2019-2020学年高中北师大版数学选修1-2第三章推理与证明§3 综合法与分析法3课件:50张PPT

课件50张PPT。第三章推理与证明§3 综合法与分析法自主预习学案C先生上了公交车却发现没带钱包，售票员不由分说让他下车，一位小伙子微笑着递过一块钱，C先生很感激．车上的人开始小声议论C先生是骗钱的，就在C先生生气准备甩票下车的时候，借钱给他的小伙子大声问：“能不能借一下您的手机？”C先生递过手机，小伙子拨了个号码，说了两三分钟的话，C先生想这下可以证明我的清白了．下车后C先生打开手机愣住了，原来小伙子根本没有拨通电话，但是直接证明了他的清白．1．综合法
(1)直接证明：
①直接证明的概念
直接从原命题的________逐步推得________成立，这种证明方法叫作直接证明．
②直接证明的一般形式条件 结论 (2)综合法
①定义：从命题的条件出发，利用________、________、________及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．
综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一般列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．定义 公理 定理 P Q 2．分析法
(1)定义：从求证的________出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的________条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．
分析法也是数学证明中的一种常用的直接方法，它先假设所要求证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断，而当这些判断恰恰都是已知的命题(定义、公理、法则、公式等)时，命题得证．结论 充分 P (3)用分析法证题时，应注意叙述的逻辑性与规范性，即分析法的独特的表述形式：
如证明“若A，则B”，这个命题的模式是：
要证B成立，
只需证A1成立(A1是B成立的充分条件)．
要证A1成立，
只需证A2成立(A2是A1成立的充分条件)．
……要证Ak成立，
只需证A成立(A是Ak成立的充分条件)
∵显然A成立．
∴AK成立，
∴B成立．分析法与综合法的区别与联系
(1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．
(2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后的一步归结为已被证明了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明过程就是综合法．分析法便于思考，叙述较繁；综合法叙述条理清楚，不便于思考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条理清楚．所以实际解题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：分析找思路，综合写过程．
(3)当待解决问题，一时打不开思路，不知从何入手时，有时可以运用分析法去探求解题思路，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效的方法．另外，对于恒等式的证明，也同样可以运用分析法证明．又如在立体几何证明题中，将待证结论作为条件和其他已知条件结合起来分析，看能够得出什么“结论”来逐步探求证题的思路，也是常用方法．1．综合法是(　　)
A．执果索因的逆推法
B．由因导果的顺推法
C．因果分别互推的两头凑法
D．证明命题的唯一方法
[解析]　综合法是由因导果的顺推法，故选B．BB D 9 5．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
[解析]　因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>3(a2－b2)＝3(a－b)(a＋b)>0，
所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)
＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)
＝(3a2－2b2)(a－b)≥0，
即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.互动探究学案命题方向1　?综合法的应用『规律方法』　1.综合法证明数学命题的步骤
第一步：分析条件，选择方向．认真发掘题目的已知条件，特别是隐含条件，分析已知与结论之间的联系，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
命题方向2　?分析法的应用『规律方法』　分析法证明不等式的依据、方法与技巧．
(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．命题方向3　?综合法和分析法的综合应用『规律方法』　在实际解决问题中，分析法与综合法往往结合起来使用，先分析由条件能产生什么结论，再分析要产生需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程．准确把握条件 [辨析]　这里题目中的条件为a＋b>0，而不是a>0，b>0，因此，应分a＞0且b＞0和a，b有一个为负值两种情况加以讨论．〔跟踪练习4〕
求证：当x≥0时，sinx≤x.
[分析]　不等式恒成立问题，可以转化为函数的最值问题来解决．
[证明]　要证x≥0时，sinx≤x，只需证x≥0时，sinx－x≤0即可．
设f(x)＝sinx－x，则即证x≥0时，f(x)≤f(0)．
即证x≥0时，f(x)的最大值小于或等于0.(*)
∵f(x)＝sinx－x，∴f′(x)＝cosx－1，∴当x≥0时，f′(x)≤0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
∴当x≥0时，f(x)max＝f(0)＝0，∴sinx－x≤0成立．
∴原不等式成立．利用分析法、综合法证明问题 综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰，分析法叙述烦琐，在实际解题时，常常把分析法和综合法综合起来运用．先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．『规律总结』　1.有些数学问题的证明，需要把综合法与分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或者称“两头凑法”．
2．在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，但解题的表述过程较为烦琐，而综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题过程中，常常将分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法探求得到解题思路，再利用综合法条理地表述解题过程 .1．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定BC C a>c>b 5．已知a>0，b>0且a≠b，用分析法证明：a3＋b3>a2b＋ab2.
[解析]　要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立．
因为a>0，b>0，a＋b>0.
所以只需证a2－ab＋b2>ab，
只需证a2－2ab＋b2>0，
即(a－b)2>0，
依题意a≠b，则(a－b)2>0显然成立．
那么a3＋b3>a2b＋ab2成立．