2019-2020学年高中北师大版数学选修1-2第三章推理与证明4 §4 反证法 课件:42张PPT

课件42张PPT。第三章推理与证明§4 反证法自主预习学案夏天，在日本东京的新宿区的一幢公寓内，发生了一宗凶杀案，时间大约是下午4时左右．警方经过三天的深入调查后，终于拘捕到一个与案件有关的疑犯，但是他向警方作出不在现场证明时，他说：“警察先生，事发当天，我一个人在箱根游玩，直至下午4时左右，我到芦之湖划船．当时适值雨后天晴，我看到富士山旁西面的天空上，横挂着一条美丽的彩虹，所以凶手是别人，不是我！”你知道嫌犯的话露出了什么破绽吗？警方是怎样证明他在说谎的呢？反证法
1．间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法．
反证法就是一种常用的________证明方法．间接 2．反证法
(1)概念：假定命题结论的________成立．在这个前提下，若推出的结果与________、________、________矛盾，或与命题中的_____________相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这样的证明方法叫作反证法(有时也叫归谬法)．
(2)形式：由证明p?q转向证明：?q?r?…?t，t与假设或某个真命题矛盾，?q为假，推出q为真．反面 定义 公理 定理 已知条件 3．反证法的证题步骤
包括以下三个步骤：
(1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；
(2)逐步推理，导出矛盾(归谬)——从假设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
(3)否定假设，肯定结论(存真)——由矛盾结果，断定假设不真，从而肯定原结论成立．1．用反证法证明问题的本质
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法．用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论．
也就是说，反证法是由证明p?q转向证明?q?r?…?t，t与假设或与某个真命题矛盾，?q为假，推出q为真的方法．从逻辑角度看，命题“若p，则q”的否定是“若p，则?q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“若p，则?q”为假，因此可知“若p，则q”为真．可以看出，反证法与证逆否命题是不同的．由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响，在否定结论后的推理过程中，往往一味寻求与原题设的矛盾，而不注意寻求其他形式的矛盾，这样就大大限制和影响了解题思路．
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．2．反证法的适用对象
作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：
(1)直接证明需分多种情况的；
(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；
(3)关于唯一性、存在性的命题；
(4)结论以“至多”“至少”等形式出现的命题；
(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．1．“aA．a≠b　　　　　　 B．a>b
C．a＝b D．a≥b
[解析]　“aA．三角形中有两个内角是直角
B．三角形中有三个内角是直角
C．三角形中至少有两个角是直角
D．三角形中没有一个内角是直角
[解析]　至多有一个的否定是至少有两个．C3．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
[解析]　至少有一个实根的否定为：没有实根．A
4．用反证法证明命题：“若a、b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”时，应作的假设是______________________.
[解析]　结论“a＝b＝1”的含义是a＝1且b＝1，故其否定应为“a≠1或b≠1”．假设a≠1或b≠1 5．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.
[解析]　假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°.
相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.
这与三角形内角和定理矛盾．
所以假设不成立，故原命题正确．互动探究学案命题方向1　?用反证法证明否(肯)定性命题 『规律方法』　1.结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若p，则q”的过程中，虽然否定了结论q，但是在证明过程中没有把“?q”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法．
〔跟踪练习1〕
平面上有四个点，没有三点共线．证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
[证明]　假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D．考虑△ABC，则有点D在△ABC之内或之外两种情况．(1)如果点D在△ABC之内(图1)，根据假设以D为顶点的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个圆周角等于360°矛盾．
(2)如果点D在△ABC之外(图2)，根据假设∠BAD、∠B、∠BCD、∠D都小于90°，其和小于360°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．
综上所述，原结论成立．命题方向2　?用反证法证明“至多”“至少”类命题『规律方法』　1.当命题中出现“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“没有……”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．
2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：
命题方向3　?用反证法证明存在性、唯一性命题[解析]　显然x＝log23是方程的一根，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)．
则2b1＝3,2b2＝3.两式相除，得2b1－b2＝1.
∵b1≠b2，∴b1－b2≠0.
如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
所以假设不成立．从而2x＝3的根是唯一的．
故2x＝3有且只有一个根．『规律方法』　1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．
2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．〔跟踪练习3〕
已知直线m与直线a和b分别交于A、B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．
[解析]　∵a∥b，
∴过a、b有一个平面α.
又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，
∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m?α.
即过a、b、m有一个平面α
假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.
则a?α，b?α，a?β，b?β这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．准确写出反设 [辨析]　错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误．“求证：a>0，b>0，c>0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0.”
[正解]　假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a≤0，若a<0，则由abc>0，得bc<0，由a＋b＋c>0得，b＋c>－a>0，
∴ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc<0，这与已知ab＋bc＋ac>0矛盾．
又若a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾．
故“a≤0”不成立，∴a>0，同理可证b>0，c>0.〔跟踪练习4〕
已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0.用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．
[解析]　假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根．
则该方程的判别式Δ＝4－4(5－p2)＝4(p2－4)≥0，
解得p≤－2或p≥2，若p≤－2，则p＋2≤0,2p＋1<0，
(p＋2)(2p＋1)≥0，与(p＋2)(2p＋1)<0矛盾．
若p≥2，则p＋2>0,2p＋1>0，
(p＋2)(2p＋1)>0，与(p＋2)(2p＋1)<0矛盾．
所以假设不成立．
故关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．分析综合法 分析法和综合法是对立统一的两种方法．一个命题用何种方法证明，要能针对具体问题进行分析，灵活地运用各种证法．当不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目更是行之有效的方法．一般来说，对于较复杂的证明，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，或者在证明过程中综合法与分析法并用，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．
这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称“两头挤法”．分析综合法充分证明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的落点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．『规律方法』　(1)利用真数与底数相同，向同底转化．(2)本题先用分析法把证明一个对数不等式转化为证明一个式子大于零，然后利用对数性质及放缩法证明(*)式成立，进而说明原命题成立．前面为分析法，而中间的证明(*)式成立为综合法，即分析法用来转化，综合法用来证明．D 2．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设(　　)
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角B3．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab可被2整除，那么a，b中至少有一个能被2整除．”时，假设的内容应该是(　　)
A．a，b都能被2整除 B．a，b都不能被2整除
C．a，b不都能被2整除 D．a不能被2整除
[解析]　由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b∈N，如果ab可被2整除，那么a，b至少有1个能被2整除．”的否定是“a，b都不能被2整除”．
故选B．B4．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为__________________.
[解析]　“且”的否定是“或”．
5．设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
[解析]　假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd－ad＋bc＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0且c＋d＝0且a－d＝0且b＋c＝0，所以a＝b＝c＝d＝0与ad－bc＝1矛盾．
所以假设不成立，原结论成立．x＝a或x＝b