2019-2020学年北师大版数学选修2-2第一章推理与证明本章总结课件:40张PPT

课件40张PPT。第一章推理与证明本章总结1．合情推理分为归纳推理和类比推理，是基本的分析和解决问题的方法．合情推理是合乎情理的推理，通过归纳、猜测发现结论，为解决问题提供了思路和方向．归纳推理和类比推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的．归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
2．演绎推理
演绎推理是数学证明中的基本推理形式，“三段论”是演绎推理的一般模式．专题一　?归纳与类比3．近几年高考对推理的考查：
(1)以选择题、填空题的形式考查合情推理；
(2)以选择题或解答题的形式考查演绎推理；
(3)题目难度不大，多以中低档题为主． 将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2　　3
4　　5　　6
7　　8　　9　　10
11　　12　　13　　14　　15
…　　…　　…　　…　　…　　…
根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数为_________.典例 1 在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是______________.典例 2 证明如下：如图，作OE⊥平面LMN，垂足为E，连接LE并延长交MN于F，
∵LO⊥OM，LO⊥ON，
∴LO⊥平面MON，
∵MN?平面MON，
∴LO⊥MN，『规律方法』　类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、类比、归纳而得出结论．通常情况下，平面图形的边长、面积往往类比空间几何体的面积、体积．综合与分析法是证明命题的两种最基本、最常用的直接证明方法．综合法常用于由已知推论较易找到思路时；分析法常用于条件复杂、思考方向不明确且用综合法较难证明时．单纯应用分析法证明并不多见，常常是用分析法寻找思路，用综合法表述过程．因此在实际应用中，经常要把综合法与分析法结合起来使用．本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主．专题二　?直接证明 (2019·清水县期中)设a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：
(1)c2＞ab；
[思路分析]　(1)根据基本不等式的证明即可证明c2＞ab；
(2)利用分析法进行证明．典例 3 反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”等字样的命题时，正面证明往往较难，此时可考虑反证法，即“正难则反”．
设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式．
(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．专题三　?用反证法证明典例 4 [解析]　(1)分两种情况讨论．
①当q＝1时，数列{an}是首项为a1的常数数列，所以Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1.
②当q≠1时，Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an?qSn＝qa1＋qa2＋…＋qan－1＋qan.
上面两式错位相减：
(1－q)Sn＝a1＋(a2－qa1)＋(a3－qa2)＋…＋(an－qan－1)－qan＝a1－qan(2)使用反证法．
设{an}是公比q≠1的等比数列，假设数列{an＋1}是等比数列，则
(a2＋1)2＝(a1＋1)(a3＋1)即(a1q＋1)2
＝(a1＋1)(a1q2＋1)，
整理得a1(q－1)2＝0得a1＝0或q＝1均与题设矛盾，故数列{an＋1}不是等比数列．『规律方法』　用反证法证明问题时要注意以下三点
(1)必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，都不是反证法．
(2)反证法必须从否定结论进行推证，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．数学归纳法是一种证明方法，可以证明与正整数有关的命题，如恒等式、不等式、几何问题以及整除问题等．高考数学归纳法的考查，一般以数列为背景，涉及等式、不等式等问题，归纳—猜想—证明是解决此问题的通法．
在数列{an}与{bn}中，a1＝1，b1＝4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn＋1－(n＋3)Sn＝0,2an＋1为bn与bn＋1的等比中项，n∈N*.
(1)求a2，b2的值；
(2)求数列{an}与{bn}的通项公式．专题四　?用数学归纳法解题典例 5 『规律总结』　数学归纳法的主要思想：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基；第二步是递推的依据，也叫归纳递推．在这一步中归纳假设必须用上，否则就不是数学归纳法．转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．
(1)请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；
(2)从(1)中的解能获得什么结论？能否将其推广？
[思路分析]　先将g(5)用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)表示出来，再推广到一般情况．专题五　?转化与化归思想典例 6 『规律总结』　(1)归纳推理是从特殊到一般，从部分到整体的推理，在归纳、猜想阶段体现的是一般与特殊的相互转化关系．
(2)归纳推理得到的结论未必正确，还需检验和证明，有时要用到三段论．分类讨论思想在本章的证明问题中，无论是直接法还是间接法，都有所体现．如用反证法证明命题时，若结论的反面情况不唯一时，则必须采用分类讨论的方法对反面情况逐一否定，才能使问题得以证明．
已知平面上有四个点A，B，C，D，任何三点都不共线，求证以每三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
[思路分析]　分别对第四个顶点在前三个顶点确定的三角形内、外两种情形进行讨论．专题六　?分类讨论思想典例 7 [解析]　假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形，考虑点D在△ABC内、外两种情形．
①如图(1)所示，点D在△ABC内．
根据假设，围绕点D的三个角都是锐角，
从而得∠ADC＋∠ADB＋∠BDC<270°.
这与一个周角等于360°矛盾．②如图(2)所示，点D在△ABC外．
根据假设，在△ABD中，∠BAD<90°，
在△ABC中，∠ABC<90°，
在△BCD中，∠BCD<90°，
在△ADC中，∠ADC<90°，
从而有∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＋∠DAB<360°.
这与四边形ABCD的内角和为360°矛盾．
综合①②可知，假设不成立，故原结论成立．『规律总结』　利用反证法证明时，若否定结论后出现多种情况，则需要分类讨论，记得最后下结论时，说明上述情况均矛盾，故假设不成立，原结论成立．一、选择题
1．异面直线在同一平面内的射影不可能是(　　)
A．两条平行直线　 B．两条相交直线
C．一点与一直线 D．同一条直线
[解析]　若两条直线在同一平面的射影是同一直线，则这两条直线的位置关系为平行或相交或重合，这均与异面矛盾，故异面直线在同一平面内的射影不可能为一条直线．故应选D.D　2．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定(　　)
A．大于零 B．等于零
C．小于零 D．正负都可能
[解析]　f(x)＝x3＋x是奇函数且在R上是增函数，
由a＋b>0，得a>－b，故f(a)>f(－b)．
可得f(a)＋f(b)>0.
同理f(a)＋f(c)>0，f(a)＋f(c)>0.
所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.故选A.A　3．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是(　　)
A．6＋6·7k B．2＋7k－1
C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)
[解析]　(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．
(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋ 7n＋1)＝21(2＋7n)－36.
∵3(2＋7n)能被9整除，36能被9整除，
∴21(2＋7n)－36能被9整除，
这就是说，k＝n＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，命题对任何k∈N*都成立．D　4．黑白两种颜色的正六边形地砖如图所示的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中有白色地砖有(　　)
A．4n－2块 B．4n＋2块
C．3n＋3块 D．3n－3块
[解析]　第1个图案中有白色地砖6块，第2个图案中有白色地砖10块，第3个图案中有白色地砖14块，归纳为：第n个图案中有白色地砖(4n＋2)块，故选B.B　二、填空题
5．根据下面一组等式
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，
…
可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝____.n4　[解析]　根据所给等式组，不难看出：S1＝1＝14；
S1＋S3＝1＋15＝16＝24；
S1＋S3＋S5＝1＋15＋65＝81＝34，
S1＋S3＋S5＋S7＝1＋15＋65＋175＝256＝44，
由此可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.6．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“____________________ ________”，这个类比命题是_____命题(填“真”或“假”)．
[解析]　类比推理要找两类事物的类似特征，平面几何中的线，可类比立体几何中的面．故可类比得出真命题“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．夹在两个平行平面间的平行 线段相等 真