2019-2020学年北师大版数学选修2-2第二章变化率与导数 第2课时 变化率与导数 课件:46张PPT

课件46张PPT。第二章变化率与导数本章内容编排上分为五部分：一是变化的快慢与变化率；二是导数的概念及其几何意义；三是计算导数；四是导数的四则运算法则；五是简单复合函数的求导法则.
教材通过实例分析，让我们经历从用变化率刻画事物变化的快慢、从平均变化率到瞬时变化率的认识过程，进而给出导数概念和导数的几何意义．
为了进一步理解导数就是瞬时变化率，从而解决瞬时变化率的问题，我们可以首先从平均变化率开始，通过对自变量的改变量取极限进而得到平均变化率的极限值——瞬时变化率，教材专门安排了一节“计算导数”，使我们学会利用平均变化率取极限的方法计算一些简单函数的导数，并给出了导数的概念．对于一般函数的导数的计算，教材没有进行推导，而是直接给出基本初等函数的导数公式表，并通过四则运算法则和复合函数求导法则计算相关函数的导数，这些运算法则的主要定位是应用，不要求严格的推导，只是通过一些实例产生感性的认识．对于复合函数，要求能求简单的复合函数(仅限于形如f(dx＋b))的导数．
本章的学习重点是导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函数的导数运算；学习的难点是对导数定义的理解. §2　导数的概念及其几何意义
第2课时　导数的几何意义自主预习学案 下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的
切线方向飞出．实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方
向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线
方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题．
1．曲线的切线：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ，当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的_____．
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的__________，即k＝f ′(x0)＝ _______________________.
3．函数y＝f(x)在点x0处切线的方程为__________________________.切线　切线的斜率　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)　B 2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则(　　)
A．f ′(x0)<0 B．f ′(x0)>0
C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在
[解析]　由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f ′(x0)＝3.故选B.B　B 互动探究学案(1)求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[思路分析]　求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再把x的值代入求导数值．命题方向1　?求切线方程典例 1 可得(x－2)2(x＋4)＝0，
解得x1＝2，x2＝－4.
从而求得公共点为P(2,4)或M(－4，－20)．
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点．『规律总结』　1.求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：
(1)设切点为Q(x0，y0)；
(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)；
(3)利用Q在曲线上和f ′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f ′(x0)；
(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y＝f(x)的切线．
求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再分别按上述1、2求解．
4．f ′(x0)>0时，切线的倾斜角为锐角；f ′(x0)<0时，切线的倾斜角为钝角；f ′(x0)＝0时，切线与x轴平行．f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在．[思路分析]　解此类题的步骤为：①设切点坐标(x0，y0)；②求导函数 f ′(x)；③求切线的斜率f ′(x0)；④由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；⑤由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．命题方向2　?求切点的坐标 典例 2 (1，－1)　『规律总结』　切点问题的处理方法
(1)由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．
(2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，直线平行或垂直与斜率的关系等．B 导数的几何意义的综合运用，主要是依据函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，即曲线f(x)在点x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围以及直线间的位置关系等求解相关问题．
已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l1，l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．导数几何意义的综合应用 典例 3 玉　『规律总结』　1.导数的几何意义是指：曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．
2．运用导数几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．
3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．±1 过曲线y＝x3上的点P(1,1)作该曲线的切线，求过点P(1,1)的切线方程．对导数的几何意义理解不够深刻，导致判断错误 典例 4 [点评]　错误原因：求曲线上过某点的切线方程时，把该点作了切点，事实上也可能不是切点，甚至即便是切点也可能导数不存在．
纠错心得：函数在某点处可导是曲线在该点存在切线的充分不必要条件，注意“在”和“过”的区别．C [解析]　∵y＝f(x)的图像在点P(5，f(5))处的切线方程为y＝－x＋8，可得y＝f(x)在点P(5，f(5))处的切点和切线斜率f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，
则f(5)＋f′(5)＝2.C　3．(2019·临沂高二检测)曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则此切线的方程为(　　)
A．y＝9x B．y＝9x－26
C．y＝9x＋26 D．y＝9x＋6或y＝9x－26D　4．(2019·威海高二检测)已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．