必修二第二章点线面位置关系章末复习（Word版教案）

章末复习




1．线线关系
空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．
两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．
(1)证明线线平行的方法
①线线平行的定义；
②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
③线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；
④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b；
⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.
(2)证明线线垂直的方法
①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；
②线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b；
③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b.
2．线面关系
直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种．
(1)证明直线与平面平行的方法
①线面平行的定义；
②判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α；
③平面与平面平行的性质：α∥β，a?α?a∥β.
(2)证明直线与平面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②判定定理1：?l⊥α；
③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；
④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α?a⊥β；
⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.
3．面面关系
两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．
(1)证明面面平行的方法
①面面平行的定义；
②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a?α，b?α，
a∩b＝A?α∥β；
③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β?α∥β；
④公理4的推广：α∥γ，β∥γ?α∥β.
(2)证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；
②面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.
4．证明空间线面平行或垂直需注意的三点
(1)由已知想性质，由求证想判定．
(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．
(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．
5．“升降维”思想
用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决．用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法．
平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程．

题型一　空间中的平行关系
在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．如下图所示是平行关系相互转化的示意图．

例1　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

解　

当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝PB.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD.又OF?平面PMD，PD?平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA綉PB，∴PF綉MA.∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.

跟踪演练1　如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．

(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.
证明　(1)

由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
(2)连接OG并延长交AC于点M，
连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．
由Q为PA中点，得QM∥PC，
又O为AB中点，得OM∥BC.
因为QM∩MO＝M，QM?平面QMO，MO?平面QMO，BC∩PC＝C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，
所以平面QMO∥平面PBC.
因为QG?平面QMO，所以QG∥平面PBC.
题型二　空间中的垂直关系
空间垂直关系的判定方法：
(1)判定线线垂直的方法：
①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；
②线面垂直的性质(若a⊥α，b?α，则a⊥b)．
(2)判定线面垂直的方法：
①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)；
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α?a⊥α)；
④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)．
(3)面面垂直的判定方法：
①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
例2　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
证明　(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，
CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD?平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.
跟踪演练2　(2014·黄石高一检测)如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边△ADB以AB为轴转动．

(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
解　(1)取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝＝2.

(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：①当D在平面ABC内时，
因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，
所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
题型三　空间角的计算
空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角(简称线线角、线面角、面面角)．
用直接法：求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．
(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．
例3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2.

(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；
(2)证明平面PDC⊥平面ABCD；
(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
(1)解　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC.故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．

又因为AD⊥PD，在Rt△PDA中，tan∠PAD＝＝2，
所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2.
(2)证明　由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD.
又因为AD⊥PD，CD∩PD＝D，所以AD⊥平面PDC.
而AD?平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.
(3)解　在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.
由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．
在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2，可得∠PCD＝30°.
在Rt△PEC中，PE＝PCsin 30°＝.
由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.
在Rt△PCB中，PB＝＝.
在Rt△PEB中，sin∠PBE＝＝.
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.
跟踪演练3　
如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：

(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．
解　(1)∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.
又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，sin∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成角的度数为30°.
(2)

如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝，
AE＝＝，
∴tan∠OAE＝＝.
(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，
∴OC⊥平面AOB.
又∵OC?平面AOC，
∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.
题型四　等价转化思想
通过添加辅助线或面，将空间几何问题转化为平面几何问题，这是一种降维转化思想．
线线、线面、面面的位置关系可以相互转化，使它们建立联系，揭示本质．
点面距、线面距、面面距、点线距之间也可相互转化．例如求点面距时，可沿平行线平移，找到一个合适的点求点面距离，这就体现了“点面距→线面距→点面距”的转化思想．
例4　如图所示，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，沿对角线BD将△ABD折起，使点A移至点P，P在平面BCD内的射影为O，且O在DC上．
(1)求证：PD⊥PC；
(2)求二面角P－DB－C的平面角的余弦值．

(1)证明　P在平面BCD内的射影为O，
则PO⊥平面BCD，
∵BC?平面BCD，∴PO⊥BC.
∵BC⊥CD，CD∩PO＝O，∴BC⊥平面PCD.
∵DP?平面PCD，∴BC⊥DP.
又∵DP⊥PB，PB∩BC＝B，∴DP⊥平面PBC.
而PC?平面PBC，∴PD⊥PC.
(2)解　△PBD在平面BCD内的射影为△OBD，
且S△PBD＝×6×2＝6，
S△OBD＝S△CBD－S△BOC＝6－×2×OC.

在Rt△DPC中，
PC2＝DC2－DP2＝24.
设OC＝x，则OD＝6－x，
∴PC2－OC2＝DP2－DO2，
即24－x2＝12－(6－x)2.解得x＝4.
∴S△BOD＝6－4＝2.
过点P作PQ⊥DB，连接OQ，则DB⊥平面OPQ，
∴∠OQP即为二面角P－DB－C的平面角，
∴cos∠OQP＝＝＝.
所以二面角P－DB－C的平面角的余弦值为.




跟踪演练4　如图所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G.

(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；
(2)求点D1到平面B1EF的距离．
(1)证明　连接AC.
∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是正方形，

∴AC⊥BD.
又AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，故AC⊥平面BDD1B1，∵E，F分别为棱AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1，
又∵EF?平面B1EF，
∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
(2)解　由(1)平面B1EF⊥平面BDD1B1且交线为B1G，
所以作D1H⊥B1G于H，则D1H⊥平面B1EF，
即D1H为D1到平面B1EF的距离．
∵B1D1∥BD，∴∠D1B1H＝∠B1GB，
∴sin∠D1B1H＝sin∠B1GB＝＝.
△D1B1H中，D1B1＝4，sin∠D1B1H＝，
∴D1H＝＝.

转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为