2020年华师大新版数学下册八年级《第18章 平行四边形》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年华师大新版数学下册八年级《第18章 平行四边形》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 424.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-02 12:58:07 | ||
图片预览
文档简介
2020年华师大新版数学下册八年级《第18章 平行四边形》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以为（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．2：2：1：1 D．2：1：2：1
2．在?ABCD中，∠A＝50°，则∠C为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．无法确定
3．如图，O为?ABCD两对角线的交点，图中全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则?ABCD的周长为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．18
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
6．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD＝BC D．AB∥CD，AB＝CD
7．已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AB∥CD；②OA＝OC；③AB＝CD；④∠BAD＝∠DCB；⑤AD∥BC，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）组．
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．OA＝OC D．AD＝BC
9．如图，在?ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
10．在?ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（ ）
A．AF＝CE B．AE＝CF C．∠BAE＝∠FCD D．∠BEA＝∠FCE
11．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．?ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
二．填空题（共8小题）
13．如图，?ABCD中，点E是AD边的中点，BE交对角线AC于点F，若AF＝2，则对角线AC长为 ．
14．如图，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、DF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是 ．
15．平行四边形ABCD中，∠A比∠B小20°，那么∠C＝ ．
16．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ．
17．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形．
18．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，那么这个四边形ABCD是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是 （将命题的序号填上即可）．
19．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有 次．
20．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是 ．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在?ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．
22．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．
23．已知：如图，点E，F分别为?ABCD的边BC，AD上的点，且∠1＝∠2．
求证：AE＝CF．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4；
（1）求证：四边形ACED是平行四边形
（2）求四边形ACEB的周长．
25．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF＝30°．
26．如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE＝CF．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
27．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：AF＝CE．
28．如图，已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE＝CF．请说明四边形BFDE是平行四边形．
2020年华师大新版数学下册八年级《第18章 平行四边形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以为（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．2：2：1：1 D．2：1：2：1
【分析】根据平行四边形对角相等可得答案．
【解答】解：∵平行四边形对角相等，
∴对角的比值数应该相等，
其中A，B，C都不满足，只有D满足．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质．其性质：平行四边形的两组对角分别相等．
2．在?ABCD中，∠A＝50°，则∠C为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．无法确定
【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出∠C＝∠A．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝50°．
故选：B．
【点评】此题考查的是平行四边形的性质，运用其对角相等求解．
3．如图，O为?ABCD两对角线的交点，图中全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，即可证得△ABC≌△CDA（SAS），△ABD≌△CDB；△AOD≌△COB（SAS），△AOB≌△COD．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
同理：△ABD≌△CDB；
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（SAS），
同理：△AOB≌△COD．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
4．如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则?ABCD的周长为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．18
【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，再根据线段垂直平分线的性质得出BE＝DE，由△CDE的周长得出BC+CD＝6cm，即可求出平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵△CDE的周长为10，
∴DE+CE+CD＝BE+CE+CD＝BC+CD＝10，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝20；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
【分析】根据平行四边形判定定理进行判断．
【解答】解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB∥DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
6．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD＝BC D．AB∥CD，AB＝CD
【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题．
【解答】解：A、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A可以判断四边形ABCD是平行四边形；
B、∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AC∥BD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故B可以判断四边形ABCD是平行四边形；
C、∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形．
故C不可以判断四边形ABCD是平行四边形
D、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故D可以判断四边形ABCD是平行四边形；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判断、解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．属于中考常考题型．
7．已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AB∥CD；②OA＝OC；③AB＝CD；④∠BAD＝∠DCB；⑤AD∥BC，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）组．
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据平行四边形的判定进行选择即可．
【解答】解：①与⑤根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与④，⑤与④根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与②，②与⑤根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形．
所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有6组．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．OA＝OC D．AD＝BC
【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由AB∥CD可得出∠BAO＝∠DCO、∠ABO＝∠CDO，结合OA＝OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB＝CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由AB∥CD、AD＝BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解．
【解答】解：A、∵AB∥CD、AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵AB∥CD、AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO．
在△ABO和△CDO中，，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由AB∥CD、AD＝BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
9．如图，在?ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可；
【解答】解：A、由AE＝CF，可以推出DF＝EB，DF∥EB，四边形DEBF是平行四边形；
B、由DE＝BF，不能推出四边形DEBF是平行四边形，有可能是等腰梯形；
C、由∠ADE＝∠CBF，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，DF∥EB，四边形DEBF是平行四边形；
D、由∠AED＝∠CFB，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，DF∥EB，四边形DEBF是平行四边形；
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．在?ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（ ）
A．AF＝CE B．AE＝CF C．∠BAE＝∠FCD D．∠BEA＝∠FCE
【分析】根据平行四边形的性质和判定即可解决问题．
【解答】解：A、错误．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EC，
∵AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴选项A错误．
B、正确．根据AE＝CF，所以四边形AECF可能是平行四边形，有可能是等腰梯形，故选项B正确．
C、错误．由∠BAE＝∠FCD，∠B＝∠D，AB＝CD可以推出△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵AD＝BC，
∴AF＝EC，∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
故选项C错误．
D、错误．∵∠BEA＝∠FCE，
∴AE∥CF，∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
故选项D错误．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题的关键是选择适宜的证明方法，需要熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
11．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H．首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题；
【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，CH＝，
∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF，故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD?CH＝，
故③正确，
S△AEF＝S△AEC＝?S△ABD＝
故④错误，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
12．?ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，
在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OF，故本选项符合题意；
C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．如图，?ABCD中，点E是AD边的中点，BE交对角线AC于点F，若AF＝2，则对角线AC长为 6 ．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得：△AEF∽△CBF；由平行四边形ABCD中，E是AD的中点，易得AE：CB＝1：2，又由相似三角形的对应边成比例，即可得A：CF＝1：2，继而求得答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝BC，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF．
∵E是A的中点，
∴AE＝AD＝BC，
∴＝＝
∵AF＝2，
∴CF＝4．
∴AC＝AF+CF＝6．
故答案是：6．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
14．如图，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、DF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是 14 ．
【分析】首先过G作GH⊥AD于点H，反向延长，交BC于点I，则HI是平行四边形的高，求得平行四边形的面积，然后根据平行线的性质，以及角平分线的定义证得∠BAE＝∠AEB，则BE＝AB，同理求得CF的长，则EF即可求得，根据△ADG∽△EFG，相似三角形对应边上的高的比等于相似比，即可求得HG和GI，求得△ADG和△EFG的面积，根据S阴影＝S平行四边形ABCD﹣S△ADG﹣S△EFG求解．
【解答】解：过G作GH⊥AD于点H，反向延长，交BC于点I．
则HI＝AB?sinB＝6×＝3，S平行四边形ABCD＝8×3＝24．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
又∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝6，
同理，CF＝CD＝AB＝6，
∴EF＝BE+CF﹣BC＝6+6﹣8＝4，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△EFG，
∴＝＝＝2，
∴HG＝2，GI＝，
则S△ADG＝AD?HG＝×8×2＝8，
S△EFG＝EF?GI＝×4×＝2，
∴S阴影＝S平行四边形ABCD﹣S△ADG﹣S△EFG＝24﹣8﹣2＝14．
故答案是：14．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定方法，等角对等边，以及相似三角形的判定与性质，求得HG和GI的长是关键．
15．平行四边形ABCD中，∠A比∠B小20°，那么∠C＝ 80° ．
【分析】根据平行四边形的性质分别求出∠A和∠B的度数，然后根据平行四边形对角相等的性质可得∠C＝∠A，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
解得：，
∴∠C＝∠A＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查了平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
16．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．
【分析】先根据分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，得出AB＝DC，AD＝BC，再判断四边形ABCD是平行四边形的依据．
【解答】解：根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，解题时注意：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言为：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边行ABCD是平行四边形．
17．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝ 7 cm时，四边形ABCD是平行四边形．
【分析】根据OA求出OC，得出OA＝OC，平行四边形的判定定理根据得出平行四边形ABCD，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：当OA＝7时，OC＝14﹣7＝7＝OA，
∵OB＝OD时，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：7．
【点评】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，难度一般．
18．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，那么这个四边形ABCD是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是 ② （将命题的序号填上即可）．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断．定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组邻角分别相等的四边形可能为梯形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，等腰梯形也满足该条件．故①错误；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形．故②正确；
③在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，那么这个四边形ABCD不一定是平行四边形，筝形也满足该条件．故③错误；
④一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行．故④错误；
故填：②．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定．在判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，推导分析，看是否符合平行四边形的判定定理．
19．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有 3 次．
【分析】首先设经过t秒，根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，
此时方程t＝0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
⑤点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣48）＝12﹣t，
解得：t＝16，
此时P点走的路程为16＞AD，此时不符合题意．
∴共3次．
故答案为：3．
【点评】此题考查了平行四边形的判定．注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．
20．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是 ①②③④ ．
【分析】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF＝30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE＝DF，再由FE＝AB，得出四边形ADFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出AD＝4AG，从而得到答案．
【解答】解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE＝AB，
∴∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴EF⊥AC，故①正确，
（含①的只有B和D，它们的区别在于有没有④．它们都是含30°的直角三角形，并且斜边是相等的），
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），故④正确．
∴AE＝DF，
∵FE＝AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，故②正确；
∴AG＝AF，
∴AG＝AB，
∵AD＝AB，
则AD＝AG，故③，
故答案为①②③④．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在?ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明即可；
（2）由菱形的性质可得：BE＝DE，因为∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE＝180°，所以∠ABD＝∠ABE+∠EBD＝×180°＝90°，问题得解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，AB＝CD．
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝AD，FC＝BC．
∴AE＝CF．
在△AEB与△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
（2）解：∵四边形EBFD是菱形，
∴BE＝DE．
∴∠EBD＝∠EDB．
∵AE＝DE，
∴BE＝AE．
∴∠A＝∠ABE．
∵∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE＝180°，
∴∠ABD＝∠ABE+∠EBD＝×180°＝90°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的性质、等腰三角形的判断和性质，题目的综合性较强，难度中等．
22．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB＝CD，AD∥BC，又由BE＝DF，易证得四边形AECF是平行四边形，则可得AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，关键是根据平行四边形的性质解答．
23．已知：如图，点E，F分别为?ABCD的边BC，AD上的点，且∠1＝∠2．
求证：AE＝CF．
【分析】先由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠DAE＝∠1，而∠1＝∠2，于是∠DAE＝∠2，根据平行线的判定得到AE∥CF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形AECF是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠1，
∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠2，
∴AE∥CF，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，难度适中．证明出AE∥CF是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4；
（1）求证：四边形ACED是平行四边形
（2）求四边形ACEB的周长．
【分析】（1）先根据垂直于同一条直线的两直线平行，得AC∥DE，又CE∥AD，所以四边形ACED是平行四边形；
（2）四边形ACED是平行四边形，可得DE＝AC＝2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
【解答】解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE
又∵CE∥AD
∴四边形ACED是平行四边形．
（2）∵四边形ACED是平行四边形．
∴DE＝AC＝2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝．
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝4．
在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB＝＝2．
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC＝4．
∴四边形ACEB的周长＝AC+CE+EB+BA＝10+2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径是解题的关键．
25．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF＝30°．
【分析】（1）在△ACD和△CBF中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等．
（2）当∠DEF＝30°，即为∠DCF＝30°，在△BCF中，∠CFB＝90°，即F为AB的中点，又因为△ACD≌△CBF，所以点D为BC的中点．
【解答】证明：（1）由△ABC为等边三角形，AC＝BC，∠FBC＝∠DCA，
在△ACD和△CBF中，
，
所以△ACD≌△CBF（SAS）；
（2）当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且角DEF＝30度
按上述条件作图，
连接BE，
在△AEB和△ADC中，
AB＝AC，∠EAB+∠BAD＝∠DAC+∠BAD＝60°，即∠EAB＝∠DAC，AE＝AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
又∵△ACD≌△CBF，
∴△AEB≌△ADC≌△CFB，
∴EB＝FB，∠EBA＝∠ABC＝60°，
∴△EFB为正三角形，
∴EF＝FB＝CD，∠EFB＝60°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠EFB＝∠ABC＝60°，
∴EF∥BC，
而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∵D在线段BC上的中点，
∴F在线段AB上的中点，
∴∠FCD＝×60°＝30°
则∠DEF＝∠FCD＝30°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
26．如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE＝CF．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得△AFD≌△CEB；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到AD＝CB，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”证得结论．
【解答】证明：（1）如图，∵AD∥BC，DF∥BE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
又AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．
在△AFD与△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（ASA）；
（2）由（1）知，△AFD≌△CEB，则AD＝CB．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
27．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：AF＝CE．
【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC；
又∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE∥CF，AE＝CF＝AD，
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），
∴AF＝CE（平行四边形的对边相等）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
28．如图，已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE＝CF．请说明四边形BFDE是平行四边形．
【分析】连接BD，利用对角线互相平分来证明即可．
【解答】证明：连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA＝OC OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）
又∵AE＝CF
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
一．选择题（共12小题）
1．?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以为（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．2：2：1：1 D．2：1：2：1
2．在?ABCD中，∠A＝50°，则∠C为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．无法确定
3．如图，O为?ABCD两对角线的交点，图中全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则?ABCD的周长为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．18
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
6．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD＝BC D．AB∥CD，AB＝CD
7．已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AB∥CD；②OA＝OC；③AB＝CD；④∠BAD＝∠DCB；⑤AD∥BC，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）组．
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．OA＝OC D．AD＝BC
9．如图，在?ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
10．在?ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（ ）
A．AF＝CE B．AE＝CF C．∠BAE＝∠FCD D．∠BEA＝∠FCE
11．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．?ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
二．填空题（共8小题）
13．如图，?ABCD中，点E是AD边的中点，BE交对角线AC于点F，若AF＝2，则对角线AC长为 ．
14．如图，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、DF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是 ．
15．平行四边形ABCD中，∠A比∠B小20°，那么∠C＝ ．
16．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 ．
17．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形．
18．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，那么这个四边形ABCD是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是 （将命题的序号填上即可）．
19．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有 次．
20．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是 ．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在?ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．
22．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．
23．已知：如图，点E，F分别为?ABCD的边BC，AD上的点，且∠1＝∠2．
求证：AE＝CF．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4；
（1）求证：四边形ACED是平行四边形
（2）求四边形ACEB的周长．
25．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF＝30°．
26．如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE＝CF．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
27．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：AF＝CE．
28．如图，已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE＝CF．请说明四边形BFDE是平行四边形．
2020年华师大新版数学下册八年级《第18章 平行四边形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以为（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．2：2：1：1 D．2：1：2：1
【分析】根据平行四边形对角相等可得答案．
【解答】解：∵平行四边形对角相等，
∴对角的比值数应该相等，
其中A，B，C都不满足，只有D满足．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质．其性质：平行四边形的两组对角分别相等．
2．在?ABCD中，∠A＝50°，则∠C为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．无法确定
【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出∠C＝∠A．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝50°．
故选：B．
【点评】此题考查的是平行四边形的性质，运用其对角相等求解．
3．如图，O为?ABCD两对角线的交点，图中全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，即可证得△ABC≌△CDA（SAS），△ABD≌△CDB；△AOD≌△COB（SAS），△AOB≌△COD．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
同理：△ABD≌△CDB；
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（SAS），
同理：△AOB≌△COD．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
4．如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则?ABCD的周长为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．18
【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，再根据线段垂直平分线的性质得出BE＝DE，由△CDE的周长得出BC+CD＝6cm，即可求出平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵△CDE的周长为10，
∴DE+CE+CD＝BE+CE+CD＝BC+CD＝10，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝20；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
【分析】根据平行四边形判定定理进行判断．
【解答】解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB∥DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
6．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD＝BC D．AB∥CD，AB＝CD
【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题．
【解答】解：A、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A可以判断四边形ABCD是平行四边形；
B、∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AC∥BD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故B可以判断四边形ABCD是平行四边形；
C、∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形．
故C不可以判断四边形ABCD是平行四边形
D、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故D可以判断四边形ABCD是平行四边形；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判断、解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．属于中考常考题型．
7．已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AB∥CD；②OA＝OC；③AB＝CD；④∠BAD＝∠DCB；⑤AD∥BC，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）组．
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据平行四边形的判定进行选择即可．
【解答】解：①与⑤根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与④，⑤与④根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与②，②与⑤根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形．
所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有6组．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．OA＝OC D．AD＝BC
【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由AB∥CD可得出∠BAO＝∠DCO、∠ABO＝∠CDO，结合OA＝OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB＝CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由AB∥CD、AD＝BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解．
【解答】解：A、∵AB∥CD、AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵AB∥CD、AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO．
在△ABO和△CDO中，，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由AB∥CD、AD＝BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
9．如图，在?ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可；
【解答】解：A、由AE＝CF，可以推出DF＝EB，DF∥EB，四边形DEBF是平行四边形；
B、由DE＝BF，不能推出四边形DEBF是平行四边形，有可能是等腰梯形；
C、由∠ADE＝∠CBF，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，DF∥EB，四边形DEBF是平行四边形；
D、由∠AED＝∠CFB，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，DF∥EB，四边形DEBF是平行四边形；
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．在?ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（ ）
A．AF＝CE B．AE＝CF C．∠BAE＝∠FCD D．∠BEA＝∠FCE
【分析】根据平行四边形的性质和判定即可解决问题．
【解答】解：A、错误．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EC，
∵AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴选项A错误．
B、正确．根据AE＝CF，所以四边形AECF可能是平行四边形，有可能是等腰梯形，故选项B正确．
C、错误．由∠BAE＝∠FCD，∠B＝∠D，AB＝CD可以推出△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵AD＝BC，
∴AF＝EC，∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
故选项C错误．
D、错误．∵∠BEA＝∠FCE，
∴AE∥CF，∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
故选项D错误．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题的关键是选择适宜的证明方法，需要熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
11．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H．首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题；
【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，CH＝，
∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF，故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD?CH＝，
故③正确，
S△AEF＝S△AEC＝?S△ABD＝
故④错误，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
12．?ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，
在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OF，故本选项符合题意；
C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．如图，?ABCD中，点E是AD边的中点，BE交对角线AC于点F，若AF＝2，则对角线AC长为 6 ．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得：△AEF∽△CBF；由平行四边形ABCD中，E是AD的中点，易得AE：CB＝1：2，又由相似三角形的对应边成比例，即可得A：CF＝1：2，继而求得答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝BC，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF．
∵E是A的中点，
∴AE＝AD＝BC，
∴＝＝
∵AF＝2，
∴CF＝4．
∴AC＝AF+CF＝6．
故答案是：6．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
14．如图，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、DF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是 14 ．
【分析】首先过G作GH⊥AD于点H，反向延长，交BC于点I，则HI是平行四边形的高，求得平行四边形的面积，然后根据平行线的性质，以及角平分线的定义证得∠BAE＝∠AEB，则BE＝AB，同理求得CF的长，则EF即可求得，根据△ADG∽△EFG，相似三角形对应边上的高的比等于相似比，即可求得HG和GI，求得△ADG和△EFG的面积，根据S阴影＝S平行四边形ABCD﹣S△ADG﹣S△EFG求解．
【解答】解：过G作GH⊥AD于点H，反向延长，交BC于点I．
则HI＝AB?sinB＝6×＝3，S平行四边形ABCD＝8×3＝24．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
又∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝6，
同理，CF＝CD＝AB＝6，
∴EF＝BE+CF﹣BC＝6+6﹣8＝4，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△EFG，
∴＝＝＝2，
∴HG＝2，GI＝，
则S△ADG＝AD?HG＝×8×2＝8，
S△EFG＝EF?GI＝×4×＝2，
∴S阴影＝S平行四边形ABCD﹣S△ADG﹣S△EFG＝24﹣8﹣2＝14．
故答案是：14．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定方法，等角对等边，以及相似三角形的判定与性质，求得HG和GI的长是关键．
15．平行四边形ABCD中，∠A比∠B小20°，那么∠C＝ 80° ．
【分析】根据平行四边形的性质分别求出∠A和∠B的度数，然后根据平行四边形对角相等的性质可得∠C＝∠A，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
解得：，
∴∠C＝∠A＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查了平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
16．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．
【分析】先根据分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，得出AB＝DC，AD＝BC，再判断四边形ABCD是平行四边形的依据．
【解答】解：根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，解题时注意：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言为：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边行ABCD是平行四边形．
17．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝ 7 cm时，四边形ABCD是平行四边形．
【分析】根据OA求出OC，得出OA＝OC，平行四边形的判定定理根据得出平行四边形ABCD，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：当OA＝7时，OC＝14﹣7＝7＝OA，
∵OB＝OD时，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：7．
【点评】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，难度一般．
18．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，那么这个四边形ABCD是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是 ② （将命题的序号填上即可）．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断．定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组邻角分别相等的四边形可能为梯形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，等腰梯形也满足该条件．故①错误；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形．故②正确；
③在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，那么这个四边形ABCD不一定是平行四边形，筝形也满足该条件．故③错误；
④一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行．故④错误；
故填：②．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定．在判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，推导分析，看是否符合平行四边形的判定定理．
19．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有 3 次．
【分析】首先设经过t秒，根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，
此时方程t＝0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
⑤点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣48）＝12﹣t，
解得：t＝16，
此时P点走的路程为16＞AD，此时不符合题意．
∴共3次．
故答案为：3．
【点评】此题考查了平行四边形的判定．注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．
20．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是 ①②③④ ．
【分析】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF＝30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE＝DF，再由FE＝AB，得出四边形ADFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出AD＝4AG，从而得到答案．
【解答】解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE＝AB，
∴∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴EF⊥AC，故①正确，
（含①的只有B和D，它们的区别在于有没有④．它们都是含30°的直角三角形，并且斜边是相等的），
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），故④正确．
∴AE＝DF，
∵FE＝AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，故②正确；
∴AG＝AF，
∴AG＝AB，
∵AD＝AB，
则AD＝AG，故③，
故答案为①②③④．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在?ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明即可；
（2）由菱形的性质可得：BE＝DE，因为∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE＝180°，所以∠ABD＝∠ABE+∠EBD＝×180°＝90°，问题得解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，AB＝CD．
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝AD，FC＝BC．
∴AE＝CF．
在△AEB与△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
（2）解：∵四边形EBFD是菱形，
∴BE＝DE．
∴∠EBD＝∠EDB．
∵AE＝DE，
∴BE＝AE．
∴∠A＝∠ABE．
∵∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE＝180°，
∴∠ABD＝∠ABE+∠EBD＝×180°＝90°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的性质、等腰三角形的判断和性质，题目的综合性较强，难度中等．
22．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB＝CD，AD∥BC，又由BE＝DF，易证得四边形AECF是平行四边形，则可得AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，关键是根据平行四边形的性质解答．
23．已知：如图，点E，F分别为?ABCD的边BC，AD上的点，且∠1＝∠2．
求证：AE＝CF．
【分析】先由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠DAE＝∠1，而∠1＝∠2，于是∠DAE＝∠2，根据平行线的判定得到AE∥CF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形AECF是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠1，
∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠2，
∴AE∥CF，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，难度适中．证明出AE∥CF是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4；
（1）求证：四边形ACED是平行四边形
（2）求四边形ACEB的周长．
【分析】（1）先根据垂直于同一条直线的两直线平行，得AC∥DE，又CE∥AD，所以四边形ACED是平行四边形；
（2）四边形ACED是平行四边形，可得DE＝AC＝2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
【解答】解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE
又∵CE∥AD
∴四边形ACED是平行四边形．
（2）∵四边形ACED是平行四边形．
∴DE＝AC＝2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝．
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝4．
在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB＝＝2．
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC＝4．
∴四边形ACEB的周长＝AC+CE+EB+BA＝10+2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径是解题的关键．
25．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF＝30°．
【分析】（1）在△ACD和△CBF中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等．
（2）当∠DEF＝30°，即为∠DCF＝30°，在△BCF中，∠CFB＝90°，即F为AB的中点，又因为△ACD≌△CBF，所以点D为BC的中点．
【解答】证明：（1）由△ABC为等边三角形，AC＝BC，∠FBC＝∠DCA，
在△ACD和△CBF中，
，
所以△ACD≌△CBF（SAS）；
（2）当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且角DEF＝30度
按上述条件作图，
连接BE，
在△AEB和△ADC中，
AB＝AC，∠EAB+∠BAD＝∠DAC+∠BAD＝60°，即∠EAB＝∠DAC，AE＝AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
又∵△ACD≌△CBF，
∴△AEB≌△ADC≌△CFB，
∴EB＝FB，∠EBA＝∠ABC＝60°，
∴△EFB为正三角形，
∴EF＝FB＝CD，∠EFB＝60°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠EFB＝∠ABC＝60°，
∴EF∥BC，
而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∵D在线段BC上的中点，
∴F在线段AB上的中点，
∴∠FCD＝×60°＝30°
则∠DEF＝∠FCD＝30°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
26．如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE＝CF．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得△AFD≌△CEB；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到AD＝CB，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”证得结论．
【解答】证明：（1）如图，∵AD∥BC，DF∥BE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
又AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．
在△AFD与△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（ASA）；
（2）由（1）知，△AFD≌△CEB，则AD＝CB．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
27．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：AF＝CE．
【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC；
又∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE∥CF，AE＝CF＝AD，
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），
∴AF＝CE（平行四边形的对边相等）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
28．如图，已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE＝CF．请说明四边形BFDE是平行四边形．
【分析】连接BD，利用对角线互相平分来证明即可．
【解答】证明：连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA＝OC OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）
又∵AE＝CF
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．