分式的乘除法
选择题
计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2.下列分式运算，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
4.在下列各式中：
①； ②； ③； ④
相等的两个式子是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
二、填空题
1.计算：
(1)=___________； (2) =___________
2.若，则=________
3.若，则的值为_____________
4.已知均不为0，且满足，则=___________
三、解答题
1.计算：
(1) (2) (3)
(4) (5)
(6) (7)
已知，求的值.
已知，求代数式的值.
在学习了分式的乘除法之后，老师给出了这样一道题，计算：.同学们都感到无从下手，小明将变形为，然后利用平方差公式很轻松地得出结论.知道他是怎么做的吗？
果园飘香水果超市运来凤梨和西瓜这两种水果，已知凤梨重，西瓜重，其中.售完后，两种水果都卖了540元.
请用含的代数式分别表示这两种水果的单价；
凤梨的单价是西瓜单价的多少倍？
华东师大版八年级下期学习材料 相信自己行，你就行！
第16章分式
【本章主要内容】
1.分式及其基本性质、
2.分式的运算、
3.可化为一元一次方程的分式方程、
4.零指数幂与负整指数幂
第1讲 分式的概念
知识点一、分式的概念
1.形如(是整式，且分母中必须含有_________，)的式子，叫做分式（其中叫做分式的分子，叫做分式的分母)。
（即：整式相除可写为的形式，若分母中含有字母，那么叫做分式。）
2.__________和_______统称有理式。
例：下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式？
练一练：
1.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
知识点二、分式有意义、无意义的条件
分式
例：当取什么值时，下列分式有意义？
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)
练一练：
当取什么值时，分式：（1）有意义？（2）无意义？
若分式有意义，则应满足的条件为：_____________________
当________时，分式有意义；当________时，分式无意义.
知识点三、分式值为零的条件
1.分式的值为零，则分子为零，且分母不为零,即
2.分式值的讨论：
(1)若的值为零，则；
(2)若的值为正数，则；
(3)若的值为负数，则；
(4)若的值为1，则,且；
(5)若的值为-1，则，且.
例：当取何值时，分式的值为零？
练一练：
要使分式的值为零，则的值为_____________
如果分式的值为0，那么的值是（ ）
A. B. C.1 D.1或
3.当=_______时，分式的值为1；当=______时，分式的值为-1
4.若分式的值为正数，则的取值范围是________________
5.若分式的值为整数，求整数的值.
基础知识过关及提升训练
下列式子中是分式的是（ ）
A. B. C. D.
2.分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.分式的值为0，则（ ）
A. B. C. D.
4.若分式的值是正数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.已知的值为正整数，求整数的值.
6.已知，当取何值时：
(1)的值是正数？
(2)的值是负数？
(3)的值是零？
分式及其基本性质基础过关精练
下列各式：.其中分式共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
如果分式的值为0，那么的值为（ ）
A. B.1 C.或1 D.1或0
3.下列说法正确的是（ ）
A.是整式
B.若分式的分子为零，则分式的值为零
C.对于任意实数，分式总有意义
D.将式子写成分式的形式是
4.当时，下列各式的值为0的是（ ）
A. B. C. D.
5.填一填：
(1)在分式中，当=_________时，分式无意义；当=_________时，分式值为零
(2)若的值为零，则的值是_________
(3)当时，分式的值为0，则=___________
6.当_________时，分式的值为正数
7.当_________时，分式的值为负数
8.若分式的值为负数，则的取值范围是________________
9.小明参加打靶比赛，有次打了环，次打了环，则此次打靶的平均成绩为__________环
10.某工厂有煤吨，计划每天用吨，现响应国家节能减排的号召，实际每天节约用煤吨，则这些煤实际可用__________天.
华东师大版八年级下期 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来！
分式及其基本性质 约分、通分
【知识梳理】
一、分式的基本性质
1.分式的基本性质： 分式的 与 都乘（或除以） 的整式，分式的值不变.
2.字母表示： （ 其中是不等于零的整式）。
提醒：应特别注意分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”等关键词。
3.最简分式：分子与分母没有公因式称为最简分式.
4.分式的约分：
(1)把一个分式的 与 的 约去，称为分式的约分。
(2)依据：分式的基本性质,其中为的最大公因式
(3)关键：正确找出分子与分母的公因式，其方法为：
①若分子分母都是单项式，则先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂；
②若分子或分母是多项式，则先把多项式分解因式，再找出分子、分母的公因式.
二、分式的符号法则
分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变两处，分式的值不变
用式子表示：或
三、【典例讲解】
1、利用分式的基本性质填空：
(1) (2) (3) ()
(4) (5)
分式的约分（利用分数的基本性质可以化简分数，同样，利用分式的基本性质也可以化简分式。
约分：（1）； （2）
温馨提示：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母进行_____________（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式。
分式约分的步骤：（1）_____________；（2）约去公因式；（3）写出最简分式。
【检测互评】
1、在括号内填上适当的整式.
（1）
（2）
(3)=；
(4)
2、分式、、、中是最简分式的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
化简下列分式（约分）
=
（2） =
=
（4）=
（5） =
(6）=
分式的约分专题训练
1.下列约分正确的是（ ）
A. B. C .D.
2.化简：的结果是（ ）
A. B. C. D.
3.下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
4.约分：
(1)=__________； (2)=_______； (3)=__________；
(4)=-___________； (5)=_______； (6)=__________；
(7)=_________； (8)=____________
5.约分：
6.先化简，再求值： ，其中
分式的基本性质 第三课时 通分
通分：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母分式.
通分的依据：分式的基本性质：
最简公分母：确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母
确定分式的最简公分母的方法：
(1)取各分式的分母中系数的__________
(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
(3)相同字母（或因式）的幂取指数____________
(4)所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正即为最简公分母。
5.通分的一般步骤：
(1)确定几个异分母分式的最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分式的分母；
(3)用所得到的商分别乘以各分式的分子，得出同分母分式.
6.约分和通分的区别与联系：
(1)联系：约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；
(2)区别：约分是针对一个分式来说的，可使分式得以化简；通分是针对两个或两个以上的分式来说的，可使异分母分式化为同分母分式.
【例题1】 1、求下列各组分式的最简公分母：
（1） （2）
思考归纳：当分式的分母是多项式是要确定它们的最简公分母，应首先将分母进行________
【例题2】 通分：
(1)，； (2)， ；
温馨提示：通分要想确定各分式的公分母，再利用分式的性质通分.
解：（1）与的最简公分母为，
所以＝＝， ＝＝
（2）与
最简公分母为________________，
所以＝___________________；=________________________
【检测互评】1、分式的最简公分母为------------------------，
2、分式的最简公分母为----------------------
3、将下列各组分式通分：
（1）和 （2）
（3）和 （4）
4．用“＋”或“－”填空：
(1)＝________； (2)＝________.
5．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号：
(1)＝________； (2)－＝________．
6．不改变分式的值，把分式的分子、分母的各项系数都化为整数，得________．
7．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为____________________．
8．先化简，再求值：，其中x＝5，y＝－10.
9．若x＋＝3，求的值．
归纳：分式通分的步骤：
求出最简公分母；
把各分式根据分式的基本性质化成分母相同的分式；
（3）写出通分后的分式。
注意：当分式的分母是多项式时，应先将分母进行因式分解
华东师大版八年级下册 学如逆水行舟，不进则退！
第3讲 分式性质的应用
题型一、分式的基本性质的应用
【分式中字母的取值变形对分式的值的影响】
若的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A. B. C. D.
2.把分式中的的值均扩大为原来的10倍，则分式的值（ ）
A.不变 B.为原分式值的10倍
C.为原分式值的 D.为原分式值的
【将分式的分子、分母中各项的系数化为整数】
1.不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项系数都化为整数：
(1)； (2)
2.不改变分式的值，把分式中的分子、分母中各项的系数都化为整数，使各项系数的绝对值最小，则所得的结果为_____________
题型二、求分式的值
【根据字母的值求分式的值】
先化简再求值：，其中
请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式：
【设参数求分式的值】
1.已知，求的值.
2.若，试求的值.
【运用整体思想求分式的值】
1.已知，则代数式的值为________
已知，求分式的值.
3.已知，求的值
【分式的值为整数】
1.若分式的值为整数，则整数的值可以为__________________
题型三、列分式解决实际问题
1.学校运动会上，一份奖品是两支铅笔和三个笔记本，如果买两支铅笔需要元，三个笔记本需要元，整份地购买奖品，100元恰好用完，那么100元可以买这样的奖品_________份.
【核心素养全练】
1.已知，则代数式的值为（ ）
A.1 B. C. D.
2.小明同学在解答“化简”时，给出了两种解法.
解法一：.
解法二：。
你认为他的两种解法正确吗？请说明理由.
如果把分式中的的值都缩小为原来的，那么分式的值会不会变？如果分式是，那么分式的值是否会发生变化？从中你能发现什么规律？
阅读下面的解题过程，并解答后面的问题
已知，求的值.
解：，
，即
请你借鉴上面的方法解下面的题目：
已知，求的值.
华东师大版八年级下册 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！
分式的乘除法1
【知识梳理】
1.分式的乘法法则：
两个分式相乘，把______________________作为积的分子，把_________________作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简，即：
注意：分式与分式相乘，如果分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式化为最简分式或整式；如果分子、分母是多项式，可对分子、分母分解因式，经约分后，再进行乘法运算.
2.分式的除法法则：
两个分式相处，把除式的___________和__________颠倒位置后再与_________相乘，即
注意：分式的除法运算可以转化为分式的乘法运算，若除式（或被除式）是整式，则可把它看作分母是1的“分式”，然后按分式的除法法则运算.
3.分式的乘方
分式乘方，要把分子、分母分别乘方。即：
注意：
分式的乘方法则中，字母分别表示分子与分母，它们是整式（不一定是数），指数表示因式的个数；
分式乘方时，必须给分式加上括号
【典型例题】
计算：
一、细心选一选
1.若 ，则 中应填（ ）
A. B. C. D.
2.使代数式有意义的的值是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.计算：的结果为（ ）
A. B. C. D.
5.如果从一捆粗细均匀的电线上截取1长的一段，称得它的质量为，再称得剩余电线的质量为，那么原来这捆电线的总长度是（ ）
A. B. C. D.
二、认真填一填
1.化简：
(1)=____________； (2)=____________；
(3)=_________； (4)=____________.
2.计算：=_____________
3.若，则=_____________
三、解答题
1.计算：
(1) (2)
(4)
(5) (6)
(8)
(9) (10)
化简代数式，并判断当满足不等式组时该代数式的符号
3.已知，求的值.
4.课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当分别为时，求代数式的值.小明一看，心想：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请写出你具体的过程.
分式的乘除法2
选择题
计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2.下列分式运算，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
4.在下列各式中：
①； ②； ③； ④
相等的两个式子是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
二、填空题
1.计算：
(1)=___________； (2) =___________
2.若，则=________
3.若，则的值为_____________
4.已知均不为0，且满足，则=___________
三、解答题
1.计算：
(1) (2) (3)
(4) (5)
(6) (7)
已知，求的值.
已知，求代数式的值.
在学习了分式的乘除法之后，老师给出了这样一道题，计算：.同学们都感到无从下手，小明将变形为，然后利用平方差公式很轻松地得出结论.知道他是怎么做的吗？
果园飘香水果超市运来凤梨和西瓜这两种水果，已知凤梨重，西瓜重，其中.售完后，两种水果都卖了540元.
请用含的代数式分别表示这两种水果的单价；
凤梨的单价是西瓜单价的多少倍？
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第4讲 分式的加减
知识点一、同分母分式的加减法
法则:同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.
用式子表示：
注意：同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号.
例1：计算
(2)
知识点二、异分母分式的加减法
法则:异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.
用式子表示：
注意：异分母分式相加减的一般步骤：
约分：各分式中有可以约分的先进行约分；
通分：将异分母分式化为同分母分式；
写成分母不变分子相加减的形式；
分子化简：将分子进行去括号、合并同类项等；
将结果化为最简分式或整式.
例2：计算：
(1) (2)
知识点二、分式的四则混合运算
分式的四则混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右的顺序进行.
例3：计算
(1) (2)
题型一、分式的乘除、加减混合运算
1.按运算顺序进行混合运算
计算：
(1) (2)
2.巧用运算律进行计算
计算：
巧用因式分解进行计算
计算：
题型二、分式的化简求值
化简求值
先化简：，然后在中选择一个你认为合适的值，代入求值.
用整体思想求分式的值
已知，求代数式的值.
题型三、分式运算与方程的综合
已知的计算结果是，求常数的值.
已知，则
题型四、分式运算的实际应用
某工程队计划修建一条长1200的公路，由于采取了新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加15，从而缩短了工期，设原计划每天修建公路.
(1)原计划修建这条公路需要多少天？实际修建公路用了多少天》
(2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？
题型五、分式的规律探究题
观察式子：
=____________；
=_________；
猜想：
如果要计算的值，你能根据发现的规律表示出的值
