2020年华师大新版数学下册七年级《第9章 多边形》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年华师大新版数学下册七年级《第9章 多边形》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 412.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-02 11:30:48 | ||
图片预览
文档简介
2020年华师大新版数学下册七年级《第9章 多边形》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．至少有两边相等的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
2．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
5．三角形的重心是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条边的垂直平分线的交点
D．三角形三条高的交点
6．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm
C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm
7．在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四个角相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
8．一个四边形截去一个内角后变为（ ）
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．以上均有可能
9．从五边形的一个顶点作对角线，把这个五边形分成三角形的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是（ ）
A．2012边形 B．2013边形 C．2014边形 D．2015边形
11．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形的对角线条数为（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
12．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
二．填空题（共8小题）
13．原三角形如图所示，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；
如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；
如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；
…
以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成 个三角形．
14．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ ．
15．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝1cm2，则S△BEF＝ cm2．
16．盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用了三角形具有 的原理．
17．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 个三角形．
18．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是 ．
19．正十边形的每一个内角的度数等于 ，每一个外角的度数等于 ．
20．用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有 个正三角形和 个正四边形．
三．解答题（共8小题）
21．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n＝3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为 个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
22．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE＝∠CEF．
23．操作示例
如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD＝S△ADC．
实践探究
（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为
（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
解决问题：
（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4＝ ．
24．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
25．已知线段AC＝8，BD＝6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3，则S1＝ ，S2＝ ，S3＝ ；
（2）如图4，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？
26．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
27．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求：
（1）这个多边形是几边形？
（2）这个多边形共有多少条对角线？
28．如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成．求一块方砖的边长．
2020年华师大新版数学下册七年级《第9章 多边形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．至少有两边相等的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
【分析】本题需要分类讨论：两边相等的三角形称为等腰三角形，该等腰三角形可以是等腰直角三角形，该等腰三角形有可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形；
当有三边相等时，该三角形是等边三角形．等边三角形是一特殊的等腰三角形．
【解答】解：本题中三角形的分类是：．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的分类．此题属于易错题，同学们往往忽略了等边三角形是一特殊的等腰三角形，且等腰三角形也可以是锐角三角形、钝角三角形以及直角三角形．
2．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
3．如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】由于BD∥CF，以BD为底边，以BD边对应的高为边长计算三角形的面积即可．
【解答】解：过C点作CG⊥BD于G，
∵CF是∠DCE的平分线，
∴∠FCE＝45°，
∵∠DBC＝45°，
∴CF∥BD，
∴CG等于△PBD的高，
∵BD＝2，
∴CG＝1，
△PBD的面积等于＝1．故选A．
【点评】考查了三角形面积公式以及代入数值求解的能力，注意平行线间三角形同底等高的情况．
4．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
【解答】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
显然B选项符合．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．
5．三角形的重心是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条边的垂直平分线的交点
D．三角形三条高的交点
【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．
【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
故选：B．
【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．
6．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm
C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【解答】解：A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；
B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；
C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意；
D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．
7．在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四个角相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
【分析】此题根据平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定来分析，也可以举出反例来判断选项的正误．
【解答】解：A、四边相等的四边形也可能是菱形，故错误；
B、四个角相等的四边形是矩形，正确；
C、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形、平行四边形、矩形以及菱形的判定．注意正方形是菱形的一种特殊情况，且正方形还是一种特殊的矩形．
8．一个四边形截去一个内角后变为（ ）
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．以上均有可能
【分析】一个四边形截去一个角是指可以截去两条边，而新增一条边，得到三角形；也可以截去一条边，而新增一条边，得到四边形；也可以直接新增一条边，变为五边形．可动手画一画，具体操作一下．
【解答】解：如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形，解决此类问题的关键是动手画一画准确性高，注意不要漏掉情况．
9．从五边形的一个顶点作对角线，把这个五边形分成三角形的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】从n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，共分成了（n﹣2）个三角形．
【解答】解：当n＝5时，5﹣2＝3．
即可以把这个五边形分成了3个三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的对角线，注意n边形中的一些公式：从n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，共分成了（n﹣2）个三角形．
10．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是（ ）
A．2012边形 B．2013边形 C．2014边形 D．2015边形
【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣2＝2011，
解得：n＝2013．
所以这个多边形的边数是2013．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．
11．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形的对角线条数为（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
【分析】先根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解．
【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）?180°＝1080°，
解得n＝8，
∴多边形的对角线的条数是：＝＝20．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理与多边形的对角线的条数的公式，熟记公式是解题的关键．
12．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
二．填空题（共8小题）
13．原三角形如图所示，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；
如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；
如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；
…
以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成 2n+1 个三角形．
【分析】认真审题可以发现：在三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个，以此类推，即可发现规律．所以原三角形内部有n个不同点时，答案即现．
【解答】解：三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个．
故答案为：2n+1．
【点评】这是一道找规律的题目，解决此类题目关键是要找出数据之间的关系．
14．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ 3 ．
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC，
∴△ABD与△ACD的周长之差
＝（AB+BD+AD）﹣（AC+DC+AD）
＝AB﹣AC
＝13﹣10
＝3．
则△ABD与△ACD的周长之差＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法．
15．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝1cm2，则S△BEF＝ cm2．
【分析】由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，可判断出AD、BE、CE、BF为△ABC、△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答．
【解答】解：∵由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，
∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，
S△BEC＝S△ABC＝cm2．
S△BEF＝S△BEC＝×＝cm2．
解法2：∵D是BC的中点
∴S△ABD＝S△ADC（等底等高的三角形面积相等），
∵E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△BDE，S△ACE＝S△CDE（等底等高的三角形面积相等），
∴S△ABE＝S△DBE＝S△DCE＝S△AEC，
∴S△BEC＝S△ABC＝cm2．
∵F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE，
∴S△BEF＝S△BEC＝×＝cm2．
故答案为：．
【点评】此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答．
16．盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用了三角形具有 稳定性 的原理．
【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
17．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 （n﹣1） 个三角形．
【分析】（1）三角形分割成了两个三角形；
（2）四边形分割成了三个三角形；
（3）以此类推，n边形分割成了（n﹣1）个三角形．
【解答】解：n边形可以分割出（n﹣1）个三角形．
【点评】此题注意观察：是连接n边形的其中一边上的点．根据具体数值进行分析找规律．
n边形分割成了（n﹣1）个三角形．
18．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是 8 ．
【分析】根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）的三角形作答．
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣2＝6，
解得n＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n﹣2）的规律．
19．正十边形的每一个内角的度数等于 144° ，每一个外角的度数等于 36° ．
【分析】根据多边形的外角和是360度，即可求得外角．再根据外角与内角互补即可求得内角的度数．
【解答】解：外角的度数是：＝36°，
则内角是：180﹣36＝144°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理．注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．
20．用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有 3 个正三角形和 2 个正四边形．
【分析】根据正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知，位于同一顶点处的几个角之和为360°．如果设用m个正三角形，n个正四边形，则有60m+90n＝360，求出此方程的正整数解即可．
【解答】解：设用m个正三角形，n个正四边形能进行平面镶嵌．
由题意，有60m+90n＝360，
解得m＝6﹣n，
当n＝2时，m＝3．
故正三角形和正四边形能镶嵌成平面，其中正三角形用3个，正四边形用2个．
【点评】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
三．解答题（共8小题）
21．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n＝3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为 4 个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
【分析】（1）根据题意，作图可得答案；（2）分析可得，当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0，有0＝2（1﹣1）；当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2，有2＝2（2﹣1）；…故当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有2×（2006﹣1）＝4010个三角形．
【解答】解：（1）
4个；
（2）当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；
（3）2×（2006﹣1）＝4010个．
答：当n＝2006时，最少可以画4010个三角形．
【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
22．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE＝∠CEF．
【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．
【解答】证明：
∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4＝90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
即∠CFE＝∠CEF．
【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．
23．操作示例
如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD＝S△ADC．
实践探究
（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为 ；
（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为 ； ；
解决问题：
（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4＝ 20 ．
【分析】（1）利用E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得S阴和S矩形ABCD即可．
（2）利用E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求则S阴和S平行四边形ABCD即可．
（3）利用E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得则S阴和S四边形ABCD即可．
（4）先设空白处面积分别为：x、y、m、n由上得，，分别求得S1、S2、S3、S4．然后S1+S2+S3+S4＝S阴即可．
【解答】解：（1）由E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，
得S阴＝BF?CD＝BC?CD，
S矩形ABCD＝BC?CD，
所以；
（2）同理可得；；
（3）同理可得；；
（4）设空白处面积分别为：x、y、m、n（见右图），
由上得，，
∴S1+x+S2+S3+y+S4＝．S1+m+S4+S2+n+S3＝，
∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）＝S四边形ABCD．
∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）＝S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴
∴S1+S2+S3+S4＝S阴＝20．
故答案分别为：（1）；
（2）；
（3）；
（4）20．
【点评】此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，难点是（4）需要分别求得S1、S2、S3、S4．然后S1+S2+S3+S4＝S阴即可，这是此题的突破点．
24．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．
【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意，舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
25．已知线段AC＝8，BD＝6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3，则S1＝ 24 ，S2＝ 24 ，S3＝ 24 ；
（2）如图4，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？
【分析】（1）根据三角形的面积公式进行计算；
（2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是24．根据三角形的面积公式进行证明；
（3）仍然把四边形的面积分割成两个三角形，按三角形的面积公式进行证明．
【解答】解：（1）S1＝24，S2＝24，S3＝24；
（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24．
证明如下：
∵AC⊥BD，
∴S△BAC＝AC?OB，S△DAC＝AC?OD，
∴S四边形ABCD＝AC?OB+AC?OD＝AC?（OB+OD）＝AC?BD＝24．
（3）顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积仍为24．
证明：∵AC⊥BD，
∴S△ABD＝AO?BD，S△BCD＝CO?BD，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AO?BD+CO?BD＝BD（AO+CO）＝BD?AC＝24．
【点评】此题注意发现：对角线互相垂直的四边形的面积总等于对角线乘积的一半．
26．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5＝2+3条对角线，六边形有9＝2+3+4条对角线，则七边形有9+5＝14条对角线，则八边形有14+6＝20条对角线．
【解答】解：凸八边形的对角线条数应该是20．
理由：∵从一个顶点发出的对角线数目，它不能向本身引对角线，不能向相邻的两个顶点引对角线，
∴从一个顶点能引的对角线数为（n﹣3）条；
∵n边形共有n个顶点，
∴能引n（n﹣3）条，但是考虑到这样每一条对角线都重复计算过一次，
∴能引条．
∴凸八边形的对角线条数应该是：＝20．
【点评】能够从特殊中找到规律进行计算．
27．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求：
（1）这个多边形是几边形？
（2）这个多边形共有多少条对角线？
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，外角和是固定的360°，从而可根据一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍列方程求解．多边形对角线的条数可以表示成．
【解答】解：（1）设这个多边形是n边形，则
（n﹣2）?180°＝4×360°，
∴n＝10．
（2）10×（10﹣3）÷2＝35（条）．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．
28．如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成．求一块方砖的边长．
【分析】正方形大厅的四个角处的白方砖正好组成一块白方砖，各边上的残缺白瓷砖正好组成6块完整的白瓷砖，那么共有32块瓷砖．求出每块瓷砖的面积，进而求得边长即可．
【解答】解：根据题意可知，共有32块瓷砖，
所以每块的面积为8×8÷32＝2，
一块方砖的边长为m．
【点评】解决本题的难点是得到所有正方形的个数．
一．选择题（共12小题）
1．至少有两边相等的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
2．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
5．三角形的重心是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条边的垂直平分线的交点
D．三角形三条高的交点
6．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm
C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm
7．在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四个角相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
8．一个四边形截去一个内角后变为（ ）
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．以上均有可能
9．从五边形的一个顶点作对角线，把这个五边形分成三角形的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是（ ）
A．2012边形 B．2013边形 C．2014边形 D．2015边形
11．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形的对角线条数为（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
12．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
二．填空题（共8小题）
13．原三角形如图所示，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；
如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；
如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；
…
以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成 个三角形．
14．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ ．
15．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝1cm2，则S△BEF＝ cm2．
16．盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用了三角形具有 的原理．
17．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 个三角形．
18．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是 ．
19．正十边形的每一个内角的度数等于 ，每一个外角的度数等于 ．
20．用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有 个正三角形和 个正四边形．
三．解答题（共8小题）
21．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n＝3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为 个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
22．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE＝∠CEF．
23．操作示例
如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD＝S△ADC．
实践探究
（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为
（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
解决问题：
（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4＝ ．
24．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
25．已知线段AC＝8，BD＝6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3，则S1＝ ，S2＝ ，S3＝ ；
（2）如图4，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？
26．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
27．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求：
（1）这个多边形是几边形？
（2）这个多边形共有多少条对角线？
28．如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成．求一块方砖的边长．
2020年华师大新版数学下册七年级《第9章 多边形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．至少有两边相等的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
【分析】本题需要分类讨论：两边相等的三角形称为等腰三角形，该等腰三角形可以是等腰直角三角形，该等腰三角形有可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形；
当有三边相等时，该三角形是等边三角形．等边三角形是一特殊的等腰三角形．
【解答】解：本题中三角形的分类是：．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的分类．此题属于易错题，同学们往往忽略了等边三角形是一特殊的等腰三角形，且等腰三角形也可以是锐角三角形、钝角三角形以及直角三角形．
2．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
3．如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】由于BD∥CF，以BD为底边，以BD边对应的高为边长计算三角形的面积即可．
【解答】解：过C点作CG⊥BD于G，
∵CF是∠DCE的平分线，
∴∠FCE＝45°，
∵∠DBC＝45°，
∴CF∥BD，
∴CG等于△PBD的高，
∵BD＝2，
∴CG＝1，
△PBD的面积等于＝1．故选A．
【点评】考查了三角形面积公式以及代入数值求解的能力，注意平行线间三角形同底等高的情况．
4．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
【解答】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
显然B选项符合．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．
5．三角形的重心是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条边的垂直平分线的交点
D．三角形三条高的交点
【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．
【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
故选：B．
【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．
6．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm
C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【解答】解：A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；
B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；
C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意；
D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．
7．在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四个角相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
【分析】此题根据平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定来分析，也可以举出反例来判断选项的正误．
【解答】解：A、四边相等的四边形也可能是菱形，故错误；
B、四个角相等的四边形是矩形，正确；
C、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形、平行四边形、矩形以及菱形的判定．注意正方形是菱形的一种特殊情况，且正方形还是一种特殊的矩形．
8．一个四边形截去一个内角后变为（ ）
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．以上均有可能
【分析】一个四边形截去一个角是指可以截去两条边，而新增一条边，得到三角形；也可以截去一条边，而新增一条边，得到四边形；也可以直接新增一条边，变为五边形．可动手画一画，具体操作一下．
【解答】解：如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形，解决此类问题的关键是动手画一画准确性高，注意不要漏掉情况．
9．从五边形的一个顶点作对角线，把这个五边形分成三角形的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】从n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，共分成了（n﹣2）个三角形．
【解答】解：当n＝5时，5﹣2＝3．
即可以把这个五边形分成了3个三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的对角线，注意n边形中的一些公式：从n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，共分成了（n﹣2）个三角形．
10．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是（ ）
A．2012边形 B．2013边形 C．2014边形 D．2015边形
【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣2＝2011，
解得：n＝2013．
所以这个多边形的边数是2013．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．
11．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形的对角线条数为（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
【分析】先根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解．
【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）?180°＝1080°，
解得n＝8，
∴多边形的对角线的条数是：＝＝20．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理与多边形的对角线的条数的公式，熟记公式是解题的关键．
12．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
二．填空题（共8小题）
13．原三角形如图所示，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；
如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；
如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；
…
以此类推，原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成 2n+1 个三角形．
【分析】认真审题可以发现：在三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个，以此类推，即可发现规律．所以原三角形内部有n个不同点时，答案即现．
【解答】解：三角形内部每增加一个点，得到三角形的个数正好是比点的个数的2倍还多1个．
故答案为：2n+1．
【点评】这是一道找规律的题目，解决此类题目关键是要找出数据之间的关系．
14．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ 3 ．
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC，
∴△ABD与△ACD的周长之差
＝（AB+BD+AD）﹣（AC+DC+AD）
＝AB﹣AC
＝13﹣10
＝3．
则△ABD与△ACD的周长之差＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法．
15．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝1cm2，则S△BEF＝ cm2．
【分析】由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，可判断出AD、BE、CE、BF为△ABC、△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答．
【解答】解：∵由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，
∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，
S△BEC＝S△ABC＝cm2．
S△BEF＝S△BEC＝×＝cm2．
解法2：∵D是BC的中点
∴S△ABD＝S△ADC（等底等高的三角形面积相等），
∵E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△BDE，S△ACE＝S△CDE（等底等高的三角形面积相等），
∴S△ABE＝S△DBE＝S△DCE＝S△AEC，
∴S△BEC＝S△ABC＝cm2．
∵F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE，
∴S△BEF＝S△BEC＝×＝cm2．
故答案为：．
【点评】此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答．
16．盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用了三角形具有 稳定性 的原理．
【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
17．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 （n﹣1） 个三角形．
【分析】（1）三角形分割成了两个三角形；
（2）四边形分割成了三个三角形；
（3）以此类推，n边形分割成了（n﹣1）个三角形．
【解答】解：n边形可以分割出（n﹣1）个三角形．
【点评】此题注意观察：是连接n边形的其中一边上的点．根据具体数值进行分析找规律．
n边形分割成了（n﹣1）个三角形．
18．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是 8 ．
【分析】根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）的三角形作答．
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣2＝6，
解得n＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n﹣2）的规律．
19．正十边形的每一个内角的度数等于 144° ，每一个外角的度数等于 36° ．
【分析】根据多边形的外角和是360度，即可求得外角．再根据外角与内角互补即可求得内角的度数．
【解答】解：外角的度数是：＝36°，
则内角是：180﹣36＝144°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理．注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．
20．用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有 3 个正三角形和 2 个正四边形．
【分析】根据正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知，位于同一顶点处的几个角之和为360°．如果设用m个正三角形，n个正四边形，则有60m+90n＝360，求出此方程的正整数解即可．
【解答】解：设用m个正三角形，n个正四边形能进行平面镶嵌．
由题意，有60m+90n＝360，
解得m＝6﹣n，
当n＝2时，m＝3．
故正三角形和正四边形能镶嵌成平面，其中正三角形用3个，正四边形用2个．
【点评】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
三．解答题（共8小题）
21．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n＝3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为 4 个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
【分析】（1）根据题意，作图可得答案；（2）分析可得，当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0，有0＝2（1﹣1）；当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2，有2＝2（2﹣1）；…故当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有2×（2006﹣1）＝4010个三角形．
【解答】解：（1）
4个；
（2）当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；
（3）2×（2006﹣1）＝4010个．
答：当n＝2006时，最少可以画4010个三角形．
【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
22．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE＝∠CEF．
【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．
【解答】证明：
∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4＝90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
即∠CFE＝∠CEF．
【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．
23．操作示例
如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD＝S△ADC．
实践探究
（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为 ；
（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为 ； ；
解决问题：
（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4＝ 20 ．
【分析】（1）利用E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得S阴和S矩形ABCD即可．
（2）利用E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求则S阴和S平行四边形ABCD即可．
（3）利用E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得则S阴和S四边形ABCD即可．
（4）先设空白处面积分别为：x、y、m、n由上得，，分别求得S1、S2、S3、S4．然后S1+S2+S3+S4＝S阴即可．
【解答】解：（1）由E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，
得S阴＝BF?CD＝BC?CD，
S矩形ABCD＝BC?CD，
所以；
（2）同理可得；；
（3）同理可得；；
（4）设空白处面积分别为：x、y、m、n（见右图），
由上得，，
∴S1+x+S2+S3+y+S4＝．S1+m+S4+S2+n+S3＝，
∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）＝S四边形ABCD．
∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）＝S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴
∴S1+S2+S3+S4＝S阴＝20．
故答案分别为：（1）；
（2）；
（3）；
（4）20．
【点评】此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，难点是（4）需要分别求得S1、S2、S3、S4．然后S1+S2+S3+S4＝S阴即可，这是此题的突破点．
24．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．
【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意，舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
25．已知线段AC＝8，BD＝6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3，则S1＝ 24 ，S2＝ 24 ，S3＝ 24 ；
（2）如图4，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？
【分析】（1）根据三角形的面积公式进行计算；
（2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是24．根据三角形的面积公式进行证明；
（3）仍然把四边形的面积分割成两个三角形，按三角形的面积公式进行证明．
【解答】解：（1）S1＝24，S2＝24，S3＝24；
（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24．
证明如下：
∵AC⊥BD，
∴S△BAC＝AC?OB，S△DAC＝AC?OD，
∴S四边形ABCD＝AC?OB+AC?OD＝AC?（OB+OD）＝AC?BD＝24．
（3）顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积仍为24．
证明：∵AC⊥BD，
∴S△ABD＝AO?BD，S△BCD＝CO?BD，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AO?BD+CO?BD＝BD（AO+CO）＝BD?AC＝24．
【点评】此题注意发现：对角线互相垂直的四边形的面积总等于对角线乘积的一半．
26．在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5＝2+3条对角线，六边形有9＝2+3+4条对角线，则七边形有9+5＝14条对角线，则八边形有14+6＝20条对角线．
【解答】解：凸八边形的对角线条数应该是20．
理由：∵从一个顶点发出的对角线数目，它不能向本身引对角线，不能向相邻的两个顶点引对角线，
∴从一个顶点能引的对角线数为（n﹣3）条；
∵n边形共有n个顶点，
∴能引n（n﹣3）条，但是考虑到这样每一条对角线都重复计算过一次，
∴能引条．
∴凸八边形的对角线条数应该是：＝20．
【点评】能够从特殊中找到规律进行计算．
27．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求：
（1）这个多边形是几边形？
（2）这个多边形共有多少条对角线？
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，外角和是固定的360°，从而可根据一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍列方程求解．多边形对角线的条数可以表示成．
【解答】解：（1）设这个多边形是n边形，则
（n﹣2）?180°＝4×360°，
∴n＝10．
（2）10×（10﹣3）÷2＝35（条）．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．
28．如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成．求一块方砖的边长．
【分析】正方形大厅的四个角处的白方砖正好组成一块白方砖，各边上的残缺白瓷砖正好组成6块完整的白瓷砖，那么共有32块瓷砖．求出每块瓷砖的面积，进而求得边长即可．
【解答】解：根据题意可知，共有32块瓷砖，
所以每块的面积为8×8÷32＝2，
一块方砖的边长为m．
【点评】解决本题的难点是得到所有正方形的个数．