沪科版八年级数学下册第18章勾股定理单元测试卷2解析版

勾股定理单元测试卷2
一、单选题(每题4分，共40分)
1．下列各组数是勾股数的是（　　）
A． B．1，1， C． D．5，12，13
2．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（　　）
A．1：2：1 B．1：：1 C．1：4：1 D．12：1：2
4．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＋|c－10|＝0，则三角形的形状是(　　)
A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为（　　）

A．16 B．2 C．32 D．130
6．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（　　）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
7．如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）

A．24米2 B．36米2 C．48米2 D．72米2
8．如图，已知等腰直角三角形ABC的各顶点分别在直线l1，l2，l3上，且l1∥l2∥l3，l1，l2间的距离为1，l2，l3间的距离为3，则AB的长度为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
9．在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（　　）

A．△ACF?????????????????????????????????? B．△ACE??????????????????????????????????C．△ABD?????????????????????????????????? D．△CEF
10．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　）
①a=3，b=4，c=5； ②a=6，∠A=45°；③a=2，b=2，c=2； ④∠A=38°，∠B=52°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题5分，共20分)
11．如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则CD＝____．

12．如图，长为10的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距墙角8.若梯子顶端下滑2，则梯子的底端水平滑动________米.

13．如图，一圆柱形容器(厚度忽略不计)，已知底面半径为6m，高为16cm，现将一根长度为28cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是_____cm．

14．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是_____．

三、解答题（共9题，满分90分)
15．如图，在中，，，，求.

16．如图， 已知四边形（网 格中每个小正方形的边长均为．
（1） 写出点，，，的坐标；
（2） 求线段的长度；
（3） 求四边形的面积 ．

17．某小区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在这块地上种植每平方米60元的草坪用以美化环境，施工人员测得（单位：米）：AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，∠B=90°，求小区种植这种草坪需多少钱？

18．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC上的点E处，求△CFE的面积．

19．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)

20．周老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：
a＝__ _____；b＝___ ____；c＝___ ____；
(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否是直角三角形？证明你的猜想．
(3)、显然，满足这样关系的整数a、b、c我们把它叫做 数，请再写一组这样的数 （不同于表格中已出现的数组）
21．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的BC方向移动，距台风中心500km的范围是受台风影响的区域
（1）A城是否受这次台风的影响？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受台风影响有多长时间？

22．如图，，线段，，一机器人在点处.
（1）若，求线段的长.
（2）在（1）的条件下，若机器人从点出发,以的速度沿着的三条边逆时针走一圈后回到点，设行走的时间为，则当为何值时，是以点为直角顶点的直角三角形？

23．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒(每根长度记为1个单位长度)中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．
(1)请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；
(2)你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”？如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．
①摆出等边“整数三角形”；
②摆出一个非特殊(既非直角三角形，也非等腰三角形)“整数三角形”．

(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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(
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
试卷第4页，总5页
试卷第5页，总5页

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】
A.（）2+（）2≠（）2不能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数．
B.（）2+（）2=（）2能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数；
C.（ ）2+（）2=（）2能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数；
D.（）2+（）2=（）2能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数.
故答案选D
【点睛】
此题主要考查了勾股定理逆定理以及勾股数，解答此题掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
2．A
【解析】
分析：直接根据勾股定理求解即可．
详解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为
故选A．
点睛：本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
3．B
【解析】
【分析】
根据三个内角之比，判定这个三角形为等腰直角三角形，从而求得斜边的值，故其相对应三边之比可求．
【详解】
设三个角的度数分别为x，2x，x，
∴根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45°，45°，90°，
∴这个三角形是等腰直角三角形，
∴斜边等于直角边的倍，
∴相对应三边之比为1：：1．
故选：B．
【点睛】
本题利用了勾股定理和等腰直角三角形的性质求解．注意方程思想的运用．
4．D
【解析】
【分析】
首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．
【详解】
∵(a－6)2≥0，≥0，|c－10|≥0，
又∵(a－b)2＋＋|c－10|＝0，
∴a－6＝0，b－8＝0，c－10＝0，
解得a＝6，b＝8，c＝10，
∵62＋82＝36＋64＝100＝102，
∴是直角三角形．
故选D.
【点睛】
本题考查非负数的性质：算术平方根, 非负数的性质：绝对值, 非负数的性质：偶次方, 勾股定理的逆定理.
5．A
【解析】
【分析】
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】
由于a、b、c都是正方形,所以AC=CD,
∵，即∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CED中，

∴△ACB≌△DCE(AAS)，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中,由勾股定理得：
即
则b的面积为16，
故选:A.
【点睛】
考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
6．A
【解析】
分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
详解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选：A．
点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
7．B
【解析】
【分析】
连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．
【详解】
连接AC，则由勾股定理得AC=5米，因为AC2+DC2=AD2，所以∠ACD=90°．
这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB?BC+AC?DC=（3×4+5×12）=36米2．
故选B．

【点睛】
此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．
8．D
【解析】
试题分析：过点A作AD⊥CD，BE⊥CE，则△ACD和△BCE全等，则CD=BE=3，AD=4，则AC=5，根据Rt△ABC的勾股定理可得：AB=，故选D．
9．C
【解析】
【分析】
利用勾股定理先分别求得△ABC的各边长以及各选项中三角形的各边长，再根据三角形全等的判定方法进行判定即可得.
【详解】
在△ABC中，AB==，BC==，AC=2，
A、在△ACF中，AF==≠，≠，≠2，则△ACF与△ABC不全等，故不符合题意；
B、在△ACE中，AE=3≠，3≠，3≠2，则△ACE与△ABC不全等，故不符合题意；
C、在△ABD中，AB=AB，AD==BC，BD=2=AC，则由SSS可证明△ACE与△ABC全等，故符合题意；
D、在△CEF中，CF=3≠，3≠，3≠2，则△CEF与△ABC不全等，故不符合题意，
故选C.

【点睛】
本题考查了勾股定理以及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理以及全等三角形的判定方法是解题的关键.
10．C
【解析】
①a=3，b=4，c=5，
∵32+42=25=52，
∴满足①的三角形为直角三角形；
②a=6,∠A=45°，
只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；
③a=2,b=2, ，
∵22+22=8= ，
∴满足③的三角形为直角三角形；
④∵∠A=38°,∠B=52°，
∴∠C=180°?∠A?∠B=90°，
∴满足④的三角形为直角三角形。
综上可知：满足①③④的三角形均为直角三角形。
故选C.
点睛:根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”或“有一个角是直角”，由此即可得出结论．
11．
【解析】
【分析】
根据勾股定理先求出AB，再利用面积公式进行求解.
【详解】
∵直角△ABC中， AC＝4，BC＝3，
∴AB=
∵CD是斜边AB上的高
∴S△ABC=
故CD==
故填：.
【点睛】
此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知三角形的面积公式.
12．2
【解析】
由题意可知，AB=10m，AC=8m，AD=2m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC= =6；
当B划到E时，DE=AB=10m，CD=AC-AD=8-2=6m；
在Rt△CDE中，CE= =8
BE=CE-BC=8-6=2m．
答：梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米．

13．8
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出玻璃棒在容器里面的长度的最大值，再根据线段的和差关系即可求解.
【详解】
（），
由勾股定理得（），
则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是（）.
故答案为.
【点睛】
考查了勾股定理的应用，关键是运用勾股定理求得玻璃棒在容器里面的长度的最大值，此题比较常见，难度适中.
14．5或
【解析】
【分析】
直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为4的边是否为斜边，所以要讨论(1)边长为4的边为斜边；(2)边长为4的边为直角边．
【详解】
(1)当边长为4的边为斜边时，另一条边长为；
(2)当边长为4的边为直角边时，另一条边长为=5，
综上，另一条边长是5或，
故答案为：5或.
【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中运用分类讨论思想讨论边长为4的边是直角边还是斜边是解题的关键．
15．
【解析】
【分析】
先用勾股定理求出BC的长，然后使用面积公式计算即可.
【详解】
解：，，，.
【点睛】
本题考查了勾股定理和二次根式的乘法运算，其中运用勾股定理求出直角三角形另一直角边，是解答本题的关键.
16．(1) ，，，；(2);(3)16.
【解析】
【分析】
（1）根据图象可以直接写出A、B、C、D的坐标．
（2）把AD作为斜边，利用勾股定理解决．
（3）把四边形分割成3个直角三角形和一个正方形来求面积．
【详解】
解： （1） 由图象可知，，，；
（2）；
（3）．

【点睛】
本题目考查了已知点写坐标以及勾股定理（在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方,如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．），三角形的面积有关知识，应该掌握分割法求面积．
17．小区种植这种草坪需要2160元．
【解析】
【分析】
仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接AC，在直角三角形ABC中可求得AC的长，由AC、CD、AD的长度关系可得三角形ACD为直角三角形，AD为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△ACD构成，则容易求解．
【详解】
如图，连接AC，
∵在△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴AC==5，
又∵CD=12，DA=13，
∴AD2=AC2+CD2=169，
∴∠ACD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB?BC+AC?CD=×3×4+×5×12=36(平方米)，
∴60×36=2160(元)，
答：小区种植这种草坪需要2160元．

【点睛】
本题考查了勾股定理以及其逆定理的应用，熟练掌握是解题的关键.
18．
【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到AE=AD=5，根据勾股定理求出BE，得到EC，根据勾股定理列出方程，解方程求出CF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
由折叠可知，AE=AD=5， 在 Rt△ABE 中，BE==3，
∴EC=BC﹣BE=2，
设 CF=x，DF=4﹣x，由折叠的性质，EF=DF=4﹣x
在 Rt△EFC 中，CF2+CE2=EF2，即 x2+22=（4﹣x）2， 解得，x=，
∴△CFE 的面积=×CE×CF=．
【点睛】
本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
19．船向岸边移动了(12-)m
【解析】
试题分析：
在Rt△ABC中由已知条件易得：AB=12m，由题意易得：CD=13-0.5×10=8（m）,在Rt△ADC中易得AD=m，从而可得BD=AB-AD=12-.
试题解析：
∵在Rt△ABC中，∠CAB=90, BC=13m, AC=5m，
∴AB= (m)，
∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，
∴CD=13-0.5×10=8 (m)，
∴AD= (m) ，
∴BD=AB-AD=(12-) (m)，
答：船向岸边移动了m.
20．（1）n2－1；b＝2n；c＝n2＋1；（2）是直角三角形（3）勾股；a＝35；b＝12；c＝37．（答案不唯一）.
【解析】
试题分析：
（1）观察、分析表格中的数据可得：a=n2-1，b=2n，c=n2+1；
（2）分别计算出a、b、c的平方，可得：a2+b2=c2，由此可知以a、b、c为边的三角形是直角三角形；
（3）由“勾股数”的定义可知，满足表格中数量关系的a、b、c是勾股数，这样的勾股数很多，如35、12、37等.
试题解析：
（1）观察、分析可得：a=n2-1，b=2n，c=n2+1；
（2）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形；
（3）由“勾股数”的定义可知，满足这样关系的整数我们把它叫做勾股数，这样的勾股数有很多，如（答案不唯一）.
21．（1）受影响；（2）4小时
【解析】
【分析】
（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BC作垂线，垂足为M，若AM＞500则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BC的长为500千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AM⊥BC，则M是DG的中点，在Rt△ADM中，解出MD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【详解】
（1）（1）A城受到这次台风的影响，
理由：由A点向BC作垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，∠ABM=30°，AB=600km，则AM=300km，
因为300＜500，所以A城要受台风影响；

（2）设BC上点D，DA=500千米，则还有一点G，有
AG=500千米．
因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AM⊥BC，所以AM是DG的垂直平分线，MD=GM，
在Rt△ADM中，DA=500千米，AM=300千米，
由勾股定理得，MD==＝400（千米），
则DG=2DM=800千米，
遭受台风影响的时间是：t=800÷200=4（小时），
答：A城遭受这次台风影响时间为4小时．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离及速度与时间的关系等，构造出直角三角形是解题关键．
22．（1）10m（2）6.8
【解析】
【分析】
(1)此时设BC=x，则OC=18-x，在直角三角形OBC中利用勾股定理可解得x的值.
(2)以Q点为直角顶点，则可利用建立方程求解.
【详解】
(1) 设BC=x
∵BC=AC
∴OC=OA-CA=OA-BC=18-x
在直角三角形OBC中有
即
解得
即BC=10m.
(2)

如图所示：当BQ⊥BC时符合条件.
此时QC=3t-(OB+OC)=3t-(6+8)=3t-14
BQ=BC-QC=24-3t
在直角三角形OQC中，有
即
在直角三角形BOQ中，有
即
则有
解得：
则当时，是以点为直角顶点的直角三角形.
故答案为：（1）10m（2）6.8
【点睛】
本题考查了直角三角形勾股定理的运用，解题关键在于找准直角三角形中直角边和斜边，利用勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方.
23．（1）见解析;（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求出6，8，10和5，12，13符合要求，即可得出答案．
（2）首先设等边三角形的边长为a，则等边三角形的面积为a2，进而求出不存在等边“整数三角形”.
【详解】
⑴小颖摆出的“整数三角形”如下图所示：

小辉摆出三个不同的等腰“整数三角形”如下图所示：

⑵①不能摆出等边“整数三角形”.理由如下：
设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为.
因为，若边长a为整数，那么面积一定非整数.
所以不存在等边“整数三角形”.
②能摆出如图下图所示一个非特殊“整数三角形”：

【点睛】
此题主要考查了作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质和勾股定理的应用，根据已知熟练利用勾股定理求出勾股数是解题关键．
答案第2页，总15页
答案第1页，总15页