浙江省共美联盟2018-2019学年第一学期高二期末模拟考试数学试卷

绝密★考试结束前
“共美联盟”2018年学年第一学期期末模拟考试
高二年级数学学科试题卷
命题： 丽水学院附中
考生须知：
1．本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题 ：“若，则”，则命题的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中真命题的个数为(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
2．已知点，，则线段的垂直平分线方程为(　　)
A． B．
C． D．
3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为(　　)
A． B． C． D．
4．是方程表示圆的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设是直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B.若，则
C. 若，则 D. 若，则
6．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则(　　)
A．或　　　 B． C． D．
7．如图，长方体中，，，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是(　　)
A． B． C． D．
8．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9．已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最大值时，的最小值为(　　)
A． B． C． D．
10．平行六面体中，向量两两的夹角均为，且，，，则等于(　　)
A. B. C. D.
11. 已知以点、为焦点的椭圆与直线有公共点，则椭圆长轴的最小值为(　　)
A. B. C. D.
12. 如图，正方体的棱长为，点在平面内，平面与平面所成的锐二面角为，则顶点到平面的距离的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共34分．
13．直线的倾斜角是 ▲ 度，在上的截距是 ▲ .
14．已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则 ▲ ；该抛物线的准线方程为 ▲



15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ▲ ；其最长棱的长度为 ▲ ．
16．焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 ▲ ．
17．圆和圆恰有三条公切线，若，且，则的最小值为 ▲ ．
18. 已知双曲线的左、右焦点为、，点为双曲线右支上一点，的内切圆与轴切于点，则点的坐标为 ▲ ．
19. 如图，在长方体中，，，，、分别为棱、的中点. 动点在长方体的表面上，且，则点的轨迹的长度为 ▲ ．









三、解答题：本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20．（本题满分14分）已知圆心坐标为的圆与直线相切.
（1）求圆的标准方程;
（2）若直线与直线垂直，且直线与圆相交所得弦长为，求直线的方程.



21．（本题满分14分）如图，在四棱锥中，平面，，，， 为中点.
（1） 求证：平面；
（2） 求直线与平面所成角的正弦值.




22．（本题满分14分）如图，等腰三角形所在平面与等边三角形所在平面互相垂直，已知点分别为边的中点，.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值.














23．（本题满分14分）如图，设点是抛物线上相异两点，到轴的距离的积为，且，交轴于点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过的直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为，且为线段的中点，试求弦的长度的最小值．






“共美联盟”2018年学年第一学期期末模拟联考
高二年级数学学科参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C A B D C D A B A C B
二、填空题
13. 14. 15. ，
16. 17. 18. 19.
三．解答题
20.解：.圆心到切线的距离为：
， .……分
圆的标准方程为.……分
设，……分
则圆心到的距离，
即，……12分
，或.
或.……14分
21.（1）证明：取中点，连接，由且，可得四边形为平行四边形，从而可得.……4分
又由平面，平面，
平面.……7分
（2）解法一：分别以为轴建立空间直角坐标系，……8分
由已知得：，，，，.
则，，
设平面的法向量为，
则，，，……11分
又，
所以.……14分
解法二：由知，
与面所成角即所求.……分
面，
.
又，，
面.从而面面.
过点作于，则面.
为与面所成角.……分
在中，，
.
，.
.……分
22. （1）证明：取中点，连接.

又平面平面，且平面平面，
所以平面,……2分
……3分
又为等边各边中点，,且，
又因为，平面.……6分
……7分
（2）解法一： 连接，易知平面.
过点作于，连接，则
为二面角的平面角. ……10分
，，，
，
.……14分
解法二：解法二：如图建立空间直角坐标系 ，点为坐标原点，分别为轴，由可得
，……9分
所以
设为面的法向量，则

令，解得，……11分
又面的法向量为，……12分，

二面角的余弦值为……14分
23.解：（1） 2分
又, 在抛物线上，故
故得 ，则，
又
抛物线的标准方程为 5分
（2）设 直线PQ的方程为
联立方程 ，消去得
则
设直线与轴交于点 则可设直线的方程为
并设 同理可知
由可得
由题意， 为线段的中点， ，
又由（1）知，代入，得
故 10分


当 即直线 垂直于 轴时， 取得最小值 14分