人教版八年级下数学16.2二次根式的乘除法复习学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下数学16.2二次根式的乘除法复习学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 88.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-02 10:54:23 | ||
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文档简介
二次根式的乘除法
二. 重点、难点：
1. 重点：
（1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算；
（2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简；
（3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。
2. 难点：
（1）理解最简二次根式的概念；
（2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。
三. 知识梳理：
1. 二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即/（/≥0，/≥0）。
说明：（1）法则中/、/可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，/、/都是非负数；
（2）/（/≥0，/≥0）可以推广为/（/≥0，/≥0）； /（/≥0，/≥0，/≥0，/≥0）。
（3）等式/（/≥0，/≥0）也可以倒过来使用，即/（/≥0，/≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。
2. 二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即/（/≥0，/＞0）。
说明：（1）法则中/、/可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，/≥0，/在分母中，因此/＞0；
（2）/（/≥0，/＞0）可以推广为/（/≥0，/＞0，/≠0）；
（3）等式/（/≥0，/＞0）也可以倒过来使用，即/（/≥0，/＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。
3. 最简二次根式
一个二次根式如果满足下列两个条件：
（1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；
（2）被开方数中不含分母。
这样的二次根式叫做最简二次根式。
说明：
（1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式；
（2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简；
（3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。
【典型例题】
例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。
（1）/
（2）/
分析：此题涉及二次根式的乘法、除法公式的正确应用，特别注意公式应用的范围。
/（a≥0，b≥0）；/=/=/（a≥0，b＞0）。
解：（1）/+1≥0，2-/≥0。解得/≥-1，/≤2，即-1≤/≤2。
（2）/≥0，3-/>0。解得/≥0，/< 3，即0≤/<3。
例2. 计算：
（1）/；（2）/；（3）/；（4）/。
分析：直接运用二次根式的乘法进行计算，把它们的被开方数相乘，根指数不变，如果积能开方一定要开方。
解：（1）/=/=/；
（2）/=/=/=6；
（3）/=/=/=/；
（4）/=/=/=/。
例3. 化简：
（1）/；（2）/；（3）/；（4）/。
分析：直接运用公式/（/≥0，/≥0）化简即可，尽可能将被开方数的因式写成平方的形式。
解：（1）/=/=/=15；
（2）/=/=/=/=6；
（3）/=/=/=/=/=/=20；
（4）/=/=/=/
=/。
例4. 计算：
（1）/；（2）/；（3）/；（4）/。
分析：利用/（/≥0，/≥0）对二次根式进行乘法计算，要注意当结果仍然是二次根式时，应尽量化简。（4）中的隐含条件是/≥0，/≥0。
解：（1）/=/=/=/=/；
（2）/=/=/=/；
（3）/=/=/=/=-39；
（4）/=/=/=/。
例5. 化简：
（1）/；（2）/；（3）/；（4）/。
分析：利用/（/≥0，/≥0）可把被开方数比较复杂的二次根式化简。方法是先将被开方数进行质因数分解，化为积的形式，如果根号内有开得尽方的因式就移到根号外面来，用它的算术平方根来代替，从而达到化简的目的。
解：（1）/=/=/=/=/；
（2）/=/=/=/；
（3）/=/=/
=/=/=504；
（4）/=/
例6. 化简：
（1）/（/＞0）；（2）/（/＞0）；
（3）/（/＞0）；（4）/（/＞0，/＞/）。
分析：对于被开方数是多项式的二次根式，应把多项式分解因式然后按照被开方数是单项式的方法进行分解。为使运算简便，应尽量地应用运算律和乘法公式来进行计算，运算得到的结果必须进行化简。
解：（1）/=/=/=/；
（2）/=/
=/=/；
（3）/=/=/=/
（4）/=/=/=/。
例7. 计算：
（1）/；（2）/；（3）/；（4）/。
分析：直接运用/（/≥0，/＞0）进行计算，运算后结果要化简。
解：（1）/=/=/=2；
（2）/=/=/=3；
（3）/=/=/=2；
（4）/=/=/。
例8. 化简：
（1）/；（2）/；（3）/；（4）/。
分析：运用公式/（/≥0，/＞0）化简，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。要注意的是，当被开方数是带分数时，要先把它化成假分数。
解：（1）/=/=/=/；
（2）/=/=/；
（3）/=/=/；
（4）/=/=/=/。
例9. 计算：
（1）/；（2）/；（3）/；（4）/。
分析：二次根式的除法可以转化为乘法运算。对于多个二次根式相除的情况，应按照题中指定的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，没有括号的，从左往右依次计算，结果注意化简，数字应放在字母前面。
解：（1）/=/=/=/=/；
（2）/=/=/=/=/
（3）/=/=/=/；
（4）/=/=/=/=/。
例10. 把下列根号外的因式移到根号内
（1）/；（2）/。
分析：把根号外的因式内移到根号内，是指将根号外的非负因数或非负因式平方后移到根号内，并与根号内的因数或因式相乘。
解：（1）/=/
（2） /
点拨：因式内移，最容易发生符号错误。因此内移时，一定要认准非负因数或因式，保证内移时，不改变根式的大小。如（1）题中被开放数/，根号外面的－x也是非负的，内移后根号外应没有负号；（2）题因为被开方数/＞0，所以/＞0，所以/＜0要把负号留在根号外面。
例11. 去掉下列各式分母中的根号：
////
分析：（1）分母/=/，分子、分母同乘/即可去掉分母中的根号； （2）分母/，分子、分母同乘/即可去掉分母中的根号；（3）分子、分母同乘/即可去掉分母中的根号；（4）将分子分解/后，直接与分母约分，从而化去分母．
解：（1）/
（2）/
（3）/
=/
（4）/
点拨：去掉分母中的根号，通常是分母有理化。分母有理化时，应结合题目的具体特点，选择适当的方法。当分子或分母可以分解因式，并且分解后的因式能够约分的，最好不要直接分母有理化，待约分后再相机行事。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 填空题：
1. 等式/成立的条件是 .
2. 计算：（1）/ ； （2）/ .
（3）/ ； （4）/ .
3. 化简：（1）/＝ ； （2）/ .
4. 计算：（1）//＝ ；（2）/ .
二. 选择题：
5. 把/化简的结果应是（ ）
A. /B. /C. /D. /
6. 下列计算中，正确的是（ ）
A. /
B. /
C. /
D. /
7. 如果/，则实数/的取值范围是（ ）
A. /B. /C. /D. /
8. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. /B. /C. /D. /
三. 解答题：
9. 计算：（1）/ （2）/ （3）/
（4）/ （5）/ （6）/
10. 化简：
（1）/ （2）/
（3）/ （4）/
11. 已知：/求/的值。
【试题答案】
一. 填空题。
1. /；2. （1）20；（2）/；（3）2；（4）3；3. （1）/；（2）/；
4.（1）/；（2）/；
二. 选择题。
5. B；6. D；7. C；8. B
三. 解答题。
9. （1）/；（2）/；（3）10；（4）1；（5）/；（6）-9.
10. （1）/；（2）/；（3）/；（4）/
11. 化简得/，代入得2.197
二. 重点、难点：
1. 重点：
（1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算；
（2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简；
（3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。
2. 难点：
（1）理解最简二次根式的概念；
（2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。
三. 知识梳理：
1. 二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即/（/≥0，/≥0）。
说明：（1）法则中/、/可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，/、/都是非负数；
（2）/（/≥0，/≥0）可以推广为/（/≥0，/≥0）； /（/≥0，/≥0，/≥0，/≥0）。
（3）等式/（/≥0，/≥0）也可以倒过来使用，即/（/≥0，/≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。
2. 二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即/（/≥0，/＞0）。
说明：（1）法则中/、/可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，/≥0，/在分母中，因此/＞0；
（2）/（/≥0，/＞0）可以推广为/（/≥0，/＞0，/≠0）；
（3）等式/（/≥0，/＞0）也可以倒过来使用，即/（/≥0，/＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。
3. 最简二次根式
一个二次根式如果满足下列两个条件：
（1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；
（2）被开方数中不含分母。
这样的二次根式叫做最简二次根式。
说明：
（1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式；
（2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简；
（3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。
【典型例题】
例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。
（1）/
（2）/
分析：此题涉及二次根式的乘法、除法公式的正确应用，特别注意公式应用的范围。
/（a≥0，b≥0）；/=/=/（a≥0，b＞0）。
解：（1）/+1≥0，2-/≥0。解得/≥-1，/≤2，即-1≤/≤2。
（2）/≥0，3-/>0。解得/≥0，/< 3，即0≤/<3。
例2. 计算：
（1）/；（2）/；（3）/；（4）/。
分析：直接运用二次根式的乘法进行计算，把它们的被开方数相乘，根指数不变，如果积能开方一定要开方。
解：（1）/=/=/；
（2）/=/=/=6；
（3）/=/=/=/；
（4）/=/=/=/。
例3. 化简：
（1）/；（2）/；（3）/；（4）/。
分析：直接运用公式/（/≥0，/≥0）化简即可，尽可能将被开方数的因式写成平方的形式。
解：（1）/=/=/=15；
（2）/=/=/=/=6；
（3）/=/=/=/=/=/=20；
（4）/=/=/=/
=/。
例4. 计算：
（1）/；（2）/；（3）/；（4）/。
分析：利用/（/≥0，/≥0）对二次根式进行乘法计算，要注意当结果仍然是二次根式时，应尽量化简。（4）中的隐含条件是/≥0，/≥0。
解：（1）/=/=/=/=/；
（2）/=/=/=/；
（3）/=/=/=/=-39；
（4）/=/=/=/。
例5. 化简：
（1）/；（2）/；（3）/；（4）/。
分析：利用/（/≥0，/≥0）可把被开方数比较复杂的二次根式化简。方法是先将被开方数进行质因数分解，化为积的形式，如果根号内有开得尽方的因式就移到根号外面来，用它的算术平方根来代替，从而达到化简的目的。
解：（1）/=/=/=/=/；
（2）/=/=/=/；
（3）/=/=/
=/=/=504；
（4）/=/
例6. 化简：
（1）/（/＞0）；（2）/（/＞0）；
（3）/（/＞0）；（4）/（/＞0，/＞/）。
分析：对于被开方数是多项式的二次根式，应把多项式分解因式然后按照被开方数是单项式的方法进行分解。为使运算简便，应尽量地应用运算律和乘法公式来进行计算，运算得到的结果必须进行化简。
解：（1）/=/=/=/；
（2）/=/
=/=/；
（3）/=/=/=/
（4）/=/=/=/。
例7. 计算：
（1）/；（2）/；（3）/；（4）/。
分析：直接运用/（/≥0，/＞0）进行计算，运算后结果要化简。
解：（1）/=/=/=2；
（2）/=/=/=3；
（3）/=/=/=2；
（4）/=/=/。
例8. 化简：
（1）/；（2）/；（3）/；（4）/。
分析：运用公式/（/≥0，/＞0）化简，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。要注意的是，当被开方数是带分数时，要先把它化成假分数。
解：（1）/=/=/=/；
（2）/=/=/；
（3）/=/=/；
（4）/=/=/=/。
例9. 计算：
（1）/；（2）/；（3）/；（4）/。
分析：二次根式的除法可以转化为乘法运算。对于多个二次根式相除的情况，应按照题中指定的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，没有括号的，从左往右依次计算，结果注意化简，数字应放在字母前面。
解：（1）/=/=/=/=/；
（2）/=/=/=/=/
（3）/=/=/=/；
（4）/=/=/=/=/。
例10. 把下列根号外的因式移到根号内
（1）/；（2）/。
分析：把根号外的因式内移到根号内，是指将根号外的非负因数或非负因式平方后移到根号内，并与根号内的因数或因式相乘。
解：（1）/=/
（2） /
点拨：因式内移，最容易发生符号错误。因此内移时，一定要认准非负因数或因式，保证内移时，不改变根式的大小。如（1）题中被开放数/，根号外面的－x也是非负的，内移后根号外应没有负号；（2）题因为被开方数/＞0，所以/＞0，所以/＜0要把负号留在根号外面。
例11. 去掉下列各式分母中的根号：
////
分析：（1）分母/=/，分子、分母同乘/即可去掉分母中的根号； （2）分母/，分子、分母同乘/即可去掉分母中的根号；（3）分子、分母同乘/即可去掉分母中的根号；（4）将分子分解/后，直接与分母约分，从而化去分母．
解：（1）/
（2）/
（3）/
=/
（4）/
点拨：去掉分母中的根号，通常是分母有理化。分母有理化时，应结合题目的具体特点，选择适当的方法。当分子或分母可以分解因式，并且分解后的因式能够约分的，最好不要直接分母有理化，待约分后再相机行事。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 填空题：
1. 等式/成立的条件是 .
2. 计算：（1）/ ； （2）/ .
（3）/ ； （4）/ .
3. 化简：（1）/＝ ； （2）/ .
4. 计算：（1）//＝ ；（2）/ .
二. 选择题：
5. 把/化简的结果应是（ ）
A. /B. /C. /D. /
6. 下列计算中，正确的是（ ）
A. /
B. /
C. /
D. /
7. 如果/，则实数/的取值范围是（ ）
A. /B. /C. /D. /
8. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. /B. /C. /D. /
三. 解答题：
9. 计算：（1）/ （2）/ （3）/
（4）/ （5）/ （6）/
10. 化简：
（1）/ （2）/
（3）/ （4）/
11. 已知：/求/的值。
【试题答案】
一. 填空题。
1. /；2. （1）20；（2）/；（3）2；（4）3；3. （1）/；（2）/；
4.（1）/；（2）/；
二. 选择题。
5. B；6. D；7. C；8. B
三. 解答题。
9. （1）/；（2）/；（3）10；（4）1；（5）/；（6）-9.
10. （1）/；（2）/；（3）/；（4）/
11. 化简得/，代入得2.197