2019-2020学年北师大版数学选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入 课件:51张PPT

课件51张PPT。第五章数系的扩充与复数的引入本章知识概述：本章在数系扩充的基础上，引进了复数的概念及运算．
本节共分两个小节，第一小节讲数系的扩充和复数的有关概念，介绍了数集从自然数集开始，扩充到复数集的过程，并说明了数系的每一次扩充，都解决了某些运算不能进行的矛盾．讲复数概念时，说明人们在解实系数方程时，产生了扩充实数集的需要，从而引进虚数单位i，在此基础上，给出了复数的概念及表示形式．并且详尽地讨论了复数的分类，又通过复数和复平面内的点一一对应，给出了复数的几何意义．
第二小节讲复数的运算，分别给出了复数的加法、减法运算法则，以及代数形式的乘法、除法运算法则．
复数产生以后，人们将复数与平面向量联系起来，并使其在电工学、流体力学、振动理论、机翼理论中得到广泛的实际应用，然后又建立了以复数为变数的“复变函数”理论，这又是一个崭新而强有力的数学分支. §1　数系的扩充与复数的引入自主预习学案2017年8月，希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛．一天，张明与王华面对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话．
张明：海纳百川，心阔容海．海、心孰大？
王华：夸张的手法，不可比较．
张明：那么数m，n可否比较大小？
王华：未必．
同学们，你能准确回答张明的问题吗？1．复数的概念
把平方等于－1的数用i表示，规定____＝－1，我们称i为虚数单位．
规定：i可以与实数b相乘，再与实数a相加．这样就出现了形如a＋bi的数．
我们把形如a＋bi(a，b是实数，i是虚数单位)的数叫作复数．
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．
2．复数的分类
根据复数中a，b的取值不同，复数a＋bi可以分类如下：i2　对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用Rez与lmz表示，即a＝Rez，b＝lmz.
复数的全体组成的集合叫作复数集，记作____，显然有：N?Z?Q?R?C，如图．实数　虚数　纯虚数　非纯虚数　C　 3．复数相等
两个复数a＋bi与c＋di相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等，记作a＋bi＝c＋di，即a＋bi＝c＋di当且仅当_________________.
由此得到a＋bi＝0?a＝0，且b＝0.
用复数相等的充要条件时要注意：
(1)化为复数的标准形式z＝a＋bi；
(2)实部、虚部中的字母为实数，即a，b∈R.
4．复数与复平面内的点的一一对应
复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用直角坐标平面内的一个点Z来表示，如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示．a＝c，且b＝d 　这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．原点为起点，点Z(a，b)为终 6．复数的模
设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，_______________________ 叫作复数z的模或绝对值，记作|z|.
由模的定义可知|z|＝|a＋bi|＝_________.
如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值)．点Z到原点的距离|OZ|　1．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于
(　　)
A．－3 B．3
C．－1 D．1
[解析]　1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，根据题
中的条件，得a＝－1.C　2．a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　当a＝0时，若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为纯虚数．若a＋bi为纯虚数，则a＝0.故a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件．B　3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　)
A．1或3 B．1
C．3 D．2A　4．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
[解析]　由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.
(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或－3；
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.互动探究学案 (1)给出下列三个命题：①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时，z为纯虚数；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)(2019·启东高二检测)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________.命题方向1　?复数的概念B　典例 1 (3)判断下列命题的真假．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
[解析]　(1)对于①没有强调a，b∈R，这一重要条件，所以①为假命题．
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．『规律总结』　判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
(2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
特别提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．〔跟踪练习1〕
下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号为(　　)
A．① B．②
C．③ D．④D[解析]　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．
在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；
在③中，若x＝－1，则x2＋3x＋2＝0，也不成立，故③错误；
两个虚数不能比较大小，故②错误；④正确．[思路分析]　本题考查复数的分类概念．解题的关键是运用复数有关分类概念的充分条件．要注意纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.命题方向2　?复数的分类典例 2 『规律总结』　涉及复数的分类概念，注意到
〔跟踪练习2〕
(1)若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．以上全不对A(2)若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m＋2)为纯虚数，则实数m的值为___.4　　 已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y.
[思路分析]　因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值．命题方向3　?复数相等的条件典例 3 『规律总结』　一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数．复数相等是实现复数向实数转化的桥梁．〔跟踪练习3〕
已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，则实数m的值为______.
[思路分析]　由M∪P＝P知，M是P的子集，从而可知(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或4i，利用复数相等的条件可求得m的值．1或2 命题方向4　?复数的几何意义典例 4 [思路分析]　本题主要考查复数与复平面内点的对应关系．解题的关键是利用复数对应的点的特点转化为关于a的方程或不等式解决．规律总结』　由复平面内适合某种条件点的集合来求其对应的复数集时，通常是由其对应关系，列出方程(组)或不等式(组)来解决．〔跟踪练习4〕
当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面中的对应点：
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴的负半轴上． 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
[思路分析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.命题方向5　?复数模的计算典例 5 『规律总结』　计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行计算．两个虚数不能比较大小 ，但它们的模可以比较大小． 已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围．
[思路分析]　由题目可获取以下主要信息：
①已知复数及其模的范围；
②求复数虚部的取值范围．
解答本题可利用模的定义转化为实数不等式求解或利用数形结合思想求解．利用复数的几何意义解题典例 6 『规律总结』　解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．〔跟踪练习6〕
已知复数z1＝2－2i，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，试求复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值． 已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是(　　)
A．1个圆 B．线段　　　　　　　　
C．2个点　　　　　　 D．2个圆
[错解]　D　由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D.
[辨析]　错解中忽视了“|z|”的几何意义导致错误. 复数模的几何意义的应用 典例 7 [正解]　A　由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A.
[点评]　由复数模的定义和复数的几何意义知，|z|表示z在复平面内的对应点到原点的距离，因此|z|≥0.z＝i时，z2＝－1，但|z|≠－1，不要作错误的迁移．C 2．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，则实数a的值为____.－1 (x－2)2＋y2＝8