2019-2020学年陕西省渭南市临渭区高二第一学期（上）期末数学文科试卷 解析版

2019-2020学年高二第一学期期末数学（文科）试卷
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a5+a7＝16，则a6＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．命题””的否定是（　　）
A． B．
C． D．
3．设P＝2a（a﹣2）+3，Q＝（a﹣1）（a﹣3），a∈R，则有（　　）
A．P≥Q B．P＞Q C．P＜Q D．P≤Q
4．若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．ac＞bc B．（a﹣b）c2＞0 C． D．﹣2a＜﹣2b
5．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为2，则＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
6．若抛物线x＝﹣my2的焦点到准线的距离为2，则m＝（　　）
A．﹣4 B． C．﹣ D．±
7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝2a3，a1＝1，则S4＝（　　）
A．31 B．15 C．8 D．7
8．若不等式4x2+ax+4＞0的解集为R，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣16，0） B．（﹣16，0] C．（﹣∞，0） D．（﹣8，8）
9．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则关于f（x）的结论正确的是（　　）
A．在区间（﹣2，2）上为减函数
B．在x＝﹣2处取得极小值
C．在区间（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上为增函数
D．在x＝0处取得极大值
10．下列说法中正确的是（　　）
A．命题”若x＝y，则x2＝y2”的逆命题为真命题
B．若P∧q为假命题，则p，q均为假命题
C．若p∧q为假命题，则P∨q为真命题
D．命题”若两个平面向量，满足||?||＞|?|，则，不共线”的否命题是真命题．
11．“﹣3＜m＜4”是“方程表示椭圆”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
12．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，且双曲线C的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，则双曲线C的离心率为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
二、填空题（本题共4小题）
13．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为　 　．
14．曲线y＝ex（1+cosx）在点（0，2）处的切线方程为　 　．
15．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则+的最小值为　 　．
16．已知函数f（x）＝ex+a﹣ax（a＞0）的定义域为（1，+∞），若f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围为　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．求下列函数的导数
（Ⅰ）y＝sinx+x
（Ⅱ）
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2﹣c2＝ab．
（Ⅰ）求角C的大小
（Ⅱ）若﹣4csinA+bsinC＝0，且a＝1，求△ABC的面积．
19．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝6，S4＝20．
（1）求an；
（2）若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
20．已知抛物线C：x2＝4y，过点P（1，0）作直线l．
（Ⅰ）若直线l的斜率存在，且与抛物线C只有一个公共点，求直线l的方程．
（Ⅱ）若直线l过抛物线C的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，求弦长|AB|．
21．已知函数f（x）＝ex（x+1）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣3ex﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．
22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y﹣＝0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）如图，过定点P（2，0）的直线l交椭圆C于不同的两点A，B，连接AF并延长交椭圆C于点M，设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．





参考答案
一．选择题
1．在等差数列{an}中，若a5+a7＝16，则a6＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据等差中项的性质可得a5+a7＝2a6＝16，即可得到结论．
解：依题意，数列{an}是等差数列，
所以a5+a7＝2a6＝16，
解得a6＝8．
故选：C．
2．命题””的否定是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
解：命题为全称命题，则命题””的否定是：．
故选：B．
3．设P＝2a（a﹣2）+3，Q＝（a﹣1）（a﹣3），a∈R，则有（　　）
A．P≥Q B．P＞Q C．P＜Q D．P≤Q
【分析】作差即可得出P﹣Q＝a2≥0，从而得出P，Q的大小关系．
解：P﹣Q＝2a（a﹣2）+3﹣（a﹣1）（a﹣3）＝a2≥0，
∴P≥Q．
故选：A．
4．若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．ac＞bc B．（a﹣b）c2＞0 C． D．﹣2a＜﹣2b
【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误．
解：∵a，b，c∈R且a＞b，∴取c＝0，可排除A，B；取a＝1，b＝﹣1可排除C．
由不等式的性质知当a＞b时，﹣2a＜﹣2b，故D正确．
故选：D．
5．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为2，则＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】根据题意，由极限的性质可得的值，结合导数的定义分析可得答案．
解：根据题意，＝×＝×f′（x0），
又由函数f（x）在x＝x0处的导数为2，即f′（x0）＝2，
故＝1；
故选：C．
6．若抛物线x＝﹣my2的焦点到准线的距离为2，则m＝（　　）
A．﹣4 B． C．﹣ D．±
【分析】抛物线方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果．
解：抛物线x＝﹣my2，y2＝﹣x的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得||＝2，
解得m＝±，
故选：D．
7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝2a3，a1＝1，则S4＝（　　）
A．31 B．15 C．8 D．7
【分析】利用等比数列的通项公式求出公比q＝2，由此能求出S4．
解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝2a3，a1＝1，
∴q3＝2q2，
解得q＝2，
∴S4＝＝15．
故选：B．
8．若不等式4x2+ax+4＞0的解集为R，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣16，0） B．（﹣16，0] C．（﹣∞，0） D．（﹣8，8）
【分析】根据一元二次不等式的解集为R，△＜0，列不等式求出a的取值范围．
解：不等式4x2+ax+4＞0的解集为R，
∴△＝a2﹣4×4×4＜0，
解得﹣8＜a＜8，
∴实数a的取值范围是（﹣8，8）．
故选：D．
9．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则关于f（x）的结论正确的是（　　）
A．在区间（﹣2，2）上为减函数
B．在x＝﹣2处取得极小值
C．在区间（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上为增函数
D．在x＝0处取得极大值
【分析】结合图象求出函数的单调区间和极值点即可．
解：由图象得：f（x）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，2）递增，在（2，+∞）递减，
故f（x）在x＝﹣2取极小值，在x＝2取极大值，
故选：B．
10．下列说法中正确的是（　　）
A．命题”若x＝y，则x2＝y2”的逆命题为真命题
B．若P∧q为假命题，则p，q均为假命题
C．若p∧q为假命题，则P∨q为真命题
D．命题”若两个平面向量，满足||?||＞|?|，则，不共线”的否命题是真命题．
【分析】A中，利用四种命题的的真假判断即可．
B、C中，命题“p∧q”为假命题时，p、q至少有一个为假命题；
D中，写出该命题的否命题，再判断它的真假性．
解：对于A，命题“若x＝y，则x2＝y2”的逆命题是：为真命题若x2＝y2，则x＝y；因为y＝﹣x也成立．所以A不正确；
对于B，命题“p∧q”为假命题时，p、q至少有一个为假命题，所以B错误；C错误；
对于D，“平面向量，满足||?||＞|?|，则，不共线的否命题是
若“平面向量，满足||?||≤|?|，则，共线；
由?＝||?|||×cosθ知：||?||≥|?|，一定有||?||＝|?|，cosθ＝±1，所以，共线，D正确．
故选：D．
11．“﹣3＜m＜4”是“方程表示椭圆”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【分析】求出方程表示椭圆的m的取值范围，然后结合充分必要条件的判定得答案．
解：方程表示椭圆?，即﹣3＜m＜4且m≠．
∴由﹣3＜m＜4，不能得到方程表示椭圆；反之成立．
则“﹣3＜m＜4”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：B．
12．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，且双曲线C的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，则双曲线C的离心率为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【分析】利用椭圆方程求出焦点，推出a2+b2＝4，求出双曲线的渐近线方程，利用圆的圆心到直线的距离与半径的关系，转化求解即可．
解：椭圆的焦点为I（±2，0），所以c＝2，所以a2+b2＝4．
双曲线的渐近线方程为ay±bx＝0，
由双曲线C的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3相切，得，可得b＝a，
带入a2+b2＝4得a＝1．离心率，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为　3　．
【分析】利用△ABC的面积计算公式即可得出．
解：△ABC的面积S＝×4×3×sin60°＝3．
故答案为：3．
14．曲线y＝ex（1+cosx）在点（0，2）处的切线方程为　y＝2x+2　．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．
解：由y＝ex（1+cosx），得y′＝ex（1+cosx）﹣exsinx＝（1+cosx﹣sinx）ex．
∴y′|x＝0＝2，
则曲线y＝ex（1+cosx）在点（0，2）处的切线方程为y＝2x+2．
故答案为：y＝2x+2．
15．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则+的最小值为　16　．
【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1，
∴+＝（a+b）＝10+＝16，当且仅当b＝3a＝时取等号．
∴+的最小值是16．
故答案为：16．
16．已知函数f（x）＝ex+a﹣ax（a＞0）的定义域为（1，+∞），若f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围为　（0，e2）　．
【分析】依题意，恒成立，构造函数，再求函数的最小值即可得到答案．
解：令ex+a﹣ax＞0，则恒成立，
设，则，
令g′（x）＞0，解得x＞2；令g′（x）＜0，解得1＜x＜2，
故函数g（x）在x＝2处取得最小值，最小值为g（2）＝e2，
故0＜a＜e2．
故答案为：（0，e2）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．求下列函数的导数
（Ⅰ）y＝sinx+x
（Ⅱ）
【分析】根据导数的运算法则进行求导即可．
解：（Ⅰ）函数的导数的y′＝（sinx）′+x′＝cosx+1
（Ⅱ）函数的导数y′＝＝．
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2﹣c2＝ab．
（Ⅰ）求角C的大小
（Ⅱ）若﹣4csinA+bsinC＝0，且a＝1，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosC的值，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
（Ⅱ）由正弦定理化简已知等式可得4a＝b，进而可求a，b的值，根据三角形的面积公式即可求解．
解：（Ⅰ）∵a2+b2﹣c2＝ab．
∴由余弦定理可得cosC＝＝＝，
又∵C∈（0，π），
∴C＝．
（Ⅱ）∵﹣4csinA+bsinC＝0，
∴由正弦定理可得4ac＝bc，
∵c≠0，
∴b＝4a，
又a＝1，
∴b＝4，
∴S△ABC＝absinC＝＝．
19．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝6，S4＝20．
（1）求an；
（2）若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
【分析】（1）设出等差数列{an}的公差为d，根据等差数列通项公式和前n项和公式列出方程，解得答案；
（2）根据等比中项定义，列出方程，再结合k是正整数，解出k的值．
解：（1）设公差为d，则a3＝a1+2d＝6，，
解得，a1＝2，d＝2，
所以：an＝2+（n﹣1）×2＝2n．
（2）因为 ．
又a1，ak，Sk+2成等比数列，所以2（k+2）（k+3）＝（2k）2，化简得：k2﹣5k﹣6＝0
解得：k＝6或k＝﹣1，
又k∈N*，∴k＝6．
20．已知抛物线C：x2＝4y，过点P（1，0）作直线l．
（Ⅰ）若直线l的斜率存在，且与抛物线C只有一个公共点，求直线l的方程．
（Ⅱ）若直线l过抛物线C的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，求弦长|AB|．
【分析】（Ⅰ）设出直线方程，与抛物线方程联立，由只有一个公共点，可知△＝0，由此得解；
（Ⅱ）可得直线方程y＝﹣x+1，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的性质即可求得弦长．
解：（Ⅰ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），
联立，消去y得，x2﹣4kx+4k＝0，
则△＝16k2﹣16k＝0，解得k＝0或k＝1，
故直线l的方程为y＝0或y＝x﹣1；
（Ⅱ）抛物线C的焦点为F（0，1），则直线l的方程为y＝﹣x+1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x得，y2﹣6y+1＝0，则y1+y2＝6，
故|AB|＝y1+y2+p＝8．
21．已知函数f（x）＝ex（x+1）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣3ex﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．
【分析】（1）极值点就是导数等于零的解，且在解的左右两边区间的导数符号异号时才是极值点，进而求出极值．
（2）函数两个零点分离m等于另一个函数，转化为两个函数有两个交点问题．求出函数的极值，并且得到函数的单调性，画出简图求出2个交点时的m的范围．
解：（1）则f′（x）＝ex（x+2），令f′（x）＝0，得x＝﹣2
当x＜﹣2时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；当x＞﹣2时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；所以f（x）的极小值为f（﹣2）＝﹣e﹣2，无极大值；
（2）g（x）＝f（x）﹣3ex﹣m＝ex（x﹣2）﹣m，
函数g（x）＝ex（x﹣2）﹣m有两个零点，相当于曲线u（x）＝ex?（x﹣2）与直线y＝m有两个交点．
u′（x）＝ex?（x﹣2）+ex＝ex（x﹣1），令u′（x）＝0得x＝1．当x∈（﹣∞，1）时，u′（x）＜0∴u（x）
在（﹣∞，1）单调递减，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0∴u（x）在（1，+∞）单调递增，∴x＝1时，u（x）取得极小值u（1）＝﹣e，又x→+∞时，u（x）→+∞；x＜2时，u（x）＜0，∴﹣e＜m＜0．
22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y﹣＝0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）如图，过定点P（2，0）的直线l交椭圆C于不同的两点A，B，连接AF并延长交椭圆C于点M，设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．

【分析】（Ⅰ）依题意，由点到直线的距离可求得b＝1，再根据离心率为，可求得，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设出直线方程与椭圆方程联立，然后再化简k1+k2即可得证．
解：（Ⅰ）依题意，可设圆O的方程为x2+y2＝b2，
∵圆O与直线x﹣y﹣＝0相切，
∴，
∴a2﹣c2＝1，
由解得，
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）证明：依题意，可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），
代入中，整理得，（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，
∵直线l与椭圆C有两个不同的交点，
∴△＞0，即2k2﹣1＜0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
∵F（1，0），
∴＝＝，
即k1+k2为定值．