2020年华师大新版数学下册八年级《第19章 矩形、菱形与正方形》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年华师大新版数学下册八年级《第19章 矩形、菱形与正方形》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 608.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-02 12:58:38 | ||
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文档简介
2020年华师大新版数学下册八年级《第19章 矩形、菱形与正方形》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（ ）厘米．
A．8 B．5 C．10 D．4.8
2．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（ ）
A．4.5cm B．4cm C．5cm D．4cm
3．如图，添加下列条件仍然不能使?ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC丄BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是菱形
5．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
7．如图，矩形ABCD中，AB＝3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
8．如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
9．在下述命题中，真命题有（ ）
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形
（2）三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形
（3）对角互补的平行四边形是矩形
（4）三边之比为1：：2的三角形是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列说法正确的有（ ）
（1）一组对边相等的四边形是矩形；
（2）两条对角线相等的四边形是矩形；
（3）四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
（4）四条边都相等的四边形是菱形．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．24 B．3.6 C．4.8 D．5
12．下列说法正确的是（ ）
A．有两个角为直角的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等
C．平行四边形的对角线相等
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
二．填空题（共8小题）
13．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为 ．
14．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ ，平行四边形CDEB为菱形．
15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD＝4，则四边形CODE的周长 ．
16．如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ ．
17．对角线 四边形是矩形．
18．如图，在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E．线段DE的最小值是 cm．
19．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正确结论的序号是 ．
20．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．
求证：AB与EF互相平分．
22．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB＝BF，AD、BE相交于M，BC、DF相交于N．求证：四边形BMDN是菱形．
23．如图，点F在?ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF＝∠FBC+∠FCB．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝，求AC的长．
24．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB＝，AE⊥BD于点E，求OE的长．
25．如图1，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．
（1）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
（2）如图2，将△BDC沿射线BD方向平移到△B1D1C1的位置，则四边形ABC1D1是平行四边形吗？为什么？
（3）在△BDC移动过程中，四边形ABC1D1有可能是矩形吗？如果是，请求出点B移动的距离（写出过程）；如果不是，请说明理由（图3供操作时使用）．
26．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；
（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．
27．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．
【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝ S正方形ABCD；
【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；
【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．
28．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．
2020年华师大新版数学下册八年级《第19章 矩形、菱形与正方形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（ ）厘米．
A．8 B．5 C．10 D．4.8
【分析】根据菱形的面积公式可得菱形的另一对角线长，再根据菱形的对角线互相垂直平分利用勾股定理可求出边长．
【解答】解：设菱形的另一对角线长为xcm，
×6×x＝24，
解得：x＝8，
菱形的边长为：＝5（cm），
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形的对角线互相垂直、平分．
2．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（ ）
A．4.5cm B．4cm C．5cm D．4cm
【分析】根据菱形的性质求出菱形的边长以及两邻角的度数．又根据菱形的对角线互相垂直平分求出对角线的长．
【解答】解：由已知可得，菱形的边长为5cm，两邻角分别为60°，120°．
又菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可得30°的角，所对边为2.5cm，则此条对角线长5cm．
根据勾股定理可得，另一对角线长的一半为cm，则较长的对角线长为5cm．故本题选C．
【点评】此题主要考查菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，邻角互补等知识点．
3．如图，添加下列条件仍然不能使?ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
C、∵四边形ABCD是平行四边形和∠ABC＝90°不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC丄BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是菱形
【分析】直接利用菱形与矩形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC丄BD，
∴四边形ABCD是菱形，故正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故正确；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
四边形ABCD是矩形，故错误．
故选：D．
【点评】此题考查了菱形与矩形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
5．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴AB?OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4cm．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形OACB是菱形是解题的关键．
6．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS推出BC＝CD得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR＝AS，
∵AR?BC＝AS?CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA＝AC＝6cm，OB＝BD＝8cm，
∴AB＝＝10（cm），
故选：B．
【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【分析】根据矩形的性质推出AC＝BD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，求出OA＝OB，求出等边三角形AOB，推出OB＝AB＝3，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝3，
∵OB＝BD，
∴BD＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
8．如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由四边形CDEF为矩形，得到EF与DC平行，利用两直线平行同位角相等求出∠AGE的度数，根据∠AGE为三角形AGF的外角，利用外角性质求出∠AFE的度数即可．
【解答】解：∵四边形CDEF为矩形，
∴EF∥DC，
∴∠AGE＝∠1＝50°，
∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A＝30°，
∴∠AFE＝∠AGE﹣∠A＝20°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
9．在下述命题中，真命题有（ ）
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形
（2）三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形
（3）对角互补的平行四边形是矩形
（4）三边之比为1：：2的三角形是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据矩形、菱形、直角三角形的判定定理对四个选项逐一分析．
【解答】解：（1）对角线平分且互相垂直的四边形是菱形，故错误；
（2）180°÷8×4＝90°，故正确；
（3）∵平行四边形的对角相等，又互补，
∴每一个角为90°
∴这个平行四边形是矩形，故正确；
（4）设三边分别为x， x：2x，
∵x2+（x）2＝（2x）2，
∴由勾股定理的逆定理得，
这个三角形是直角三角形，故正确；
真命题有3个，故选C．
【点评】本题考查的知识点：矩形、菱形、直角三角形的判定
10．下列说法正确的有（ ）
（1）一组对边相等的四边形是矩形；
（2）两条对角线相等的四边形是矩形；
（3）四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
（4）四条边都相等的四边形是菱形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形．
【解答】解：（1）两组对边相等的四边形是平行四边形，故（1）错误；
（2）两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故（2）错误；
（3）四条边都相等且对角线相等的四边形是正方形，故（3）错误；
（4）四条边都相等的四边形是菱形，故（4）正确，所以正确的有1个，故选A．
【点评】考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．24 B．3.6 C．4.8 D．5
【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．
【解答】解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴PC的最小值为：＝4.8．
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．
12．下列说法正确的是（ ）
A．有两个角为直角的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等
C．平行四边形的对角线相等
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的性质和判定一一判断即可．
【解答】解：A、错误．有3个角为直角的四边形是矩形．
B、正确．矩形的对角线相等．
C、错误．平行四边形的对角线不一定相等．
D、错误．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．
故选：B．
【点评】本题考查矩形、菱形、平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
二．填空题（共8小题）
13．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为 32 ．
【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值．
【解答】解：∵C（3，4），
∴OC＝＝5，
∴CB＝OC＝5，
则点B的横坐标为3+5＝8，
故B的坐标为：（8，4），
将点B的坐标代入y＝得，
4＝，
解得：k＝32．
故答案为：32．
【点评】本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．
14．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ ，平行四边形CDEB为菱形．
【分析】首先根据勾股定理求得AB＝5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD＝OB，CD＝CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD＝AB﹣2OB．
【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5（勾股定理）．
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．
∵AB?OC＝AC?BC，
∴OC＝．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝＝＝，
∴AD＝AB﹣2OB＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的对角线互相垂直平分．
15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD＝4，则四边形CODE的周长 16 ．
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD＝4，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，DO＝BO，AO＝CO，
∴OD＝OA，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DOA＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴DO＝AO＝AD＝OC＝4，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×4＝16，
故答案为：16．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．
16．如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ 2 ．
【分析】过点M作MH∥BC交CP于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠MHP＝∠BCP，两直线平行，内错角相等可得∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角边角”证明△NCF和△MHF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EF＝CP，根据矩形的对边相等可得BC＝AD＝10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．
【解答】解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，
则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，
∵BP＝BC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠MHP，
∴PM＝MH，
∵PM＝CN，
∴CN＝MH，
∵ME⊥CP，
∴PE＝EH，
在△NCF和△MHF中，
，
∴△NCF≌△MHF（AAS），
∴CF＝FH，
∴EF＝EH+FH＝CP，
∵矩形ABCD中，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∴BP＝BC＝10，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，
∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，
在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，
∴EF＝CP＝×4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
17．对角线 互相平分且相等 四边形是矩形．
【分析】根据矩形的判定可得对角线互相平分且相等的四边形为矩形．
【解答】解：由对角线互相平分且相等的四边形为矩形可知，
故填：互相平分且相等．
【点评】本题考查的是矩形的判定定理（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）．
18．如图，在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E．线段DE的最小值是 2.4 cm．
【分析】利用勾股定理逆定理判断出∠A＝90°，再根据有三个角是直角的四边形是矩形判断出四边形ADME是矩形，根据矩形的对角线相等可得AM＝DE，再根据垂线段最短可得AM⊥BC时，线段DE最小，然后利用△ABC的面积列出方程求解即可．
【解答】解：∵AB2+AC2＝32+42＝25＝BC2，
∴∠A＝90°，
又∵MD⊥AB，ME⊥AC，
∴四边形ADME是矩形，
连接AM，则AM＝DE，
由垂线段最短可知，AM⊥BC时，线段DE最小，
此时，S△ABC＝BC?AM＝×5?AM＝×3×4，
解得AM＝2.4，
即DE＝2.4cm．
故答案为：2.4．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理逆定理，垂线段最短的性质，判断出四边形ADME是矩形并得到AM＝DE是解题的关键，难点在于判断出AM⊥BC时，线段DE最小．
19．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正确结论的序号是 ①③⑤ ．
【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；
②由①可得∠BEP＝90°，故BE不垂直于AE过点B作BF⊥AE延长线于F，由①得∠AEB＝135°所以∠EFB＝45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF＝，故②是错误的；
③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；
④由△APD≌△AEB，可知S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB，然后利用已知条件计算即可判定；
⑤连接BD，根据三角形的面积公式得到S△BPD＝PD×BE＝，所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2+，由此即可判定．
【解答】解：由边角边定理易知△APD≌△AEB，故①正确；
由△APD≌△AEB得，∠AEP＝∠APE＝45°，从而∠APD＝∠AEB＝135°，
所以∠BEP＝90°，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，
在△AEP中，由勾股定理得PE＝，
在△BEP中，PB＝，PE＝，由勾股定理得：BE＝，
∵∠PAE＝∠PEB＝∠EFB＝90°，AE＝AP，
∴∠AEP＝45°，
∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF＝BF＝，
故②是错误的；
因为△APD≌△AEB，所以∠ADP＝∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的；
由△APD≌△AEB，
∴PD＝BE＝，
可知S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△BEP＝+，因此④是错误的；
连接BD，则S△BPD＝PD×BE＝，
所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2+，
所以S正方形ABCD＝2S△ABD＝4+．
综上可知，正确的有①③⑤．
【点评】此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．
20．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ∠BAD＝90° ，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
【分析】根据有一个直角的菱形为正方形添加条件．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴当∠BAD＝90°时，四边形ABCD为正方形．
故答案为∠BAD＝90°．
【点评】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．
求证：AB与EF互相平分．
【分析】由菱形的性质可证AC⊥BD，又已知EF⊥AC，所以AG＝BG，GE＝BD，AD∥BC，可证四边形EDBF为平行四边形，可证GE＝GF，即证结论．
【解答】证明：连接BD，AF，BE，
在菱形ABCD中，AC⊥BD
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，又ED∥FB，
∴四边形EDBF是平行四边形，DE＝BF，
∵E为AD的中点，
∴AE＝ED，∴AE＝BF，
又AE∥BF，
∴四边形AEBF为平行四边形，
即AB与EF互相平分．
【点评】本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的性质，同时综合利用平行四边形的判定方法及中位线的性质．
22．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB＝BF，AD、BE相交于M，BC、DF相交于N．求证：四边形BMDN是菱形．
【分析】可证明△ABM≌△FBN≌△CND≌△EDM，则BN＝DM，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，再由全等得出BM＝BN，从而得出四边形BMDN是菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB＝BF，
∴∠ABM＝∠FBN，
∴△ABM≌△FBN≌△EDM，
∴BN＝DM，
∴四边形BMDN是平行四边形，
同理△ABM≌△FBN，则BM＝BN，
∴四边形BMDN是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质以及矩形的性质，是基础知识要熟练掌握．
23．如图，点F在?ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF＝∠FBC+∠FCB．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝，求AC的长．
【分析】（1）由外角的性质可得∠AFB＝∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF＝∠FBC+∠FCB，易得AB＝AF，由菱形的判定定理可得结论；
（2）作DH⊥AC于点H，由特殊角的三角函数可得∠CBE＝30°，由平行线的性质可得∠2＝∠CBE＝30°，利用锐角三角函数可得AH，DH，由菱形的性质和勾股定理得CH，得AC．
【解答】（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵∠ABF＝∠FBC+∠FCB，∠AFB＝∠FBC+∠FCB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∴?ABEF是菱形；
（2）解：作DH⊥AC于点H，
∵，
∴∠CBE＝30°，
∵BE∥AC，
∴∠1＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠1，
∴∠2＝∠CBE＝30°，
Rt△ADH中，，
DH＝AD?sin∠2＝4，
∵四边形ABEF是菱形，
∴CD＝AB＝BE＝5，
Rt△CDH中，，
∴．
【点评】本题主要考查了菱形的性质及判定定理，锐角三角函数等，由锐角三角函数解得AH，CH是解答此题的关键．
24．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB＝，AE⊥BD于点E，求OE的长．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA＝OD，根据∠AOD＝60°可得△AOD为等边三角形，即OA＝AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．
【解答】解：∵对角线相等且互相平分，
∴OA＝OD
∵∠AOD＝60°
∴△AOD为等边三角形，则OA＝AD，
BD＝2DO，AB＝AD，
∴AD＝2，
∵AE⊥BD，∴E为OD的中点
∴OE＝OD＝AD＝1，
答：OE的长度为 1．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键．
25．如图1，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．
（1）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
（2）如图2，将△BDC沿射线BD方向平移到△B1D1C1的位置，则四边形ABC1D1是平行四边形吗？为什么？
（3）在△BDC移动过程中，四边形ABC1D1有可能是矩形吗？如果是，请求出点B移动的距离（写出过程）；如果不是，请说明理由（图3供操作时使用）．
【分析】（1）根据四条边都相等的四边形ABCD是菱形证明即可；
（2）四边形ABC1D1是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可；
（3）在△BDC移动过程中，四边形ABC1D1有可能是矩形，此时此时，∠D1BC1＝30°，∠D1C1B＝90°，C1D1＝1，利用在直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半即可求出点B移动的距离．
【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形；
理由如下：
∵△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．
∴AB＝AD＝CD＝BC＝DB，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）四边形ABC1D1是平行四边形．
理由：∵∠ABD1＝∠C1D1B＝60°
∴AB∥C1D1，
又∵AB＝C1D1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
（3）四边形ABC1D1有可能是矩形．
此时，∠D1BC1＝30°，∠D1C1B＝90°，C1D1＝1
∴BD1＝2，
又∵B1D1＝1，
∴BB1＝1，
即点B移动的距离是1．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、菱形的判定和性质矩形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握特殊平行四边形的判定定理是解此题的关键．
26．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；
（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．
【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．
（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠EDC，
∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED，
∴EF＝DE，∵AE＝EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，
∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，
∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
27．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．
【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝ S正方形ABCD；
【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；
【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．
【分析】【感知】如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；
【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到mb＝AG?a，于是得到结论；
【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，根据平行四边形的面积公式得到＝，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：【感知】如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB，
在△AOG与△BOE中，，
∴△AOG≌△BOE，
∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形ABCD；
故答案为：；
【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，
∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD，
∴S△AOB＝S四边形AEOG，
∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE，
∴S△BOE＝S△AOG，
∵S△BOE＝BE?OM＝mb＝mb，S△AOG＝AG?ON＝AG?a＝AG?a，
∴mb＝AG?a，
∴AG＝；
【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，
则KL＝2OK，PQ＝2OQ，
∵S平行四边形ABCD＝AB?KL＝AD?PQ，
∴3×2OK＝5×2OQ，
∴＝，
∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，
∴S△AOB＝S四边形AEOG，
∴S△BOE＝S△AOG，
∵S△BOE＝BE?OK＝×1×OK，S△AOG＝AG?OQ，
∴×1×OK＝AG?OQ，∴＝AG＝，
∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．
【点评】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键．
28．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．
【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由四边形ABCD是平行四边形，可得AO＝CO．又由△ACE是等边三角形，可得AE＝CE．根据三线合一，对角线垂直，即可得四边形既为菱形
（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠BAO＝∠EAO﹣∠EAB＝60°﹣15°＝45°，所以四边形ABCD是菱形，∠BAD＝2∠BAO＝90°，即四边形ABCD是正方形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE．
∴BE⊥AC．
∴四边形ABCD是菱形．
（2）从上易得：△AOE是直角三角形，
∴∠AEB+∠EAO＝90°
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAO＝60°，
∴∠AEB＝30°
∵∠AEB＝2∠EAB，
∴∠EAB＝15°，
∴∠BAO＝∠EAO﹣∠EAB＝60°﹣15°＝45°．
又∵四边形ABCD是菱形．
∴∠BAD＝2∠BAO＝90°
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】此题主要考查菱形和正方形的判定．本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度中等．注意灵活运用正方形和菱形的判定方法．
一．选择题（共12小题）
1．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（ ）厘米．
A．8 B．5 C．10 D．4.8
2．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（ ）
A．4.5cm B．4cm C．5cm D．4cm
3．如图，添加下列条件仍然不能使?ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC丄BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是菱形
5．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
7．如图，矩形ABCD中，AB＝3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
8．如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
9．在下述命题中，真命题有（ ）
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形
（2）三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形
（3）对角互补的平行四边形是矩形
（4）三边之比为1：：2的三角形是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列说法正确的有（ ）
（1）一组对边相等的四边形是矩形；
（2）两条对角线相等的四边形是矩形；
（3）四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
（4）四条边都相等的四边形是菱形．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．24 B．3.6 C．4.8 D．5
12．下列说法正确的是（ ）
A．有两个角为直角的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等
C．平行四边形的对角线相等
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
二．填空题（共8小题）
13．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为 ．
14．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ ，平行四边形CDEB为菱形．
15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD＝4，则四边形CODE的周长 ．
16．如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ ．
17．对角线 四边形是矩形．
18．如图，在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E．线段DE的最小值是 cm．
19．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正确结论的序号是 ．
20．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．
求证：AB与EF互相平分．
22．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB＝BF，AD、BE相交于M，BC、DF相交于N．求证：四边形BMDN是菱形．
23．如图，点F在?ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF＝∠FBC+∠FCB．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝，求AC的长．
24．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB＝，AE⊥BD于点E，求OE的长．
25．如图1，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．
（1）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
（2）如图2，将△BDC沿射线BD方向平移到△B1D1C1的位置，则四边形ABC1D1是平行四边形吗？为什么？
（3）在△BDC移动过程中，四边形ABC1D1有可能是矩形吗？如果是，请求出点B移动的距离（写出过程）；如果不是，请说明理由（图3供操作时使用）．
26．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；
（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．
27．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．
【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝ S正方形ABCD；
【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；
【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．
28．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．
2020年华师大新版数学下册八年级《第19章 矩形、菱形与正方形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是（ ）厘米．
A．8 B．5 C．10 D．4.8
【分析】根据菱形的面积公式可得菱形的另一对角线长，再根据菱形的对角线互相垂直平分利用勾股定理可求出边长．
【解答】解：设菱形的另一对角线长为xcm，
×6×x＝24，
解得：x＝8，
菱形的边长为：＝5（cm），
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形的对角线互相垂直、平分．
2．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（ ）
A．4.5cm B．4cm C．5cm D．4cm
【分析】根据菱形的性质求出菱形的边长以及两邻角的度数．又根据菱形的对角线互相垂直平分求出对角线的长．
【解答】解：由已知可得，菱形的边长为5cm，两邻角分别为60°，120°．
又菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可得30°的角，所对边为2.5cm，则此条对角线长5cm．
根据勾股定理可得，另一对角线长的一半为cm，则较长的对角线长为5cm．故本题选C．
【点评】此题主要考查菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，邻角互补等知识点．
3．如图，添加下列条件仍然不能使?ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
C、∵四边形ABCD是平行四边形和∠ABC＝90°不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC丄BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是菱形
【分析】直接利用菱形与矩形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC丄BD，
∴四边形ABCD是菱形，故正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故正确；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
四边形ABCD是矩形，故错误．
故选：D．
【点评】此题考查了菱形与矩形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
5．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴AB?OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4cm．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形OACB是菱形是解题的关键．
6．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS推出BC＝CD得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR＝AS，
∵AR?BC＝AS?CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA＝AC＝6cm，OB＝BD＝8cm，
∴AB＝＝10（cm），
故选：B．
【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【分析】根据矩形的性质推出AC＝BD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，求出OA＝OB，求出等边三角形AOB，推出OB＝AB＝3，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝3，
∵OB＝BD，
∴BD＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
8．如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由四边形CDEF为矩形，得到EF与DC平行，利用两直线平行同位角相等求出∠AGE的度数，根据∠AGE为三角形AGF的外角，利用外角性质求出∠AFE的度数即可．
【解答】解：∵四边形CDEF为矩形，
∴EF∥DC，
∴∠AGE＝∠1＝50°，
∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A＝30°，
∴∠AFE＝∠AGE﹣∠A＝20°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
9．在下述命题中，真命题有（ ）
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形
（2）三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形
（3）对角互补的平行四边形是矩形
（4）三边之比为1：：2的三角形是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据矩形、菱形、直角三角形的判定定理对四个选项逐一分析．
【解答】解：（1）对角线平分且互相垂直的四边形是菱形，故错误；
（2）180°÷8×4＝90°，故正确；
（3）∵平行四边形的对角相等，又互补，
∴每一个角为90°
∴这个平行四边形是矩形，故正确；
（4）设三边分别为x， x：2x，
∵x2+（x）2＝（2x）2，
∴由勾股定理的逆定理得，
这个三角形是直角三角形，故正确；
真命题有3个，故选C．
【点评】本题考查的知识点：矩形、菱形、直角三角形的判定
10．下列说法正确的有（ ）
（1）一组对边相等的四边形是矩形；
（2）两条对角线相等的四边形是矩形；
（3）四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
（4）四条边都相等的四边形是菱形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形．
【解答】解：（1）两组对边相等的四边形是平行四边形，故（1）错误；
（2）两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故（2）错误；
（3）四条边都相等且对角线相等的四边形是正方形，故（3）错误；
（4）四条边都相等的四边形是菱形，故（4）正确，所以正确的有1个，故选A．
【点评】考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（ ）
A．24 B．3.6 C．4.8 D．5
【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．
【解答】解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴PC的最小值为：＝4.8．
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．
12．下列说法正确的是（ ）
A．有两个角为直角的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等
C．平行四边形的对角线相等
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的性质和判定一一判断即可．
【解答】解：A、错误．有3个角为直角的四边形是矩形．
B、正确．矩形的对角线相等．
C、错误．平行四边形的对角线不一定相等．
D、错误．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．
故选：B．
【点评】本题考查矩形、菱形、平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
二．填空题（共8小题）
13．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为 32 ．
【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值．
【解答】解：∵C（3，4），
∴OC＝＝5，
∴CB＝OC＝5，
则点B的横坐标为3+5＝8，
故B的坐标为：（8，4），
将点B的坐标代入y＝得，
4＝，
解得：k＝32．
故答案为：32．
【点评】本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．
14．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ ，平行四边形CDEB为菱形．
【分析】首先根据勾股定理求得AB＝5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD＝OB，CD＝CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD＝AB﹣2OB．
【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5（勾股定理）．
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．
∵AB?OC＝AC?BC，
∴OC＝．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝＝＝，
∴AD＝AB﹣2OB＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的对角线互相垂直平分．
15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD＝4，则四边形CODE的周长 16 ．
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD＝4，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，DO＝BO，AO＝CO，
∴OD＝OA，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DOA＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴DO＝AO＝AD＝OC＝4，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×4＝16，
故答案为：16．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．
16．如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ 2 ．
【分析】过点M作MH∥BC交CP于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠MHP＝∠BCP，两直线平行，内错角相等可得∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角边角”证明△NCF和△MHF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EF＝CP，根据矩形的对边相等可得BC＝AD＝10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．
【解答】解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，
则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，
∵BP＝BC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠MHP，
∴PM＝MH，
∵PM＝CN，
∴CN＝MH，
∵ME⊥CP，
∴PE＝EH，
在△NCF和△MHF中，
，
∴△NCF≌△MHF（AAS），
∴CF＝FH，
∴EF＝EH+FH＝CP，
∵矩形ABCD中，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∴BP＝BC＝10，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，
∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，
在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，
∴EF＝CP＝×4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
17．对角线 互相平分且相等 四边形是矩形．
【分析】根据矩形的判定可得对角线互相平分且相等的四边形为矩形．
【解答】解：由对角线互相平分且相等的四边形为矩形可知，
故填：互相平分且相等．
【点评】本题考查的是矩形的判定定理（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）．
18．如图，在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E．线段DE的最小值是 2.4 cm．
【分析】利用勾股定理逆定理判断出∠A＝90°，再根据有三个角是直角的四边形是矩形判断出四边形ADME是矩形，根据矩形的对角线相等可得AM＝DE，再根据垂线段最短可得AM⊥BC时，线段DE最小，然后利用△ABC的面积列出方程求解即可．
【解答】解：∵AB2+AC2＝32+42＝25＝BC2，
∴∠A＝90°，
又∵MD⊥AB，ME⊥AC，
∴四边形ADME是矩形，
连接AM，则AM＝DE，
由垂线段最短可知，AM⊥BC时，线段DE最小，
此时，S△ABC＝BC?AM＝×5?AM＝×3×4，
解得AM＝2.4，
即DE＝2.4cm．
故答案为：2.4．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理逆定理，垂线段最短的性质，判断出四边形ADME是矩形并得到AM＝DE是解题的关键，难点在于判断出AM⊥BC时，线段DE最小．
19．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正确结论的序号是 ①③⑤ ．
【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；
②由①可得∠BEP＝90°，故BE不垂直于AE过点B作BF⊥AE延长线于F，由①得∠AEB＝135°所以∠EFB＝45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF＝，故②是错误的；
③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；
④由△APD≌△AEB，可知S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB，然后利用已知条件计算即可判定；
⑤连接BD，根据三角形的面积公式得到S△BPD＝PD×BE＝，所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2+，由此即可判定．
【解答】解：由边角边定理易知△APD≌△AEB，故①正确；
由△APD≌△AEB得，∠AEP＝∠APE＝45°，从而∠APD＝∠AEB＝135°，
所以∠BEP＝90°，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，
在△AEP中，由勾股定理得PE＝，
在△BEP中，PB＝，PE＝，由勾股定理得：BE＝，
∵∠PAE＝∠PEB＝∠EFB＝90°，AE＝AP，
∴∠AEP＝45°，
∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF＝BF＝，
故②是错误的；
因为△APD≌△AEB，所以∠ADP＝∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的；
由△APD≌△AEB，
∴PD＝BE＝，
可知S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△BEP＝+，因此④是错误的；
连接BD，则S△BPD＝PD×BE＝，
所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2+，
所以S正方形ABCD＝2S△ABD＝4+．
综上可知，正确的有①③⑤．
【点评】此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．
20．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ∠BAD＝90° ，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
【分析】根据有一个直角的菱形为正方形添加条件．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴当∠BAD＝90°时，四边形ABCD为正方形．
故答案为∠BAD＝90°．
【点评】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．
求证：AB与EF互相平分．
【分析】由菱形的性质可证AC⊥BD，又已知EF⊥AC，所以AG＝BG，GE＝BD，AD∥BC，可证四边形EDBF为平行四边形，可证GE＝GF，即证结论．
【解答】证明：连接BD，AF，BE，
在菱形ABCD中，AC⊥BD
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，又ED∥FB，
∴四边形EDBF是平行四边形，DE＝BF，
∵E为AD的中点，
∴AE＝ED，∴AE＝BF，
又AE∥BF，
∴四边形AEBF为平行四边形，
即AB与EF互相平分．
【点评】本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的性质，同时综合利用平行四边形的判定方法及中位线的性质．
22．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB＝BF，AD、BE相交于M，BC、DF相交于N．求证：四边形BMDN是菱形．
【分析】可证明△ABM≌△FBN≌△CND≌△EDM，则BN＝DM，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，再由全等得出BM＝BN，从而得出四边形BMDN是菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB＝BF，
∴∠ABM＝∠FBN，
∴△ABM≌△FBN≌△EDM，
∴BN＝DM，
∴四边形BMDN是平行四边形，
同理△ABM≌△FBN，则BM＝BN，
∴四边形BMDN是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质以及矩形的性质，是基础知识要熟练掌握．
23．如图，点F在?ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF＝∠FBC+∠FCB．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝，求AC的长．
【分析】（1）由外角的性质可得∠AFB＝∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF＝∠FBC+∠FCB，易得AB＝AF，由菱形的判定定理可得结论；
（2）作DH⊥AC于点H，由特殊角的三角函数可得∠CBE＝30°，由平行线的性质可得∠2＝∠CBE＝30°，利用锐角三角函数可得AH，DH，由菱形的性质和勾股定理得CH，得AC．
【解答】（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵∠ABF＝∠FBC+∠FCB，∠AFB＝∠FBC+∠FCB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∴?ABEF是菱形；
（2）解：作DH⊥AC于点H，
∵，
∴∠CBE＝30°，
∵BE∥AC，
∴∠1＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠1，
∴∠2＝∠CBE＝30°，
Rt△ADH中，，
DH＝AD?sin∠2＝4，
∵四边形ABEF是菱形，
∴CD＝AB＝BE＝5，
Rt△CDH中，，
∴．
【点评】本题主要考查了菱形的性质及判定定理，锐角三角函数等，由锐角三角函数解得AH，CH是解答此题的关键．
24．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB＝，AE⊥BD于点E，求OE的长．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA＝OD，根据∠AOD＝60°可得△AOD为等边三角形，即OA＝AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．
【解答】解：∵对角线相等且互相平分，
∴OA＝OD
∵∠AOD＝60°
∴△AOD为等边三角形，则OA＝AD，
BD＝2DO，AB＝AD，
∴AD＝2，
∵AE⊥BD，∴E为OD的中点
∴OE＝OD＝AD＝1，
答：OE的长度为 1．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键．
25．如图1，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．
（1）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
（2）如图2，将△BDC沿射线BD方向平移到△B1D1C1的位置，则四边形ABC1D1是平行四边形吗？为什么？
（3）在△BDC移动过程中，四边形ABC1D1有可能是矩形吗？如果是，请求出点B移动的距离（写出过程）；如果不是，请说明理由（图3供操作时使用）．
【分析】（1）根据四条边都相等的四边形ABCD是菱形证明即可；
（2）四边形ABC1D1是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可；
（3）在△BDC移动过程中，四边形ABC1D1有可能是矩形，此时此时，∠D1BC1＝30°，∠D1C1B＝90°，C1D1＝1，利用在直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半即可求出点B移动的距离．
【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形；
理由如下：
∵△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．
∴AB＝AD＝CD＝BC＝DB，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）四边形ABC1D1是平行四边形．
理由：∵∠ABD1＝∠C1D1B＝60°
∴AB∥C1D1，
又∵AB＝C1D1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
（3）四边形ABC1D1有可能是矩形．
此时，∠D1BC1＝30°，∠D1C1B＝90°，C1D1＝1
∴BD1＝2，
又∵B1D1＝1，
∴BB1＝1，
即点B移动的距离是1．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、菱形的判定和性质矩形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握特殊平行四边形的判定定理是解此题的关键．
26．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；
（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．
【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．
（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠EDC，
∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED，
∴EF＝DE，∵AE＝EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，
∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，
∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
27．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．
【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝ S正方形ABCD；
【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；
【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．
【分析】【感知】如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；
【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到mb＝AG?a，于是得到结论；
【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，根据平行四边形的面积公式得到＝，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：【感知】如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB，
在△AOG与△BOE中，，
∴△AOG≌△BOE，
∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形ABCD；
故答案为：；
【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，
∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD，
∴S△AOB＝S四边形AEOG，
∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE，
∴S△BOE＝S△AOG，
∵S△BOE＝BE?OM＝mb＝mb，S△AOG＝AG?ON＝AG?a＝AG?a，
∴mb＝AG?a，
∴AG＝；
【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，
则KL＝2OK，PQ＝2OQ，
∵S平行四边形ABCD＝AB?KL＝AD?PQ，
∴3×2OK＝5×2OQ，
∴＝，
∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，
∴S△AOB＝S四边形AEOG，
∴S△BOE＝S△AOG，
∵S△BOE＝BE?OK＝×1×OK，S△AOG＝AG?OQ，
∴×1×OK＝AG?OQ，∴＝AG＝，
∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．
【点评】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键．
28．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．
【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由四边形ABCD是平行四边形，可得AO＝CO．又由△ACE是等边三角形，可得AE＝CE．根据三线合一，对角线垂直，即可得四边形既为菱形
（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠BAO＝∠EAO﹣∠EAB＝60°﹣15°＝45°，所以四边形ABCD是菱形，∠BAD＝2∠BAO＝90°，即四边形ABCD是正方形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE．
∴BE⊥AC．
∴四边形ABCD是菱形．
（2）从上易得：△AOE是直角三角形，
∴∠AEB+∠EAO＝90°
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAO＝60°，
∴∠AEB＝30°
∵∠AEB＝2∠EAB，
∴∠EAB＝15°，
∴∠BAO＝∠EAO﹣∠EAB＝60°﹣15°＝45°．
又∵四边形ABCD是菱形．
∴∠BAD＝2∠BAO＝90°
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】此题主要考查菱形和正方形的判定．本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度中等．注意灵活运用正方形和菱形的判定方法．