沪科版八年级数学下册第18章 勾股定理单元测试卷1解析版

绝密★启用前
勾股定理单元测试卷
一、单选题(每题4分，共40分)
1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）．
A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
2．如图，点P是平面坐标系中一点，则点P到原点的距离是（　　）

A．3 B． C． D．
3．如图，正方形小方格的边长为1，则网格中的是（ ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
4．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为

A． B．3 C．1 D．
5．如图，字母B所代表的正方形的面积是　　

A．12 B．144 C．13 D．194
6．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是(???? )
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
7．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2,D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=,则BC长为（ ）

A． B． C． D．
8．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（　　）
A．5 B．10 C． D．
9．如图1是由个全等的边长为的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是的大正方形，则（ ）

A．甲、乙都可以 B．甲可以，乙不可以
C．甲不可以，乙可以 D．甲、乙都不可以
10．有一个三角形的两边长分别是4和5，若这个三角形是直角三角形，则第三边长为(　　)
A．3 B． C．3或 D．无法确定
二、填空题（每题5分，共20分)
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是________．

12．一根旗杆在离地面4.5 m的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6 m外，则旗杆折断前的高度是________．
13．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离AE，CF分别为5和3，则正方形ABCD的面积是________．

14．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为______．

三、解答题（共9题，满分90分)
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)线段AB的长为________，BC的长为________，CD的长为________；
(2)连接AC，通过计算说明△ACD和△ABC各是什么特殊三角形．

16．如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．

17．有四根小木棒，它们的长度分别为5 cm，8 cm，12 cm，13 cm，从中选出三根作为一个三角形的三边，如果所构成的三角形为直角三角形，请回答下列问题：
(1)你所选三根木棒的长度分别为多少？请说明理由；
(2)求你所构成的直角三角形斜边上的高．
18．如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4 km，又往北走1.5 km，遇到障碍后又往西走2 km，再折回向北走到4.5 km处往东一拐，仅走0.5 km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？

19．甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向 北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距30海里，问乙船的速度是每小时多少海里？

20．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？

21．如图，在?Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，CD⊥AB于D，求：

（1）斜边AB的长；
（2）△ABC的面积；
（3）高CD的长．
22．平面直角坐标系中，点P(x，y)的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P(x，y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P(x，y)的勾股值，记为 ：?P?，即?P?＝|x|＋|y|(其中“＋”是四则运算中的加法)．
(1)求点A(－1，3)，B(＋2， －2)的勾股值A、B；
(2)求满足条件N＝3的所有点N围成的图形的面积．
23．阅读下面例题的解法，然后解答后面的问题：
例　如图，在等腰Rt△ABC中，∠CAB＝90°，P是△ABC内一点，且PA＝1，PB＝3，PC＝.求∠CPA的大小．

分析：已知条件中的PA、PB、PC过于分散，可将其集中到一个或两个三角形中，再应用三角形的有关知识解决问题．
解：在△ABC的外部作△AQC≌△APB，连接PQ，则AQ＝AP＝1，CQ＝PB＝3，∠QAC＝∠PAB．
因为∠PAB＋∠PAC＝90°，所以∠QAC＋∠PAC＝90°，即∠PAQ＝90°.
所以PQ2＝AQ2＋AP2＝12＋12＝2，∠QPA＝∠PQA＝45°.
在△PQC中，
PQ2＝2，PC2＝()2＝7，QC2＝PB2＝9，所以PQ2＋PC2＝QC2.
所以∠QPC＝90°.所以∠CPA＝∠CPQ＋QPA＝90°＋45°＝135°.

说明：本例通过在三角形外作△APB的全等三角形，从而将已知的PA、PB、PC集中到一起，为进一步解题创造了条件．
需解答的问题：
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数．

(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
试卷第4页，总5页
试卷第5页，总5页

参考答案
1．C
【解析】
【详解】
A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、∵32+42=52，∴组成直角三角形，故此选项正确；
D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故此选项错误．
故选C．
2．A
【解析】
分析：连接PO，在直角坐标系中，根据点P的坐标是（），可知P的横坐标为，纵坐标为，然后利用勾股定理即可求解．
详解：连接PO． ∵点P的坐标是（），∴点P到原点的距离==3．
故选A．

点睛：本题主要考查学生对勾股定理、坐标与图形性质的理解和掌握，解答此题的关键是明确点P的横坐标为，纵坐标为．
3．A
【解析】
【分析】
根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【详解】
∵正方形小方格边长为1
∴，，，
∵在△ABC中AB2+AC2=52+13=65，BC2=65
∴AB2+AC2=BC2
∴网格中的△ABC是直角三角形．
故选A．
【点睛】
解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
4．A
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可
【详解】
∵AB=3，AD=4，∴DC=3
∴根据勾股定理得AC=5
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C=DC=3，DE=D′E
设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，
解得：x=
故选A.
5．B
【解析】
【分析】
外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．
【详解】
如图，

根据勾股定理我们可以得出：
a2+b2＝c2
a2＝25，c2＝169，
b2＝169﹣25＝144，
因此B的面积是144．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用．只要搞清楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了．
6．A
【解析】
【分析】
由题意可知消防车的云梯长、地面和建筑物的高度构成了一个直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出建筑物的高度.
【详解】
如图所示，
建筑物的高度为：=12米，
故选A．

7．C
【解析】
【分析】首先根据三角形外角的性质可得∠B=∠BAD，根据等角对等边可得DB=DA=，然后利用勾股定理计算出CD长，进而可得BC长．
【详解】∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=∠DAB，
∴DB=DA=，
在Rt△ADC中，DC==1；
∴BC=BD+CD=+1，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握和灵活运用勾股定理是解题的关键.
8．D
【解析】
【分析】
首先根据题意求出斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求出斜边上的高．
【详解】
解：∵直角三角形的两直角边长为6和8，
斜边长为：＝10，
三角形的面积＝×6×8＝24，
设斜边上的高为x，则x?10＝24，
解得x＝4.8．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积公式，解决问题的关键是掌握直角三角形的面积公式的两种计算方法．
9．A
【解析】
【分析】
直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案．
【详解】
解：如图所示：

可得甲、乙都可以拼一个面积是5的大正方形．
故选：．
【点睛】
此题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题关键．
10．C
【解析】
【分析】
本题注意要分两种情况讨论是解题的关键：因为没有指明哪个是斜边，所以分两种情况进行分析；然后根据勾股定理列等式求解即可.
【详解】
当第三边为斜边时，第三边==；
当边长为5的边为斜边时，第三边==3.
所以第三条边长为或3.
故选C.
【点睛】
本题考查勾股定理.
11．10.125π
【解析】
试题解析：在Rt△ABC中，BC==9，
所以半圆的半径为4.5，则这个半圆的面积是：
S=π?（BC）2=10.125π．
12．12米
【解析】
如图所示，AC=6米，BC=4.5米，由勾股定理得，AB= =7.5（米）． 故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）．
故答案是：12米．

13．34
【解析】
【分析】
由ABCD为正方形得到AB=BC，∠ABC为直角，再由AE与CF都垂直于EF，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，；利用AAS得出三角形ABE与三角形BCF全等，由全等三角形对应边相等得到AE=BF，EB=CF，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出正方形的面积．
【详解】
∵ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF=5，CF=EB=3，
根据勾股定理得：AB==，
则正方形ABCD面积为34．
故答案为：34
【点睛】
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．
14．42或32
【解析】
【分析】
本题应分两种情况进行讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
【详解】
此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，

BD==9，
在Rt△ACD中，
CD==5
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，

在Rt△ABD中，BD=9，
在Rt△ACD中，CD=5，
∴BC=9-5=4．
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．
综上所述，△ABC的周长是42或32．
15．（1） ，5，,；（2）直角三角形．
【解析】
【分析】
(1)把线段AB、BC、CD、放在一个直角三角形中利用勾股定理计算即可；
(2)根据勾股定理的逆定理求出AC=AD，即可判断△ACD的形状；由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．
【详解】
解：

（1）由勾股定理得AB＝＝，BC＝＝5，CD＝＝2；
(2)∵AC＝＝2，AD＝＝2，
∴AC＝AD，
∴△ACD是等腰三角形；
∵AB2＋AC2＝5＋20＝25＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
16．24m2
【解析】
【分析】
连接AC，利用勾股定理逆定理可以得出△ABC是直角三角形，用△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【详解】
连接AC ，

∵∠ADC=90°
∴在Rt△ADC中，AC2= AD2+CD2=42+32=25，
∵AC2+BC2=25+122=169, AB2=132=169，
∴AC2+BC2= AB2 ，∴∠ACB=90°，
∴S=S△ACB－S△ADC=×12×5－×4×3=24m2
答：这块地的面积是24平方米
考点：1.勾股定理的逆定理2.勾股定理
17．（1）5 cm，12 cm，13 cm；（2）.
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系，可以判断能组成3个三角形，由于52+122=169=132，其中有一个直角三角形．
【详解】
(1)所选三根木棒的长度分别为5 cm，12 cm，13 cm.理由如下：
四根木棒，任取三根，有四种组合，即5 cm，8 cm，12 cm；5 cm，12 cm，13 cm；5 cm，8 cm，13 cm；8 cm，12 cm，13 cm，
∵5＋8＞12，5＋12＞13，5＋8＝13(无法构成三角形)，8＋12＞13，
∴可组成三个三角形，
又∵52＝25，82＝64，122＝144，132＝169，52＋122＝169＝132，
∴根据勾股定理的逆定理，可知长为5 cm，12 cm，13 cm的三根木棒可构成一个直角三角形；
(2)设此直角三角形斜边上的高为x cm，
则×13x＝×5×12，即13x＝60，
解得x＝，
所以所构成的直角三角形斜边上的高是cm.
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理、三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练运用三角形三边的关系、勾股定理逆定理．
18．登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km.
【解析】
【分析】
过点B作BC⊥AD于点C,根据题意可得AC＝4－2＋0.5＝2.5(km),BC＝4.5＋1.5＝6(km),然后根据勾股定理可得AB2＝AC2＋BC2＝2.52＋62＝6.52,继而求出AB.
【详解】
解:如图,过点B作BC⊥AD于点C,

则AC＝4－2＋0.5＝2.5(km),BC＝4.5＋1.5＝6(km),
在Rt△ABC中,由勾股定理,得:
AB2＝AC2＋BC2＝2.52＋62＝6.52,
∴AB＝6.5(km)．
答:登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用勾股定理进行解答.
19．9海里/时
【解析】
试题分析：首先求得线段AB的长，然后利用勾股定理求得线段AC的长，然后除以时间即可得到乙船的速度．
试题解析：根据题意得：AB=12×2=24，BC=30，∠BAC=90°．
∴AC2+AB2=BC2．
∴AC2=BC2-AB2=302-242=324
∴AC=18．
∴乙船的航速是：18÷2=9海里/时．
20．18cm2.
【解析】
试题分析：设AB为3x cm，则BC为4x cm，AC为5x cm，根据三角形的周长为36cm，求得x的值，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，再求出3秒后的BP、BQ的长，利用三角形的面积公式计算即可．
试题解析：
设AB为3x cm，则BC为4x cm，AC为5x cm，
∵周长为36 cm，∴AB＋BC＋AC＝36 cm，
即3x＋4x＋5x＝36，解得x＝3，
∴AB＝9 cm，BC＝12 cm，AC＝15 cm.
∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°.
过3秒时，BP＝9－3×1＝6(cm)，BQ＝2×3＝6(cm)，
∴S△BPQ＝BP·BQ＝×6×6＝18(cm2)．
故过3秒时，△BPQ的面积为18 cm2.
点睛：本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的面积公式等知识点，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．
21．（1）AB=10cm；（2）△ABC的面积=24cm2；（3）CD=2.4．
【解析】
试题分析：
（1）利用勾股定理直接求解即可；
（2）利用三角形面积公式计算即可；
（3）由△ACB的面积为定值，可得 AC?BC=CD?AD，进而可求出高CD的长．
试题解析：
（1）∵在?Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB==10cm；
（2）△ABC的面积=AC?BC=×6×8=24cm2；
（3）由（2）可知AC?BC=CD?AB=24，
∴CD= =2.4．
22．见解析
【解析】
试题分析：（1）根据题目中所给的计算勾股值的方法求解即可；（2）设N(x，y)，已知N＝3，根据勾股值的计算方法可得|x|＋|y|＝3，分①x≥0，y≥0、②x＞0，y＜0、③x＜0，y＞0、④x≤0，y≤0，四种情况求出y与x的函数关系式，在坐标系中画出图形，即可得结论.
试题解析：
(1)A＝|－1|＋|3|＝4.
B＝|＋2|＋|－2|＝＋2＋2－＝4.
(2)设N(x，y)，∵N＝3，
∴|x|＋|y|＝3.
①当x≥0，y≥0时，x＋y＝3，
即y＝－x＋3；
②当x＞0，y＜0时，x－y＝3，即y＝x－3；
③当x＜0，y＞0时，－x＋y＝3，即y＝x＋3；
④当x≤0，y≤0时，－x－y＝3，即y＝－x－3.
如图，满足条件N＝3的所有点N围成的图形是正方形，面积是18.

23．∠BPC＝135°.
【解析】
【分析】
将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，根据全等三角形性质和勾股定理逆定理即可求出
【详解】
如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC，
∴△PCE为等腰Rt△，∴∠CPE＝45°，PE2＝PC2＋CE2＝8.
又∵PB2＝1，BE2＝9，∴PE2＋PB2＝BE2，则∠BPE＝90°，∴∠BPC＝135°.

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键
答案第2页，总13页
答案第13页，总13页