号也是这样.
②比值只与角的大小有关，与点P在终边上的位置无关。
③角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是
相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值
④实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义 适用
⑤三角函数是以“比值”为函数值的函数
⑥而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.
?2．三角函数在各象限内的符号



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3.终边相同的角的同名三角函数值间的关系（诱导公式一）
问题探究：诱导公式一的作用是什么？
课堂互动探究
Sin（2kπ+)= cos(2kπ+)=tan(2kπ+)=（k∈Z）
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例1、根据下列条件求sin α，cos α，tan α.
(1)α＝－；
(2)角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)．
【思路启迪】　(1)－的终边与单位圆的交点坐标是什么？
(2)在求|OP|时，需要对a进行分类讨论吗？


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?探究二：三角函数值符号的运用
确定下列各式的符号：
(1)sin 111°·cos 254°；
(2)sin·tan；
(3)cos 7·tan 5.
【思路启迪】　(1)如何判定角所在的象限？
(2)sin α，cos α，tan α在各象限的符号如何？


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?探究三：诱导公式一的应用
计算下列各式的值：
(1)sin (－1050°)·cos 765°＋cos (－1470°)sin 1140°；
(2)sin ＋cos ·tan 8π.
【思路启迪】　(1)将相关角表示为α＋2kπ或α＋k·360°(k∈Z)的形式，其中α∈[0,2π)或α∈[0°，360°)，则α应为多少？
(2)终边相同的角的同名三角函数值间有何关系？


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1.2.1任意角三角函数（2）
课前自主预习
学法指导：认真阅读必修一课本15-17页，认真完成预习案，独立完成课内探究，牢记基础知识，掌握基本题型。如果有不会的问题再回去阅读课本。研究课本例题。
【学习目标】
理解三角函数线的概念，会画正弦、余弦、正切线，并会运用它解决应用问题。
三角函数线：
我们已学过任意角的三角函数，给出了任意角的正弦，余弦，正切的定义。
想一想能不能用几何元素表示三角函数值？（例如，能不能用线段表示三角函数值？）
问题1： 在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看成是线段的比呢？
问题2：在三角函数定义中，是否可以在角的终边上取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简单？
问题3．有向线段，有向线段的数量，有向线段长度的概念如何。
问题4．如何作正弦线、余弦线、正切线。
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：的圆叫做单位圆。
2．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向时为正，与坐标方向时为负。
3．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.
















由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
．
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
?问题探究：当角α的终边与x轴、y轴重合时，正弦线、余弦线、正切线如何？


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课堂互助探究
探究一：作三角函数线
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例1、作出的正弦线、余弦线和正切线．
【思路启迪】　作三角函数线的步骤是什么？


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探究二：比较函数值的大小
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例2、(1)sin 1－cos 1________0(填“>”或“<”)．
(2)比较下列各组数的大小．
①cos和cos；②sin和tan.
【思路启迪】　(1)的正弦线和余弦线的大小关系如何？
(2)比较三角函数值的大小应分几步？


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探究三：解不等式
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例3、利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．
(1)sin θ≥；(2)－≤cos θ＜.
【思路启迪】　如何应用三角函数线作f(θ)＝m(－1≤m≤1)的三角函数中角的终边？


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?变式训练
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝lg(3－4sin2 x)


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（Ⅰ）









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