2019-2020学年北师大版数学选修2-2第一章推理与证明 课件:43张PPT

课件43张PPT。第一章推理与证明同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过《福尔摩斯探案集》吗？你了解哥德巴赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警察怎样破案，气象专家怎样预测天气，数学家怎样论证命题的真伪吗？这一切都离不开推理．而证明的过程更离不开推理．
本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学习数学证明的基本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯． §1　归纳与类比自主预习学案 《内经·针刺篇》记载了这样一个故事：有一个患
头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破脚趾，出了一
点血，但头不疼了．当时他没有注意．后来头疼复
发，又偶然碰破同一脚趾，头疼又好了．这次引起
了他的注意，以后每次头疼时，他就有意刺破该处，
都有效应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的“大敦穴”)．现在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破原脚趾处呢？这里面有怎样的数学知识呢？1．推理的概念
根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理．推理一般由两部分组成：_____和_____．
2．合理推理
(1)当前提为真时，结论__________的推理，叫做合情推理．前提 结论 可能为真 合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向，其推理过程为：
(2)两种合情推理：_________和_________．
3．归纳推理的定义
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断_________________________ _________，这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．
归纳推理是由部分到整体，由_____到_____的推理．
利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．归纳推理　类比推理　该类事物中每一个事物都有　个别　一般　这种属性　4．类比推理的定义
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也_____________________，这种推理方式称为类比推理(简称类比)．
类比推理是由_______到_______的推理，是两类事物特征之间的推理．
利用类比推理得出的结论不一定是正确的．一般地，如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．具有类似的其他特征　特殊　特殊　1．如图是2017年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是(　　)
[解析]　观察题干中的三个图形，前一个图形以中心为原点沿顺时针旋转144°得到后一图形，类比可知选A.A　2．下面类比推理中恰当的是(　　)
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
[解析]　结合实数的运算律知C是正确的．C　3．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________________.
[解析]　将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.b4＋b8>b5＋b7　互动探究学案 (1)观察分析下表中的数据：
猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是________________.命题方向1　?归纳推理典例 1 V＋F－E＝2　(2)(2019·聊城高二检测)由下列各式：
13＝12
13＋23＝32
13＋23＋33＝62
13＋23＋33＋43＝102
请你归纳出一般结论．
[思路分析]　(1)通过观察几组数字之间的关系列式；
(2)通过观察等式左右各自特点找通项．[解析]　(1)因为5＋6－9＝2，
6＋6－10＝2，
6＋8－12＝2，
∴V＋F－E＝2.『规律总结』　(1)由已知数式进行归纳推理的步骤
①分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征．
②提炼出等式(或不等式)的综合特点．
③运用归纳推理得出一般结论．(2)归纳推理在图形中的应用策略
〔跟踪练习1〕
下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律，第n个图案中需用灰色瓷砖________块(用含n的代数式表示)．
[解析]　第(1)，(2)，(3)，…个图案灰色瓷砖数依次为15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，……
由此可猜测第n个图案灰色瓷砖数为(n＋2)(n＋4)－n(n＋2)＝4(n＋2)＝4n＋8.4n＋8　命题方向2　?类比推理典例 2 [思路分析]　考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论．『规律总结』　1.类比推理的思维过程大致为：
2．类比推理的一般步骤：
(1)通过观察、分析，找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)通过类比、联想，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
(3)通过推理论证，证明结论或推翻结论．
一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．〔跟踪练习2〕[解析]　如图所示，设A在底面的射影为O，连接BO并延长交CD于E.连接AE，由AB⊥AC，AB⊥AD得AB⊥平面ACD.归纳推理具有从特殊到一般，从具体到抽象的认知功能，在求数列的通项公式或前n项和的问题中，经常用归纳推理得出关于前有限项的结论，此时要注意把它们的表达式的结构形式进行统一，以便于寻找规律，归纳猜想得出结论．
其具体步骤是：
(1)通过条件求得数列中的前几项；
(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式．归纳推理在数列中的应用 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项an的表达式．典例 3 [解析]　(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
(2)由a1＝1＝21－1，
a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)．『规律总结』　(1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．
(2)解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中的n取具体值1,2,3,4，…，然后求得a1，a2，a3，a4，…的值或S1，S2，S3，S4，…的值，根据这些结果进行归纳得到结果． 在下列类比推理中，正确的有__________．
①把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay.
②把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny.
③把实数a，b满足：“若ab＝0，b≠0，则a＝0”．类比平面向量的数量积，“若a·b＝0，b≠0，则a＝0”．典例 4 [错解]　②③
[辨析]　没有抓住类比推理的实质．
[正解]　④　①②中，loga(x＋y)与sin(x＋y)都是一个整体，而a(b＋c)中a与b＋c是两个各自独立的部分，它们之间没有可类比性；③中由a，b两数的积，类比到a，b两向量的数量积，类比形式正确，但类比结论错误；④中，将平面上直线将三角形分成两部分的面积比、类比到空间中平面将三棱锥分成两部分的体积比，将角的两边，类比到二面角的两个面，类比形式正确，易证类比结论也是正确的．
[点评]　进行类比推理时，要从其形式、结构、维数等类似特征入手，要抓住本质属性中相似或相同之处作类比．玉　〔跟踪练习4〕
在Rt△ABC中，C为直角，A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，则c2＝a2＋b2，类比在三棱锥中有何结论．[解析]　观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．A　2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了(　　)
A．归纳推理 B．类比推理
C．没有推理 D．以上说法都不对
[解析]　推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．B 3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{an}，则下列结论正确的是(　　)
①a5＝15；
②数列{an}是一个等差数列；
③数列{an}是一个等比数列；
④数列{an}的递推关系是an＝an－1＋n(n∈N*)．
A．①②④ B．①③④
C．①② D．①④D [解析]　由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{an}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.4．观察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
……
由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝_____________.