必修二第一章空间几何体章末复习（Word版教案）
文档属性
| 名称 | 必修二第一章空间几何体章末复习（Word版教案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 292.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-20 11:36:50 | ||
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文档简介
章末复习
1．空间几何体的结构特征
(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行．
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．
这三种几何体都是多面体．
(2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面．
(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．
2．空间几何体的三视图与直观图
(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；
它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．
注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．
(2)斜二测画法为：
主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：(1)画轴；(2)画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；(3)截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．
三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量．
3．几何体的侧面积和体积的有关计算
(1)柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式
面积 体积
圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h
圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h ＝πr2
圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h ＝π(r＋r＋r1r2)h
直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh
正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh
正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h
球 S球面＝4πR2 V＝πR3
(2)在处理有关体积问题时可以利用等体积变换法．
即当所给三棱锥的体积套用公式某一量(面积或高)不易求出时，利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面，可以转换为底面面积和高都易求的方式计算．
(3)补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法．由台体的定义知，在某种情况下，我们可以将台体补全成锥体来研究其体积．
(4)割补法：在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体体积之比时，经常要用到割补法，割补法是割法与补法的总称．补法是把不熟悉的(或复杂的)几何体延伸或补加成熟悉的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形，如长方体、正方体等．割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体或体积易求的几何体．割与补是对立统一的，是一个问题的两个方面．
4．球与其他几何体形成的组合体问题
球与其他几何体组成的组合体通常在试题中以相切或相接的形式出现，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，从而将空间问题转化成平面问题．
题型一 三视图与直观图
三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．
例1 将正方体如图(1)所示截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
答案 B
解析 还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．
跟踪演练1 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
答案 B
解析 所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有B选项符合．
题型二 几何体的表面积与体积
几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．
例2 如图(1)所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC－A′B′C′的体积．
解 连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．
设所求体积为V，显然三棱锥A′－ABC的体积是V.
而四棱锥A′－BCC′B′的体积为Sa，
故有V＋Sa＝V，即V＝Sa.
跟踪演练2 (2013·课标全国Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
答案 A
解析 将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解．
原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×2＋π×22×4＝16＋8π.
题型三 转化与化归思想
转化思想在本章应用较多，也是本章的难点，主要体现在以下几个方面：
(1)曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段
(2)等积变换，如三棱锥转移顶点等．
(3)复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等．
例3 如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．
解 如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥．
连接MB′，P、Q分别为圆台的上、下底面的圆心．
在圆台的轴截面中，
∵Rt△OPA∽Rt△OQB，
∴＝，
∴＝.
∴OA＝20(cm)．
设∠BOB′＝α，
由扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，
得2×10×π＝2×OB×π×，
即20π＝2×(20＋20)π×，
∴α＝90°.
∴在Rt△B′OM中，
B′M＝
＝＝50(cm)，
即所求绳长的最小值为50 cm.
跟踪演练3 圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为( )
A．10 cm B. cm
C．5 cm D．5 cm
答案 B
解析 如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A到C的线段的长．
∵AB＝BC＝5，
∴A′B＝＝×2π×＝π.
∴A′C＝＝＝5＝
(cm)．
课堂小结
研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．
另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决．
1．空间几何体的结构特征
(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行．
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．
这三种几何体都是多面体．
(2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面．
(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．
2．空间几何体的三视图与直观图
(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；
它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．
注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．
(2)斜二测画法为：
主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：(1)画轴；(2)画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；(3)截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．
三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量．
3．几何体的侧面积和体积的有关计算
(1)柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式
面积 体积
圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h
圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h ＝πr2
圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h ＝π(r＋r＋r1r2)h
直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh
正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh
正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h
球 S球面＝4πR2 V＝πR3
(2)在处理有关体积问题时可以利用等体积变换法．
即当所给三棱锥的体积套用公式某一量(面积或高)不易求出时，利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面，可以转换为底面面积和高都易求的方式计算．
(3)补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法．由台体的定义知，在某种情况下，我们可以将台体补全成锥体来研究其体积．
(4)割补法：在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体体积之比时，经常要用到割补法，割补法是割法与补法的总称．补法是把不熟悉的(或复杂的)几何体延伸或补加成熟悉的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形，如长方体、正方体等．割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体或体积易求的几何体．割与补是对立统一的，是一个问题的两个方面．
4．球与其他几何体形成的组合体问题
球与其他几何体组成的组合体通常在试题中以相切或相接的形式出现，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，从而将空间问题转化成平面问题．
题型一 三视图与直观图
三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．
例1 将正方体如图(1)所示截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
答案 B
解析 还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．
跟踪演练1 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
答案 B
解析 所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有B选项符合．
题型二 几何体的表面积与体积
几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．
例2 如图(1)所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC－A′B′C′的体积．
解 连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．
设所求体积为V，显然三棱锥A′－ABC的体积是V.
而四棱锥A′－BCC′B′的体积为Sa，
故有V＋Sa＝V，即V＝Sa.
跟踪演练2 (2013·课标全国Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
答案 A
解析 将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解．
原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×2＋π×22×4＝16＋8π.
题型三 转化与化归思想
转化思想在本章应用较多，也是本章的难点，主要体现在以下几个方面：
(1)曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段
(2)等积变换，如三棱锥转移顶点等．
(3)复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等．
例3 如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．
解 如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥．
连接MB′，P、Q分别为圆台的上、下底面的圆心．
在圆台的轴截面中，
∵Rt△OPA∽Rt△OQB，
∴＝，
∴＝.
∴OA＝20(cm)．
设∠BOB′＝α，
由扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，
得2×10×π＝2×OB×π×，
即20π＝2×(20＋20)π×，
∴α＝90°.
∴在Rt△B′OM中，
B′M＝
＝＝50(cm)，
即所求绳长的最小值为50 cm.
跟踪演练3 圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为( )
A．10 cm B. cm
C．5 cm D．5 cm
答案 B
解析 如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A到C的线段的长．
∵AB＝BC＝5，
∴A′B＝＝×2π×＝π.
∴A′C＝＝＝5＝
(cm)．
课堂小结
研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．
另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决．