2020年华师大新版数学下册八年级《第16章 分式》单元测试卷（解析版）

2020年华师大新版数学下册八年级《第16章 分式》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．地球上陆地的面积约为149000000km2，数149000000用科学记数法可表示为（　　）
A．1.49×108 B．1.49×109 C．14.9×108 D．14.9×109
2．石墨烯（Graphene）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001用科学记数法表示为（　　）
A．1×10﹣6 B．10×10﹣7 C．0.1×10﹣5 D．1×106
3．用科学记数法表示数5.002×104，则原数是（　　）
A．5002 B．50020 C．500200 D．5002000
4．有理式：①，②，③，④中，是分式的有（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≠1 D．x≠0
6．若分式的值为0，则x等于（　　）
A．﹣1 B．﹣1或2 C．﹣1或1 D．1
7．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1
8．若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程+3＝有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．把分式方程+2＝化为整式方程，正确的是（　　）
A．x+2＝﹣1 B．x+2（x﹣2）＝1
C．x+2（x﹣2）＝﹣1 D．x+2＝﹣1
10．若分式方程+1＝有增根，则这个增根的值为（　　）
A．1 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3
11．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
12．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为（　　）
A．180元 B．189元 C．191元 D．200元
二．填空题（共8小题）
13．长城是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700000米，将6700000用科学记数法表示应为　 　．
14．中国女药学家屠呦呦获2015年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项．已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为　 　米．
15．一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是　 　，第n个式子是　 　（用含的n式子表示，n为正整数）．
16．若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
17．若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是　 　．
18．分式方程+＝1的解为　 　．
19．关于x的方程+1＝有增根，则m的值为　 　．
20．甲、乙两班学生参加植树造林，一直甲班每天比乙班多植树5棵，甲班植80棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出的方程是　 　．
三．解答题（共8小题）
21．在一次水灾中，大约有2.5×107个人无家可归，假如一顶帐篷占地100平方米，可以放置40个床位（一人一床位），为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多少地方？若某广场面积为5000平方米．要安置这些人，大约需要多少个这样的广场？（所有结果用科学记数法表示）
22．据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失为1.5亿元，若一年按365天计算，我国一年因土地沙漠化造成的经济损失为多少元（用科学记数法表示，且保留两个有效数字）？
23．已知，求的值．
24．问题探索：
（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
25．阅读材料，解答问题：
观察下列方程：①； ②； ③；…；
（1）按此规律写出关于x的第4个方程为　 　，第n个方程为　 　；
（2）直接写出第n个方程的解，并检验此解是否正确．
26．（1）解方程：．（2）解不等式组：．
27．解方程：．
28．当m为何值时，关于x的方程有增根？



2020年华师大新版数学下册八年级《第16章 分式》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．地球上陆地的面积约为149000000km2，数149000000用科学记数法可表示为（　　）
A．1.49×108 B．1.49×109 C．14.9×108 D．14.9×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将149000000用科学记数法表示为：1.49×108．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．石墨烯（Graphene）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001用科学记数法表示为（　　）
A．1×10﹣6 B．10×10﹣7 C．0.1×10﹣5 D．1×106
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 001＝1×10﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．用科学记数法表示数5.002×104，则原数是（　　）
A．5002 B．50020 C．500200 D．5002000
【分析】根据科学记数法的定义，由5.002×104的形式，可以得出原式等于5.002×10000＝50020，即可得出答案．
【解答】解：5.002×104＝50020，
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法化为原数，得出原式等于5.002×10000＝50020是解题关键．
4．有理式：①，②，③，④中，是分式的有（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
【分析】根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案．
【解答】解：①，③这2个式子分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≠1 D．x≠0
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得，x≠1，
故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．
6．若分式的值为0，则x等于（　　）
A．﹣1 B．﹣1或2 C．﹣1或1 D．1
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴|x|﹣1＝0，x﹣2≠0，x+1≠0，
解得：x＝1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
7．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
【解答】解：A、C、D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故是分式方程，
故选：B．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．
8．若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程+3＝有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞﹣3的解，得到﹣3＜a﹣1≤3，
即﹣2＜a≤4，即a＝﹣1，0，1，2，3，4，
分式方程去分母得：5﹣y+3y﹣3＝a，即y＝，
由分式方程有整数解，得到a＝0，2，共2个，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．把分式方程+2＝化为整式方程，正确的是（　　）
A．x+2＝﹣1 B．x+2（x﹣2）＝1
C．x+2（x﹣2）＝﹣1 D．x+2＝﹣1
【分析】方程两边都乘以x﹣2可得答案．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2可得：x+2（x﹣2）＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤．
10．若分式方程+1＝有增根，则这个增根的值为（　　）
A．1 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3
【分析】根据分式方程的增根的定义得出x+3＝0或x﹣3＝0，再进行判断即可．
【解答】解：去分母得：（x﹣3）2+（x﹣3）（x+3）＝m（x+3），
∵分式方程+1＝有增根，
∴x+3＝0或x﹣3＝0，
∴x＝﹣3或3，
当x＝﹣3时，方程（x﹣3）2+（x﹣3）（x+3）＝m（x+3）的两边不相等，
所以3是分式方程的增根，
故选：B．
【点评】本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程x+3＝0、x﹣3＝0是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
11．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据甲乙的工作时间，可列方程．
【解答】解：设甲每小时做x个，乙每小时做（x+6）个，
根据甲做30个所用时间与乙做45个所用时间相等，得
，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
12．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为（　　）
A．180元 B．189元 C．191元 D．200元
【分析】设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+20），根据“花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数”列方程即可．
【解答】解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+20），根据题意列方程得：

解得：x＝180
经检验：x＝180是原方程的解，
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用，审清题意找准等量关系列出方程是解决问题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．长城是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700000米，将6700000用科学记数法表示应为　6.7×106　．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：6700000＝6.7×106．
故答案为：6.7×106．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
14．中国女药学家屠呦呦获2015年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项．已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为　1.5×10﹣6　米．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000015＝1.5×10﹣6，
故答案为：1.5×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15．一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是　　，第n个式子是　　（用含的n式子表示，n为正整数）．
【分析】观察分母的变化为a的1次幂、2次幂、3次幂…n次幂；分子的变化为：2、5、10、17…n2+1；分式符号的变化为：+、﹣、+、﹣…（﹣1）n+1．
【解答】解：∵＝（﹣1）2?，
＝（﹣1）3?，
＝（﹣1）4?，
…
∴第7个式子是，
第n个式子为：．
故答案是：，．
【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
16．若分式有意义，则x的取值范围是　x≠　．
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2x﹣1≠0，
解得x≠．
故答案为：x≠．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义?分母为零；
（2）分式有意义?分母不为零；
（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．
17．若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是　m＜6且m≠0　．
【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
【解答】解：∵关于x的方程+＝2有解，
∴x﹣2≠0，
∴x≠2，
去分母得：2﹣x﹣m＝2（x﹣﹣2），
即x＝2﹣，
根据题意得：2﹣＞0且2﹣≠2，
解得：m＜6且m≠0．
故答案是：m＜6且m≠0．
【点评】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．
18．分式方程+＝1的解为　x＝1　．
【分析】根据解分式方程的步骤，即可解答．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：3﹣2x﹣2＝x﹣2，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2＝1﹣2＝﹣1≠0，
所以分式方程的解为x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
19．关于x的方程+1＝有增根，则m的值为　3　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x﹣3＝0，将x的值代入计算即可求出m的值．
【解答】解：分式方程去分母得：x+x﹣3＝m，
根据分式方程有增根得到x﹣3＝0，即x＝3，
将x＝3代入整式方程得：3+3﹣3＝m，
则m＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20．甲、乙两班学生参加植树造林，一直甲班每天比乙班多植树5棵，甲班植80棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出的方程是　＝　．
【分析】设甲班每天植树x棵，根据甲班每天比乙班多植树5棵，甲班植80棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等列出方程．
【解答】解：设甲班每天植树x棵，
＝．
故答案为：＝．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设出未知数，以时间作为等量关系列方程求解．
三．解答题（共8小题）
21．在一次水灾中，大约有2.5×107个人无家可归，假如一顶帐篷占地100平方米，可以放置40个床位（一人一床位），为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多少地方？若某广场面积为5000平方米．要安置这些人，大约需要多少个这样的广场？（所有结果用科学记数法表示）
【分析】用人数除以每一顶帐篷的床位数，计算即可求出帐篷数；
用帐篷数乘以每一顶帐篷所占的面积计算即可求出占地面积；
用所有帐篷的占地面积除以广场的面积计算即可求出广场的个数．
【解答】解：帐篷数：2.5×107÷40＝6.25×105；
这些帐篷的占地面积：6.25×105×100＝6.25×107；
需要广场的个数：6.25×107÷5000＝1.25×104．
【点评】本题考查了科学记数法表示较大的数，读懂题目信息，正确列出算式是解题的关键．
22．据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失为1.5亿元，若一年按365天计算，我国一年因土地沙漠化造成的经济损失为多少元（用科学记数法表示，且保留两个有效数字）？
【分析】先把1.5亿用科学记数法表示为1.5×108，再乘以365得1.5×108×365＝1.5×365×108＝547.5×108＝5.475×1010元，保留2个有效数字后为5.5×1010元．
绝对值＞10时科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1.5×108×365＝5.475×1010≈5.5×1010元．
答：我国一年因土地沙漠化造成的经济损失大约为5.5×1010元．
【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数并会保留有效数字．用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．
23．已知，求的值．
【分析】我们可将前面式子变式为x2+1＝3x，再将后面式子的分母变式为的形式从而求出值．
【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1＝3x，
＝＝＝．
【点评】本题考查的是分式的值，解题关键是用到了整体代入的思想．
24．问题探索：
（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
【分析】（1）使用作差法，对两个分式求差，有﹣＝，由差的符号来判断两个分式的大小．
（2）由（1）的结论，将1换为k，易得答案，
（3）由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；结合实际情况判断，可得结论．
【解答】解：（1）＜（m＞n＞0）
证明：∵﹣＝，
又∵m＞n＞0，
∴＜0，
∴＜．

（2）根据（1）的方法，将1换为k，有＜（m＞n＞0，k＞0）．

（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y，增加面积为a，
由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；
则可得：＞，
所以住宅的采光条件变好了．
【点评】本题考查分式的性质与运算，涉及分式比较大小的方法（做差法），并要求学生对得到的结论灵活运用．
25．阅读材料，解答问题：
观察下列方程：①； ②； ③；…；
（1）按此规律写出关于x的第4个方程为　x+＝9　，第n个方程为　x+＝2n+1　；
（2）直接写出第n个方程的解，并检验此解是否正确．
【分析】（1）观察一系列等式左边分子为连续两个整数的积，右边为从3开始的连续奇数，即可写出第4个方程及第n个方程；
（2）归纳总结即可得到第n个方程的解为n与n+1，代入检验即可．
【解答】解：（1）x+＝x+＝9，x+＝2n+1；

（2）x+＝2n+1，
观察得：x1＝n，x2＝n+1，
将x＝n代入方程左边得：n+n+1＝2n+1；右边为2n+1，
左边＝右边，即x＝n是方程的解；
将n+1代入方程左边得：n+1+n＝2n+1；右边为2n+1，
左边＝右边，即x＝n+1是方程的解，
则经检验都为原分式方程的解．
故答案为：x+＝9；x+＝2n+1．
【点评】此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．
26．（1）解方程：．（2）解不等式组：．
【分析】（1）去分母后解方程求解；
（2）分别解每个不等式，然后求公共部分得不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母，得 1＝3（x﹣3）﹣x． （1分）
去括号，得 1＝3x﹣9﹣x． （2分）
解得 x＝5． （3分）
经检验，x＝5 是原方程的解．（4分）
（2）解不等式（1）得：x≥1； …（1分）
解不等式（2）得：x＜5； …（2分）
所以不等式组的解集为1≤x＜5．…（4分）
【点评】此题考查解分式方程和不等式组，难度中等．
27．解方程：．
【分析】设＝y，则原方程化为y＝+2y，解方程求得y的值，再代入＝y求值即可．结果需检验．
【解答】解：设＝y，则原方程化为y＝+2y，
解之得，y＝﹣．
当y＝﹣时，有＝﹣，解得x＝﹣．
经检验x＝﹣是原方程的根．
∴原方程的根是x＝﹣．
【点评】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
28．当m为何值时，关于x的方程有增根？
【分析】先求得增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入求得m的值即可．
【解答】解：∵方程，
∴x﹣2＝0，解得x＝2，
把方程两边同乘以x﹣2，得m+3（x﹣2）＝x﹣1，
把x＝2代入，得m＝1．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．