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八年级数学下册同步课堂巅峰讲练案系列——
第16章 二次根式
16.1 二次根式（第2课时）
【教学目标】
? 知识技能
理解并掌握二次根式的性质：（a≥0）是一个非负数和（）?=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
? 数学思考
乘方与开方互为逆运算在推导结论（）?=a（a≥0）中的应用以及对的理解.
? 解决问题
利用二次根式的性质解题.
? 情感态度
通过利用乘方与开方互为逆运算推导二次根式的性质,使学生感受到数学知识的内在联系.
【教学过程】
☆知识回顾☆
1、当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
解析：由于被开方数是非负数，
可知x -3 ≥ 0，得x≥3.
2、要使式子有意义，a的取值范围是（ ）
A. a≠ 0 B. a＞-2且a≠ 0
C. a＞-2或a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0
解析：选D.
要使题中式子有意义，须同时满足a+2≥0， a≠0两个条件，解两个不等式可得a≥-2且a≠0 .
☆探究活动1☆
根据算术平方根的意义填空：
____________； ____________；
____________； ____________；
解析：4； 0.01；
0； ；
观测上述等式的两边, 你能得到什么启示?
一般地，a（a≥0）
例1 计算：
解析：；
.
例2. 在实数范围内因式分解：4m?-7.
解析：利用二次根式的性质，将7写成完全平方的性质，利用平方差公式进行解答即可.
☆探究活动2☆
根据算术平方根的意义填空
____________； ＝____________；
____________； ____________；
解析：2； ＝0.1；
； 0；
一般地，根据算术平方根的意义，有a（a≥0）
例3 化简：
解析：；
.
☆合作探究☆
1. 从运算顺序来看, 先开方,后平方；先平方,后开方
2. 从取值范围来看, 中a的取值范围是a≥0；中，a为任意实数；
3. 从运算结果来看: =a，=，
即，
思考
解析：根据题意，可得m-4≤0，解得m≤4
举例说明：什么是代数式
例如3，x+1，，，都是代数式，
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式（algebraic expression）
☆能力提升☆
实数 p 在数轴上的位置如图所示，化简
解析：利用二次根式的性质以及数形结合思想来解答本题.
∵ p > 1
∴ 1－p < 0
∵ p < 2
∴ 2－p > 0
∴==1
☆名师点睛☆
本节课你有哪些收获？在应用二次根式的性质要注意什么问题？
1. 能利用二次根式的非负性结合绝对值、完全平方式，解决有关字母的取值问题
2. 再利用二次根式的性质时，要注意字母的取值范围，同时能用来化简二次根式、对实数进行估值，同时能熟练地进行实数范围内的因式分解
3. 在利用二次根式的性质要注意分类讨论思想以及数形结合思想的应用.
☆课堂提高☆
1．如果＝2?x，那么x取值范）围是（
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
【答案】A．
【解析】
根据二次根式的被开方数是一个非负数，可得不等式，求解即可．
∵＝2?x
∴x-2≤0
解得：x≤2．
故选A．
2．若a＜1，化简＝（ ）
A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a
【答案】D．
【解析】
已知a＜1，可得a-1＜0，根据二次根式的化简可得=1-a-1=-a，故答案选D．
3．下列等式正确的是（ ）
A．（）2＝3 B．3 C．3 D．（）2＝﹣3
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．
【解析】（）2＝3，A正确；
3，B错误；
3，C错误；
（）2＝3，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：|a|是解题的关键．
4．若1＜x＜2，则的值为（ ）
A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2
【分析】已知1＜x＜2，可判断x﹣3＜0，x﹣1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．
【解析】∵1＜x＜2，
∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，
原式＝|x﹣3|
＝|x﹣3|+|x﹣1|
＝3﹣x+x﹣1
＝2．
故选：D．
【点评】解答此题，要弄清以下问题：
1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a＝0时，0；当a小于0时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．
2、性质：|a|．
5．当1＜a＜2时，代数式|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
【分析】利用a的取值范围，进而去绝对值以及开平方得出即可．
【解析】∵1＜a＜2，
∴|1﹣a|
＝2﹣a+a﹣1
＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方得出是解题关键．
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则= ．
【答案】－b
【解析】
首先根据数轴即可确定a，b的符号，然后根据算术平方根的定义、绝对值的性质即可化简．根据数轴可得：b＞0，a＜0，且＞，∴a﹣b＜0，则原式=﹣a﹣（b﹣a）=﹣a﹣b+a=﹣b
7．化简|-3|= ．
【答案】3-．
【解析】|-3|=3-；
8．当﹣1＜a＜0时，则 ．
【分析】根据题意得到a0，a0，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可．
【解析】∵﹣1＜a＜0，
∴a0，a0，
原式
＝aa
＝2a，
故答案为：2a．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
9．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【解析】由数轴可得：
0＜a＜2，
则a
＝a
＝a+（2﹣a）
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题关键．
10．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简|a﹣2|的结果为 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
【解析】由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，
则|a﹣2|
＝5﹣a+a﹣2
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．
11．计算：，其中．
【答案】1．
【解析】∵，∴，，
则原式====1．
12．已知，实数，，在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】0．
【解析】
由a，b，c在数轴上的位置得出它们的的大小关系，利用二次根式的性质和去绝对值的法则进行化简．
由题意得，c＜a＜0＜b，
所以=-a+a+c+b-c-b=0．
13．实数在数轴上的位置如图所示，化简= ．
【答案】1．
【解析】
由图可得，1＜a＜2，则a﹣2＜0，a﹣1＞0，
化简=2﹣a+a﹣1=1．
故答案为：1．
14．已知2＜x＜5，化简：．
【答案】3
【解析】当2＜x＜5时，x－2＞0，x－5＜0，
∴．
15．已知a＜0，化简．
【答案】3
【解析】因为a＜0，所以原式＝－（a－3）－|a|＝3－a－（－a）＝3．
16．在实数范围内分解因式：
(1)x4－4；
(2)x4－4x2＋4．
【答案】(1)．(2)．
【解析】逆用(a≥0)可以得出，利用平方差公式和完全平方公式可在实数范围内对(1)(2)两式分解因式．
(1)．
(2)
17．甲同学和乙同学做一道相同的题目“先化简，再求值：，其中a＝9”时得出了不同的答案．
甲同学的做法是：原式．
乙同学的做法是：因为a＝9，所以a－1＞0，所以原式，当a＝9时，
原式＝2×9－1＝17．
到底谁做错了？为什么？
【答案】甲同学在去绝对值符号时，忽略了a与1的大小关系，故使其求解错误．
【解析】解：乙同学的做法是正确的，理由如下：因为，且a＝9，所以a－1＝9－1＝8＞0，所以|a－1|＝a－1＝8．所以原式．所以乙同学的做法正确，而甲同学在去绝对值符号时，忽略了a与1的大小关系，故使其求解错误．
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第16章 二次根式
16.1 二次根式（第2课时）
【教学目标】
? 知识技能
理解并掌握二次根式的性质：（a≥0）是一个非负数和（）?=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
? 数学思考
乘方与开方互为逆运算在推导结论（）?=a（a≥0）中的应用以及对的理解.
? 解决问题
利用二次根式的性质解题.
? 情感态度
通过利用乘方与开方互为逆运算推导二次根式的性质,使学生感受到数学知识的内在联系.
【教学过程】
☆知识回顾☆
1、当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
2、要使式子有意义，a的取值范围是（ ）
A. a≠ 0 B. a＞-2且a≠ 0
C. a＞-2或a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0
☆探究活动1☆
根据算术平方根的意义填空：
____________； ____________；
____________； ____________；
观测上述等式的两边, 你能得到什么启示?
一般地，_____（a≥0）
例1 计算：
例2. 在实数范围内因式分解：4m?-7.
☆探究活动2☆
根据算术平方根的意义填空
____________； ＝____________；
____________； ____________；
一般地，根据算术平方根的意义，有a（a≥0）
例3 化简：
☆合作探究☆
1. 从运算顺序来看, 先开方,后平方；___________
2. 从取值范围来看, 中a的取值范围是__________；中，a为___________；
3. 从运算结果来看: =a，=，
即，
思考
举例说明：什么是代数式
例如3，x+1，，，都是代数式，
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式（algebraic expression）
☆能力提升☆
实数 p 在数轴上的位置如图所示，化简
☆名师点睛☆
本节课你有哪些收获？在应用二次根式的性质要注意什么问题？
1. 能利用二次根式的非负性结合绝对值、完全平方式，解决有关字母的取值问题
2. 再利用二次根式的性质时，要注意字母的取值范围，同时能用来化简二次根式、对实数进行估值，同时能熟练地进行实数范围内的因式分解
3. 在利用二次根式的性质要注意分类讨论思想以及数形结合思想的应用.
☆课堂提高☆
1．如果＝2?x，那么x取值范）围是（
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
2．若a＜1，化简＝（ ）
A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a
3．下列等式正确的是（ ）
A．（）2＝3 B．3 C．3 D．（）2＝﹣3
4．若1＜x＜2，则的值为（ ）
A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2
5．当1＜a＜2时，代数式|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则= ．
7．化简|-3|= ．
8．当﹣1＜a＜0时，则 ．
9．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a ．
10．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简|a﹣2|的结果为 ．
11．计算：，其中．
12．已知，实数，，在数轴上的位置如图所示，化简：．
13．实数在数轴上的位置如图所示，化简= ．
14．已知2＜x＜5，化简：．
15．已知a＜0，化简．
16．在实数范围内分解因式：
(1)x4－4；
(2)x4－4x2＋4．
17．甲同学和乙同学做一道相同的题目“先化简，再求值：，其中a＝9”时得出了不同的答案．
甲同学的做法是：原式．
乙同学的做法是：因为a＝9，所以a－1＞0，所以原式，当a＝9时，
原式＝2×9－1＝17．
到底谁做错了？为什么？
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