人教版七年级下数学教学讲义，复习补习资料： 【基础】不等式及其性质(知识讲解)（习题含解析）

不等式及其性质（基础）知识讲解

【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.
2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.
3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.
【要点梳理】
要点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号
读法
意义
“≠”
读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜”
读作“小于”
表示左边的量比右边的量小
“＞”
读作“大于”
表示左边的量比右边的量大
“≤”
读作“小于或等于”
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
要点诠释：
不等式的解
是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集
是一个集合，是一个范围．
其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
/
要点诠释：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．

要点三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
要点诠释：
不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【典型例题】
类型一、不等式的概念
/1．用不等式表示：
(1)x与-3的和是负数；
(2)x与5的和的28％不大于-6；
(3)m除以4的商加上3至多为5．
【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．
【答案与解析】
解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)≤5．
【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x是非负数，则x≥0；若x是非正数，则x≤0；若x大于y，则有x-y＞0；若x小于y，则有x-y＜0等．
举一反三：
【变式】（2019春?陕西校级期末）下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x=3；④x+y中，是不等式的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B．
类型二、不等式的解及解集
/2.对于不等式4x+7(x-2)＞8不是它的解的是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路点拨】根据不等式解的定义作答．
【答案】D
【解析】
解：当x＝5时，4x+7(x-2)＝41＞8，
当x＝4时，4x+7(x-2)＝30＞8，
当x＝3时，4x+7(x-2)＝19＞8，
当x＝2时，4x+7(x-2)＝8．
故知x＝2不是原不等式的解．
【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的．
/3.不等式x＞1在数轴上表示正确的是 ( )
/
【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．
【答案】C
【解析】
解：∵不等式x＞1∴在数轴上表示为:/故选C．
【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集．

举一反三：
【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．
A．－2＜x＜4 B.－2＜x≤4 C.－2≤x＜4 D.－2≤x≤4
【答案】B
类型三、不等式的性质
/4. （2019?浙江模拟）若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．/＞/
【思路点拨】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．
【答案】C．
【解析】
解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B正确；
C、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C错误；
D、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D正确；
故选：C．
【总结升华】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
举一反三：
【变式】三角形中任意两边之差与第三边有怎样的关系？
【答案】
解：如图，设为任意一个三角形的三条边，则：
/
移项可得：
即：三角形两边的差小于第三边．