2019-2020学年苏教版江苏省无锡市高三第一学期期末数学试卷 解析版

2019-2020学年高三第一学期（上）期末数学试卷
一、选择题
1．集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝　 　．
2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且满足iz＝9+i（其中i为虚数单位），则a+b＝　 　．
3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为　 　分钟．
4．函数f（x）＝（a﹣1）x﹣3（a＞1，a≠2）过定点　 　．
5．等差数列{an}（公差不为0），其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为　 　．
6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为　 　．
7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是　 　．

8．如图所示的流程图中，输出n的值为　 　．

9．圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线y＝2x﹣1的对称圆的方程为　 　．
10．正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则的取值范围是　 　．
11．双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，则λ＝　 　．
12．对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为　 　．
13．在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠BAC＞45°，点D在线段BC上，且CD＝CB，若tan∠DAB＝，则∠BAC的正切值为　 　．
14．函数f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx+9在区间（0，3）内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是　 　．
二、解答题
15．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量，向量，且．
（1）求角C的大小；
（2）求y＝sinA+的最大值．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，△PAD为锐角三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，E为PD的中点，CD⊥DP．
（1）求证：OE∥平面PAB；
（2）求证：CD⊥PA．

17．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点，过点F2且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M．
（1）求△PF1Q的周长；
（2）求△PF1M面积的最大值．

18．（16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD（如图所示），其中AD≥AB．结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元
（1）求发酵池AD边长的范围；
（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道（b为常数）．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．

19．（16分）已知{an}，{bn}均为正项数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且a1＝，b1＝1，b2＝2，当n≥2，n∈N*时，Sn﹣1＝1﹣2an，bn＝﹣2Tn﹣1．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn＝，求数列{cn}的前n项和Pn．
20．（16分）设函数f（x）＝lnx﹣ax，a∈R，a≠0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）＝0有两个零点x1，x2（x1＜x2）．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：x1?x2随着的增大而增大．
【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]
21．已知a，b∈R，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P（﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），求矩阵A．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线C1：，（其中θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，设曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长．
【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
23．如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点，∠AEB＝90°，
∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．
（1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值；
（2）求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．

24．对于任意的x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：ex﹣1＞．




参考答案
一、填空题
1．集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝　{1，3}　．
【分析】利用交集定义直接求解．
解：因为2k﹣1，k∈Z表示为奇数，
集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，
故A∩B＝{1，3}．
故答案为：{1，3}．
2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且满足iz＝9+i（其中i为虚数单位），则a+b＝　﹣8　．
【分析】把z＝a+bi两边同乘i，得到iz，结合iz＝9+i利用复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．
解：由z＝a+bi，得iz＝ai+bi2＝﹣b+ai＝9+i，
∴a＝1，b＝﹣9，则a+b＝﹣8．
故答案为：﹣8．
3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为　7.5　分钟．
【分析】直接利用平均数的计算公式求解即可．
解：因为：有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟；
所以：平均用时：，
故答案为：7.5．
4．函数f（x）＝（a﹣1）x﹣3（a＞1，a≠2）过定点　（0，﹣2）　．
【分析】利用指数函数的性质即可求解．
解：令x＝0得：f（0）＝1﹣3＝﹣2，
∴函数f（x）恒过定点（0，﹣2），
故答案为：（0，﹣2）．
5．等差数列{an}（公差不为0），其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为　4　．
【分析】本题先设等差数列{an}的公差为d，则有a2＝a1+d，a6＝a1+5d．然后根据等比中项的性质有，代入整理可得d＝3a1，再通过q＝即可算出等比数列的公比．
解：设等差数列{an}的公差为d，则
a2＝a1+d，a6＝a1+5d．
依题意，，
即
整理得d＝3a1，
∴a2＝a1+d＝4a1，
∴q＝．
故答案为：4．
6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为　　．
【分析】基本事件总数n＝＝6，抽到的2道题小李都会包含的基本事件m＝＝3，由此能求出抽到的2道题小李都会的概率．
解：小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，
基本事件总数n＝＝6，
抽到的2道题小李都会包含的基本事件m＝＝3，
则抽到的2道题小李都会的概率为P＝．
故答案为：．
7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是　　．

【分析】利用等体积法，转化求解点A到平面A1DE的距离即可．
解：，，解得．
故答案为：．
8．如图所示的流程图中，输出n的值为　4　．

【分析】根据流程图的顺序一步一步走，注意对数的运算．
解：模拟程序的运行，可得
S＝1，n＝1；
S＝1+log2＝0，n＝2；
S＝0+log2，n＝3；
S＝，n＝4；
S≤﹣1．跳出循环，输出结果，n＝4，
故答案为：4
9．圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线y＝2x﹣1的对称圆的方程为　（x﹣3）2+y2＝4　．
【分析】求关于直线对称的圆，只需要圆心关于直线对称即可，半径相同，直线为两个圆的圆心的中垂线，求出圆心的对称点即可．
解：圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圆心为（﹣1，2），关于y＝2x﹣1对称点设为（x，y），
则有：，解得，所以对称后的圆心为（3，0），
故答案为：（x﹣3）2+y2＝4．
10．正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则的取值范围是　[0，1]　．
【分析】由＝，即可得解．
解：作图如下，

＝，
又，故，故，即的取值范围是[0，1]．
故答案为：[0，1]．
11．双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，则λ＝　﹣　．
【分析】利用已知条件推出直线的斜率的关系式，然后求解λ的值即可．
解：双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，
可得：，，
故答案为：．

12．对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为　　．
【分析】通过变形，换元可得，接下来只需求出在（1，+∞）上的最小值即可．
解：依题意，，
令，则，
令μ＝2t+1＞1，则，
而函数在（1，+∞）上的最小值为，
故，即k的最大值为．
故答案为：．
13．在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠BAC＞45°，点D在线段BC上，且CD＝CB，若tan∠DAB＝，则∠BAC的正切值为　3　．
【分析】作出图象，根据题设条件得出各边的关系，利用正切的差角公式即可求解．
解：设AC＝x，BC＝3t，由∠BAC＞45°可知，tan∠BAC＝，，
令，即，解得m＝1或，
则tan∠BAC＝3或tan∠BAC＝1（舍），故tan∠BAC＝3．
故答案为：3．

14．函数f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx+9在区间（0，3）内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是　（﹣，﹣8）　．
【分析】分段函数，由两个零点分别讨论k的取值不同零点的区间也不同．
解：f（x）＝0（x∈（0，3）可得：﹣k＝＝如图所示：由两个零点的范围满足8＜﹣k，所以k∈（﹣，﹣8）
故答案为：（﹣，﹣8）．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量，向量，且．
（1）求角C的大小；
（2）求y＝sinA+的最大值．
【分析】（1）根据向量共线以及正弦定理得到sinA＝2sinAcosC；再结合三角形中教的范围即可求解；
（2）利用（1）的结论整理得到y＝2sin（A+）；再结合角A范围即可求解．
解：（1）由，得 ccosB﹣（2a﹣b）cosC＝0；
由正弦定理得：sinCcosB﹣（2sinA﹣sinB）cosC＝0；
∴（sinCcosB+sinBcosC）＝2sinAcosC；
∴sin（B+C）＝sinA＝2sinAcosC；
∵sinA≠0；
∴cosC＝；
又C∈（0，π）；
∴C＝；
（2）由（1）知A+B＝π﹣C＝，
所以B﹣＝﹣A，A；
所以y＝sinA+＝y＝sinA+sin（﹣A）＝sinA+＝2sin（A+）；
∵A；
∴A+∈（，）；
∴A+＝即A＝时，y取最大值2．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，△PAD为锐角三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，E为PD的中点，CD⊥DP．
（1）求证：OE∥平面PAB；
（2）求证：CD⊥PA．

【分析】（1）连结BD，则O是BD中点，从而OE∥PB，由此能证明OE∥平面PAB．
（2）作PH⊥AD于H，则PH⊥平面ABCD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明CD⊥PA．
【解答】证明：（1）连结BD，∵ABCD是平行四边形，O为其中心，
∴O是BD中点，
∵E是PD中点，∴OE∥PB，
∵PB?平面PAB，OE?平面PAB，
∴OE∥平面PAB．
（2）作PH⊥AD于H，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
PH⊥AD，PH?平面PAD，
∴PH⊥平面ABCD，
又CD⊥PD，PD∩PH＝P，
∴CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴CD⊥PA．

17．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点，过点F2且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M．
（1）求△PF1Q的周长；
（2）求△PF1M面积的最大值．

【分析】（1）根据椭圆定义求出a，代入即可；
（2）设直线l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），椭圆的方程为，求出M坐标，联立解方程求出x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，利用面积公式求出即可．
解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则2c＝4，c＝2，F1（﹣2.0），F2（2，0），且椭圆过点A，
由椭圆的定义2a＝AF1+AF2＝6，故a＝3，
所以，△PF1Q的周长为4a＝12；
（2）由（1）知，b2＝9﹣4＝5，故椭圆的方程为，
设直线l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），则R（x2，﹣y2），
直线PR：，得M（，0），
联立，消去x，得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，
，，
x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，
所以?|y1|＝，当且仅当P在短轴顶点处取得等号，
故△PF1M面积的最大值为．
18．（16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD（如图所示），其中AD≥AB．结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元
（1）求发酵池AD边长的范围；
（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道（b为常数）．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．

【分析】本题第（1）题先根据题意有长方形ABCD的面积S＝＝225米2，然后设AD＝x米，则AB＝米，初步得到x的取值范围，设发酵池造价总费用为f（x），
列出f（x）的表达式，然后根据题意得到发酵池AD边长的范围；第（2）题设发酵馆的占地面积为S（x），列出S（x）的表达式，再对S（x）求导，然后通过单调性分析找到S（x）的最小值，注意要对b进行分类讨论．
解：（1）由题意，长方形ABCD的面积S＝＝225米2，
设AD＝x米，则AB＝米．则x＞＞0，解得x≥15．
设发酵池造价总费用为f（x），则
f（x）＝225×200+150×2?（2x+）＝600（x+）+45000＜65400．
解得9≤x≤25，又x≥15，故x∈[15，25]．
（2）由题意，可设发酵馆的占地面积为S（x），则
S（x）＝（x+8）（+2b）＝2bx++16b+225，x∈[15，25]．
S′（x）＝，x∈[15，25]．
①当b≥4时，S′（x）≥0．即S（x）在[15，25]上单调递增，
此时当x＝15时，发酵馆的占地面积S（x）最小，
即AB＝AD＝15米时，发酵馆的占地面积最小；
②当0＜b≤时，S′（x）≤0．即S（x）在[15，25]上单调递减，
此时当x＝25时，发酵馆的占地面积S（x）最小，
即AD＝25米，AB＝9米时，发酵馆的占地面积最小；
③当＜b＜4时，有
当15≤x＜时，S′（x）＜0，S（x）单调递减；
当＜x≤25时，S′（x）＞0，S（x）单调递增．
当x＝＝时，S′（x）＝0，S（x）取得极小值．
即AD＝，AB＝时，发酵馆的占地面积最小．
19．（16分）已知{an}，{bn}均为正项数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且a1＝，b1＝1，b2＝2，当n≥2，n∈N*时，Sn﹣1＝1﹣2an，bn＝﹣2Tn﹣1．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn＝，求数列{cn}的前n项和Pn．
【分析】本题第（1）题由Sn﹣1＝1﹣2an可得Sn＝1﹣2an+1，两式相减可发现数列{an}成等比数列，则通过计算可得出通项公式，而bn＝﹣2Tn﹣1＝Tn﹣Tn﹣1，通过整理化简，再根据等差中项的性质，可知数列{bn}成等差数列，通过计算也可得出通项公式．第（2）题先对数列{cn}的一般项化简整理后进行裂项，在求和时相消可得到前n项和Pn．
解：（1）由题意，Sn﹣1＝1﹣2an，则有Sn＝1﹣2an+1，
两式相减，整理得an+1＝an，（n≥2）．
当n＝2时，S1＝a1＝＝1﹣2a2，
解得a2＝＝a1．
∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．
∴an＝，n∈N*．
又∵bn＝﹣2Tn﹣1＝Tn﹣Tn﹣1，n≥2．
整理，得＝＝Tn+Tn﹣1，n≥2．
∵bn＞0，∴Tn＞0．
∴＝1，n≥2．
即2bn＝bn+1+bn﹣1，n≥2．
根据等差中项的性质，可知数列{bn}成等差数列．
∵b1＝1，b2＝2，∴d＝b2﹣b1＝2﹣1＝1．
∴数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴bn＝n，n∈N*．
（2）由（1），得cn＝＝?＝﹣，
根据累加法，可得：
Pn＝c1+c2+…+cn
＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）
＝1﹣．
20．（16分）设函数f（x）＝lnx﹣ax，a∈R，a≠0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）＝0有两个零点x1，x2（x1＜x2）．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：x1?x2随着的增大而增大．
【分析】（1）结合导数与单调性的关系，对a进行分类讨论，结合导数的符号可判断函数的单调性，
（2）（Ⅰ）结合导数与单调性的关系及零点判定定理可求a的范围，
（Ⅱ）由题意构造函数，然后转化为证明函数的单调性．
解：（1）∵f（x）＝lnx﹣ax，
∴f′（x）＝﹣a，
当a＜0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
当a＞0时，由f′（x）＞0可得，x，此时f（x）单调递增，由f′（x）＜0可得，x，此时函数单调递减，
综上可得，a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当a＞0时，函数的递增区间（0，），单调递减区间为（）；
（2）（Ⅰ）由（1）可知，a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），最多一个零点，不符合题意，
当a＞0时，若使得f（x）有两个零点，则f（x）max＝f（）＝﹣lna﹣1＞0，
解可得0＜a＜，
∵f（1）＝﹣a＜0，且1，
∴存在x1使得f（x1）＝0，
又因为f（）＝﹣2lna﹣，
设g（a）＝﹣2lna﹣，a，
则g′（a）＝＞0，
故g（a）单调递增，所以g（a）＝2﹣e＜0，
即f（）＜0，
∵，
所以存在使得f（x2）＝0，
综上可得，a，
（Ⅱ）由题意可得，lnx1﹣ax1＝lnx2﹣ax0＝0，
∴，
∵x1＜x2，
∴＞1，令t＝＞1，则x2＝tx1，
∴＝，
解可得，lnx1＝，
∴lnx2＝lnt+lnx1＝，
所以ln（x1x2）＝，
设h（t）＝，t＞1，
则h′（t）＝，
令H（t）＝t﹣﹣2lnt，t．＞1，
则H′（t）＝1+＝＞0，
∴H（t）单调递增，H（t）＞H（1）＝0，则h′（t）＞0，
故h（t）单调递增，即ln（x1x2）随着＝t的增大而增大，
所以x1?x2随着的增大而增大．
【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]
21．已知a，b∈R，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P（﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），求矩阵A．
【分析】推导出＝5＝，且＝，由此能求出矩阵A．
解：∵a，b∈R，矩阵A＝，矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，
点P（﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），
∴＝5＝，且＝，
∴，解得，
∴矩阵A＝．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线C1：，（其中θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，设曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长．
【分析】首先把方程进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
解：曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为：．
曲线C1：，（其中θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝16．
所以圆心（0，0）到直线的距离d＝．
所以AB＝2＝＝4．
【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
23．如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点，∠AEB＝90°，
∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．
（1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值；
（2）求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．

【分析】（1）以O为原点，在平面ABE中过O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，过O作AD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OC与DE所成角的余弦值．
（2）求出平面ADE的法向量和平面DEC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的正弦值．
解：（1）以O为原点，在平面ABE中过O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，
过O作AD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．
∴BE＝，C（0，，3），D（0，﹣，3），A（0，﹣，0），E（，，0），
＝（0，），＝（，，﹣3），
设异面直线OC与DE所成角为θ，
则cosθ＝＝＝，
∴异面直线OC与DE所成角的余弦值为．
（2）∵＝（0，0，3），＝（），＝（0，2，0），
设平面ADE的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（﹣，1，0），
设平面DEC的法向量＝（x，y，z），
则，取z＝1，得＝（2，0，1），
设二面角A﹣DE﹣C的平面角为θ，
则|cosθ|＝＝＝，
∴sinθ＝＝，
∴二面角A﹣DE﹣C的正弦值为．

24．对于任意的x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：ex﹣1＞．
【分析】根据数学归纳法的证明步骤，先证明当n＝1时，不等式是成立，然后假设n＝k成立，即得一个不等式成立，证明当n＝k+1时，也成立即可，从而证明不等式．
【解答】证明：①当n＝1时，设f（x）＝ex﹣1﹣x，x∈（1，+∞），则f'（x）＝ex﹣1﹣1＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，即ex﹣1＞x，
∴当n＝1时，原命题成立；
②假设当n＝k时，对任意x∈（1，+∞），
当n＝k+1时，设，则，
∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴，
∴，
由①②知，ex﹣1＞成立．