2020年华师大新版数学下册九年级《第26章 二次函数》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年华师大新版数学下册九年级《第26章 二次函数》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 435.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-02 13:00:36 | ||
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文档简介
2020年华师大新版数学下册九年级《第26章 二次函数》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．下面的函数是二次函数的是（ ）
A．y＝3x+1 B．y＝x2+2x C． D．
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c
3．二次函数y＝x2+mx+1的图象的顶点在坐标轴上，则m的值是（ ）
A．0 B．2 C．±2 D．0或±2
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论错误的是（ ）
A．ac＜0
B．当x＞1时，y的值随x的增大而减小
C．3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根
D．当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0
5．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
6．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2+3
7．已知实数a，b满足a2+b2＝1，则a4+ab+b4的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
8．抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（ ）
A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4
C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4
9．把二次函数y＝﹣x2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式时，应为（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x﹣2）2+4
C．y＝﹣（x+2）2+4 D．y＝﹣（x﹣）2+3
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②当x＞2时，y＞0；③3a+c＞0；④3a+b＞0．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
11．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x﹣1.1 ﹣0.99 ﹣0.86 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61
A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7
12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．﹣1＜x且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
二．填空题（共8小题）
13．已知是二次函数，则m＝ ．
14．二次函数y＝（k+1）x2的图象如图所示，则k的取值范围为 ．
15．抛物线y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标是 ．
16．抛物线y＝x2﹣（b﹣2）x+3b的顶点在y轴上，则b的值为 ．
17．若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
18．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为 ．
19．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为 ．
20．一抛物线和抛物线y＝﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为 ．
三．解答题（共8小题）
21．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
22．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …
其中，m＝ ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有 个实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有 个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是 ．
23．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．
25．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2＝ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
26．已知二次函数y＝﹣x2+2x．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．
27．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：
∵x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，而（x+1）2≥0
∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．
试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．
28．已知二次函数y＝（x﹣1）2+n，当x＝2时，y＝2．求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
2020年华师大新版数学下册九年级《第26章 二次函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下面的函数是二次函数的是（ ）
A．y＝3x+1 B．y＝x2+2x C． D．
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，判断各选项即可．
【解答】解：A、y＝3x+1，二次项系数为0，故本选项错误；
B、y＝x2+2x，符合二次函数的定义，故本选项正确；
C、y＝，二次项系数为0，故本选项错误；
D、y＝，是反比例函数，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c
【分析】由函数图象已知a＞0，c＜0，再根据对称轴的位置即可判断b和a的大小，问题得解．
【解答】解：
由函数图象已知a＞0，c＜0，
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴b＞a，
∴b＞a＞c，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟记二次函数的各种性质是解题的关键．
3．二次函数y＝x2+mx+1的图象的顶点在坐标轴上，则m的值是（ ）
A．0 B．2 C．±2 D．0或±2
【分析】由二次函数y＝x2+mx+1的图象的顶点在坐标轴上，分两种情况讨论即可．
【解答】解：当图象的顶点在x轴上时，
∵二次函数y＝x2+mx+1的图象的顶点在x轴上，
∴二次函数的解析式为：y＝（x±1）2，
∴m＝±2．
当图象的顶点在y轴上时，m＝0，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论错误的是（ ）
A．ac＜0
B．当x＞1时，y的值随x的增大而减小
C．3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根
D．当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+3，可对A进行判断；抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线开口向下，根据二次函数的性质可对B进行判断；利用抛物线过点（﹣1，﹣1），（3，3）得到抛物线与直线y＝x相交于点（﹣1，﹣1），（3，3），则可对C进行判断；利用函数图象可得当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞x，则可对D进行判断．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，3）和（3，3），（﹣1，﹣1），
∴，解得
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+3，
∴ac＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴抛物线开口向下，
∴当x＞时，y的值随x的增大而减小，所以B选项的结论错误；
∵抛物线过点（﹣1，﹣1），（3，3），
即抛物线与直线y＝x相交于点（﹣1，﹣1），（3，3），
∴3和﹣1是方程ax2+bx+c＝x的根，所以C选项的结论正确；
当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞x，
即ax2+（b﹣1）x+c＞0，所以D选项的结论正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数的性质．
5．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）＝0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．
【解答】解：根据题意得：m（m﹣2）＝0，
∴m＝0或m＝2，
∵二次函数的二次项系数不为零，所以m＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了点与函数的关系，解题时注意分析，理解题意．
6．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2+3
【分析】直接根据平移规律（左加右减，上加下减）作答即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式为y＝（x﹣3）2+3．
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7．已知实数a，b满足a2+b2＝1，则a4+ab+b4的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【分析】利用完全平方公式把a4+ab+b4配成关于ab的二次三项式，再根据平方数非负数（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2求出ab的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0，
∴2|ab|≤a2+b2＝1，
∴﹣≤ab≤，
令y＝a4+ab+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2+ab＝﹣2a2b2+ab+1＝﹣2（ab﹣）2+，
当﹣≤ab≤时，y随ab的增大而增大，
当≤ab≤时，y随ab的增大而减小，
故当ab＝﹣时，a4+ab+b4的最小值，为﹣2（﹣﹣）2+＝﹣2×+＝0，
即a4+ab+b4的最小值为0，当且仅当|a|＝|b|时，ab＝﹣，此时a＝﹣，b＝，或 a＝，b＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，完全平方公式，配方成关于ab的形式并求出ab的取值范围是解题的关键．
8．抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（ ）
A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4
C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4
【分析】由抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），再将（2，8）代入求得a的值即可．
【解答】解：由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），将（2，8）代入，可得
8＝a（2﹣1）（2+2），
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）（x+2），
化简得，y＝2x2+2x﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式的求法，注意函数解析式的设法．
9．把二次函数y＝﹣x2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式时，应为（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x﹣2）2+4
C．y＝﹣（x+2）2+4 D．y＝﹣（x﹣）2+3
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x2+4x+4）+1+3＝﹣（x+2）2+4．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②当x＞2时，y＞0；③3a+c＞0；④3a+b＞0．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据二次函数的图象的开口向上可得a＞0，根据图象y轴的交点在y轴的交点可得c＜0，根据对称轴是直线x＝1可得b＜0，进而可得①正确，再根据函数图象可得x＞2时，y有小于0的情况，故②错误，再计算出当x＝1时，a﹣b+c＞0，再结合对称轴可得2a+b＝0，进而可得3a+c＞0；再由2a+b＝0，a＞0可得3a+b＞0．
【解答】解：∵二次函数的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，b＜0，
∴abc＞0，∴①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象可知，当x＞2时，y有小于0的情况，
∴②错误；
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
把b＝﹣2a代入得：3a+c＞0，
∴③正确；
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，
∵a＞0，
∴3a+b＞0，故④正确．
故选：C．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，关键是数熟练掌握二次函数的性质．
11．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x﹣1.1 ﹣0.99 ﹣0.86 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61
A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7
【分析】根据图表数据找出一元二次方程最接近0的未知数的值，即为最精确的近似解．
【解答】解：∵x＝1.7时，x2﹣x﹣1.1的值0.09最小，
∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是1.7．
故选：D．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解此类题目的关键在于找代数式的值最接近0的未知数的值．
12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．﹣1＜x且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
【分析】先根据图象求出：抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），利用数形结合得出不等式的解．
【解答】解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是：x＜﹣1或x＞5，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的解，利用数形结合与二次函数的对称性可以解决此题．
二．填空题（共8小题）
13．已知是二次函数，则m＝ 2 ．
【分析】根据二次函数的定义得出m+2≠0，m2﹣2＝2，求出即可．
【解答】解：∵是二次函数，
∴m+2≠0，m2﹣2＝2，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的定义的应用，关键是能根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2﹣2＝2．
14．二次函数y＝（k+1）x2的图象如图所示，则k的取值范围为 k＞﹣1 ．
【分析】由图示知，该抛物线的开口方向向上，则系数k+1＞0，据此易求k的取值范围．
【解答】解：如图，抛物线的开口方向向上，则k+1＞0，
解得k＞﹣1．
故答案是：k＞﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的图象．二次函数y＝ax2的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．
15．抛物线y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标是 （3，4） ．
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（3，4），
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
16．抛物线y＝x2﹣（b﹣2）x+3b的顶点在y轴上，则b的值为 2 ．
【分析】把抛物线解析式转化为顶点形式，即可得顶点坐标，再根据顶点在y轴上，即x＝0，即可得b的值．
【解答】解：根据题意，把解析式转化为顶点形式为：
y＝x2﹣（b﹣2）x+3b＝（x﹣）2+3b﹣（）2，
顶点坐标为（，3b﹣（）2），
∵顶点在y轴上，
∴＝0，
∴b＝2．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数关系，是基础题型．
17．若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y1＜y3 ．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）分别代入二次函数的关系式，分别求得y1，y2，y3的值，最后比较它们的大小即可．
【解答】解：∵A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，
∴y1＝16﹣16﹣5＝﹣5，即y1＝﹣5，
y2＝1﹣4﹣5＝﹣8，即y2＝﹣8，
y3＝1+4﹣5＝0，即y3＝0，
∵﹣8＜﹣5＜0，
∴y2＜y1＜y3．
故答案是：y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点，该点一定在函数图象上．
18．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为 y＝（x+2）2﹣3 ．
【分析】先得到抛物线y＝x2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣3．
故答案为y＝（x+2）2﹣3．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
19．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为 2或﹣ ．
【分析】求出二次函数对称轴为直线x＝m，再分m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【解答】解：二次函数对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，不合题意，舍去；
②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，
解得m＝±，
∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，
∴m＝﹣；
③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2．
综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．
故答案是：2或﹣．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键．
20．一抛物线和抛物线y＝﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为 y＝﹣2（x+1）2+3 ．
【分析】由题意可知：该抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣h）2+k，然后将顶点坐标代入即可求出解析式．
【解答】解：由题意可知：该抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣h）2+k，
又∵顶点坐标（﹣1，3），
∴y＝﹣2（x+1）2+3，
故答案为：y＝﹣2（x+1）2+3．
【点评】本题考查待定系数法求解析式，若两抛物线形状与开后方向相同，则他们二次项系数必定相同．
三．解答题（共8小题）
21．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：依题意得
∴
∴m＝0；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
∴m≠0且m≠1．
【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．
22．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …
其中，m＝ 0 ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 3 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有 3 个实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有 2 个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是 ﹣1＜a＜0 ．
【分析】（1）把x＝﹣2代入函数解释式即可得m的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）根据函数图象得到函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝2的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围是﹣1＜a＜0．
【解答】解：（1）把x＝﹣2代入y＝x2﹣2|x|得y＝0，
即m＝0，
故答案为：0；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有3个实数根；
②如图，∵y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝2有两个交点，
∴x2﹣2|x|＝2有2个实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，
∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，
故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．
23．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
【分析】（1）已知了B点坐标，易求得OB、OC的长，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；可过D作x轴的垂线，交AC于M，x轴于N；易得△ADC的面积是DM与OA积的一半，可设出N点的坐标，分别代入直线AC和抛物线的解析式中，即可求出DM的长，进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．
【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1；
∵OC＝3BO，
∴C（0，﹣3）；（1分）
∵y＝ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，﹣3），
∴；
解这个方程组，得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3；
（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
在y＝x2+x﹣3中，令y＝0，
得方程x2+x﹣3＝0解这个方程，得x1＝﹣4，x2＝1
∴A（﹣4，0）
设直线AC的解析式为y＝kx+b
∴，
解这个方程组，得，
∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝+?DM?（AN+ON）
＝+2?DM
设D（x， x2+x﹣3），M（x，﹣ x﹣3），DM＝﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）＝﹣（x+2）2+3，
当x＝﹣2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值．
【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．
【分析】（1）把点坐标代入解析式即可；
（2）分别把点（2k，y1）和点（2，y2）代入函数解析式，表示y1、y2利用条件构造关于k的不等式；
（3）根据平移得到新顶点，用k表示顶点坐标，找到最小值求k．
【解答】解：（1）把点（1，k2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得
k2＝12﹣2（k﹣1）+k2﹣k
解得k＝
（2）把点（2k，y1）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得
y1＝（2k）2﹣2（k﹣1）?2k+k2﹣k＝k2+k
把点（2，y2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得
y2＝22﹣2（k﹣1）×2+k2﹣k＝k2﹣k+8
∵y1＞y2
∴k2+k＞k2﹣k+8
解得k＞1
（3）抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k解析式配方得
y＝（x﹣k+1）2+（﹣）
将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为
y＝（x﹣k）2+（﹣）
当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴x＝1时，y最小＝（1﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣k，
∴k2﹣k＝﹣，解得k1＝1，k2＝
都不合题意，舍去；
当1≤k≤2时，y最小＝﹣k﹣1，
∴﹣k﹣1＝﹣
解得k＝1；
当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y最小＝（2﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣k+3，
∴k2﹣k+3＝﹣
解得k1＝3，k2＝（舍去）
综上，k＝1或3．
【点评】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象性质及二次函数图象平移．解答时注意用k表示顶点．
25．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2＝ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；
（3）根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得
（a+1）（﹣a）＝﹣2，
解得a1＝﹣2，a2＝1，
函数y1的表达式y＝（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y＝x2﹣x﹣2；
函数y1的表达式y＝（x+1）（x﹣2）化简，得y＝x2﹣x﹣2，
综上所述：函数y1的表达式y＝x2﹣x﹣2；
（2）当y＝0时（x+a）（x﹣a﹣1）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a+1，
y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0），
当y2＝ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b＝0，即b＝a2；
当y2＝ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b＝0，即b＝﹣a2﹣a；
（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，
由m＜n，得0＜x0≤；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．
26．已知二次函数y＝﹣x2+2x．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．
【分析】（1）确定出顶点坐标和与x轴的交点坐标，然后作出大致函数图象即可；
（2）根据函数图象写出二次函数图象在x轴下方的部分的x的取值范围；
（3）根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的二次函数图象的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．
【解答】解：（1）函数图象如图所示；
（2）当y＜0时，x的取值范围：x＜0或x＞2；
（3）∵图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，
∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，0），
∴平移后图象所对应的函数关系式为：y＝﹣（x+2）2．（或y＝﹣x2﹣4x﹣4）
【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，以及二次函数图象与几何变换，作二次函数图象一般先求出与x轴的交点坐标和顶点坐标．
27．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：
∵x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，而（x+1）2≥0
∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．
试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．
【分析】先把代数式化为完全平方的形式，再根据所给推理确定其最值即可．
【解答】解：原式＝3（y﹣1）2+8，
∵（y﹣1）2≥0，
∴3（y﹣1）2+8≥8，
∴有最小值，最小值为8．
【点评】此题是规律性题目，解答此题的关键是把原式化为完全平方式，再求其最值．
28．已知二次函数y＝（x﹣1）2+n，当x＝2时，y＝2．求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
【分析】将（2，2）代入y＝（x﹣1）2+n求得n的值即可，再由函数解析式画出函数图象．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+n，当x＝2时，y＝2，
∴2＝（2﹣1）2+n，
解得n＝1，
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2+1．
列表得：
如图：
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键．
一．选择题（共12小题）
1．下面的函数是二次函数的是（ ）
A．y＝3x+1 B．y＝x2+2x C． D．
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c
3．二次函数y＝x2+mx+1的图象的顶点在坐标轴上，则m的值是（ ）
A．0 B．2 C．±2 D．0或±2
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论错误的是（ ）
A．ac＜0
B．当x＞1时，y的值随x的增大而减小
C．3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根
D．当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0
5．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
6．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2+3
7．已知实数a，b满足a2+b2＝1，则a4+ab+b4的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
8．抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（ ）
A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4
C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4
9．把二次函数y＝﹣x2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式时，应为（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x﹣2）2+4
C．y＝﹣（x+2）2+4 D．y＝﹣（x﹣）2+3
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②当x＞2时，y＞0；③3a+c＞0；④3a+b＞0．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
11．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x﹣1.1 ﹣0.99 ﹣0.86 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61
A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7
12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．﹣1＜x且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
二．填空题（共8小题）
13．已知是二次函数，则m＝ ．
14．二次函数y＝（k+1）x2的图象如图所示，则k的取值范围为 ．
15．抛物线y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标是 ．
16．抛物线y＝x2﹣（b﹣2）x+3b的顶点在y轴上，则b的值为 ．
17．若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
18．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为 ．
19．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为 ．
20．一抛物线和抛物线y＝﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为 ．
三．解答题（共8小题）
21．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
22．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …
其中，m＝ ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有 个实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有 个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是 ．
23．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．
25．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2＝ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
26．已知二次函数y＝﹣x2+2x．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．
27．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：
∵x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，而（x+1）2≥0
∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．
试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．
28．已知二次函数y＝（x﹣1）2+n，当x＝2时，y＝2．求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
2020年华师大新版数学下册九年级《第26章 二次函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下面的函数是二次函数的是（ ）
A．y＝3x+1 B．y＝x2+2x C． D．
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，判断各选项即可．
【解答】解：A、y＝3x+1，二次项系数为0，故本选项错误；
B、y＝x2+2x，符合二次函数的定义，故本选项正确；
C、y＝，二次项系数为0，故本选项错误；
D、y＝，是反比例函数，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c
【分析】由函数图象已知a＞0，c＜0，再根据对称轴的位置即可判断b和a的大小，问题得解．
【解答】解：
由函数图象已知a＞0，c＜0，
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴b＞a，
∴b＞a＞c，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟记二次函数的各种性质是解题的关键．
3．二次函数y＝x2+mx+1的图象的顶点在坐标轴上，则m的值是（ ）
A．0 B．2 C．±2 D．0或±2
【分析】由二次函数y＝x2+mx+1的图象的顶点在坐标轴上，分两种情况讨论即可．
【解答】解：当图象的顶点在x轴上时，
∵二次函数y＝x2+mx+1的图象的顶点在x轴上，
∴二次函数的解析式为：y＝（x±1）2，
∴m＝±2．
当图象的顶点在y轴上时，m＝0，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论错误的是（ ）
A．ac＜0
B．当x＞1时，y的值随x的增大而减小
C．3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根
D．当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+3，可对A进行判断；抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线开口向下，根据二次函数的性质可对B进行判断；利用抛物线过点（﹣1，﹣1），（3，3）得到抛物线与直线y＝x相交于点（﹣1，﹣1），（3，3），则可对C进行判断；利用函数图象可得当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞x，则可对D进行判断．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，3）和（3，3），（﹣1，﹣1），
∴，解得
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+3，
∴ac＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴抛物线开口向下，
∴当x＞时，y的值随x的增大而减小，所以B选项的结论错误；
∵抛物线过点（﹣1，﹣1），（3，3），
即抛物线与直线y＝x相交于点（﹣1，﹣1），（3，3），
∴3和﹣1是方程ax2+bx+c＝x的根，所以C选项的结论正确；
当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞x，
即ax2+（b﹣1）x+c＞0，所以D选项的结论正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数的性质．
5．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）＝0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．
【解答】解：根据题意得：m（m﹣2）＝0，
∴m＝0或m＝2，
∵二次函数的二次项系数不为零，所以m＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了点与函数的关系，解题时注意分析，理解题意．
6．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2+3
【分析】直接根据平移规律（左加右减，上加下减）作答即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式为y＝（x﹣3）2+3．
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7．已知实数a，b满足a2+b2＝1，则a4+ab+b4的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【分析】利用完全平方公式把a4+ab+b4配成关于ab的二次三项式，再根据平方数非负数（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2求出ab的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0，
∴2|ab|≤a2+b2＝1，
∴﹣≤ab≤，
令y＝a4+ab+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2+ab＝﹣2a2b2+ab+1＝﹣2（ab﹣）2+，
当﹣≤ab≤时，y随ab的增大而增大，
当≤ab≤时，y随ab的增大而减小，
故当ab＝﹣时，a4+ab+b4的最小值，为﹣2（﹣﹣）2+＝﹣2×+＝0，
即a4+ab+b4的最小值为0，当且仅当|a|＝|b|时，ab＝﹣，此时a＝﹣，b＝，或 a＝，b＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，完全平方公式，配方成关于ab的形式并求出ab的取值范围是解题的关键．
8．抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（ ）
A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4
C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4
【分析】由抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），再将（2，8）代入求得a的值即可．
【解答】解：由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），将（2，8）代入，可得
8＝a（2﹣1）（2+2），
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）（x+2），
化简得，y＝2x2+2x﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式的求法，注意函数解析式的设法．
9．把二次函数y＝﹣x2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式时，应为（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x﹣2）2+4
C．y＝﹣（x+2）2+4 D．y＝﹣（x﹣）2+3
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x2+4x+4）+1+3＝﹣（x+2）2+4．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②当x＞2时，y＞0；③3a+c＞0；④3a+b＞0．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据二次函数的图象的开口向上可得a＞0，根据图象y轴的交点在y轴的交点可得c＜0，根据对称轴是直线x＝1可得b＜0，进而可得①正确，再根据函数图象可得x＞2时，y有小于0的情况，故②错误，再计算出当x＝1时，a﹣b+c＞0，再结合对称轴可得2a+b＝0，进而可得3a+c＞0；再由2a+b＝0，a＞0可得3a+b＞0．
【解答】解：∵二次函数的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，b＜0，
∴abc＞0，∴①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象可知，当x＞2时，y有小于0的情况，
∴②错误；
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
把b＝﹣2a代入得：3a+c＞0，
∴③正确；
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，
∵a＞0，
∴3a+b＞0，故④正确．
故选：C．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，关键是数熟练掌握二次函数的性质．
11．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x﹣1.1 ﹣0.99 ﹣0.86 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61
A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7
【分析】根据图表数据找出一元二次方程最接近0的未知数的值，即为最精确的近似解．
【解答】解：∵x＝1.7时，x2﹣x﹣1.1的值0.09最小，
∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是1.7．
故选：D．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解此类题目的关键在于找代数式的值最接近0的未知数的值．
12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．﹣1＜x且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
【分析】先根据图象求出：抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），利用数形结合得出不等式的解．
【解答】解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是：x＜﹣1或x＞5，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的解，利用数形结合与二次函数的对称性可以解决此题．
二．填空题（共8小题）
13．已知是二次函数，则m＝ 2 ．
【分析】根据二次函数的定义得出m+2≠0，m2﹣2＝2，求出即可．
【解答】解：∵是二次函数，
∴m+2≠0，m2﹣2＝2，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的定义的应用，关键是能根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2﹣2＝2．
14．二次函数y＝（k+1）x2的图象如图所示，则k的取值范围为 k＞﹣1 ．
【分析】由图示知，该抛物线的开口方向向上，则系数k+1＞0，据此易求k的取值范围．
【解答】解：如图，抛物线的开口方向向上，则k+1＞0，
解得k＞﹣1．
故答案是：k＞﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的图象．二次函数y＝ax2的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．
15．抛物线y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标是 （3，4） ．
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（3，4），
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
16．抛物线y＝x2﹣（b﹣2）x+3b的顶点在y轴上，则b的值为 2 ．
【分析】把抛物线解析式转化为顶点形式，即可得顶点坐标，再根据顶点在y轴上，即x＝0，即可得b的值．
【解答】解：根据题意，把解析式转化为顶点形式为：
y＝x2﹣（b﹣2）x+3b＝（x﹣）2+3b﹣（）2，
顶点坐标为（，3b﹣（）2），
∵顶点在y轴上，
∴＝0，
∴b＝2．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数关系，是基础题型．
17．若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y1＜y3 ．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）分别代入二次函数的关系式，分别求得y1，y2，y3的值，最后比较它们的大小即可．
【解答】解：∵A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，
∴y1＝16﹣16﹣5＝﹣5，即y1＝﹣5，
y2＝1﹣4﹣5＝﹣8，即y2＝﹣8，
y3＝1+4﹣5＝0，即y3＝0，
∵﹣8＜﹣5＜0，
∴y2＜y1＜y3．
故答案是：y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点，该点一定在函数图象上．
18．将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为 y＝（x+2）2﹣3 ．
【分析】先得到抛物线y＝x2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣3．
故答案为y＝（x+2）2﹣3．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
19．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为 2或﹣ ．
【分析】求出二次函数对称轴为直线x＝m，再分m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【解答】解：二次函数对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，不合题意，舍去；
②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，
解得m＝±，
∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，
∴m＝﹣；
③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2．
综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．
故答案是：2或﹣．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键．
20．一抛物线和抛物线y＝﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为 y＝﹣2（x+1）2+3 ．
【分析】由题意可知：该抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣h）2+k，然后将顶点坐标代入即可求出解析式．
【解答】解：由题意可知：该抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣h）2+k，
又∵顶点坐标（﹣1，3），
∴y＝﹣2（x+1）2+3，
故答案为：y＝﹣2（x+1）2+3．
【点评】本题考查待定系数法求解析式，若两抛物线形状与开后方向相同，则他们二次项系数必定相同．
三．解答题（共8小题）
21．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：依题意得
∴
∴m＝0；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
∴m≠0且m≠1．
【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．
22．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …
其中，m＝ 0 ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 3 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有 3 个实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有 2 个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是 ﹣1＜a＜0 ．
【分析】（1）把x＝﹣2代入函数解释式即可得m的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）根据函数图象得到函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝2的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围是﹣1＜a＜0．
【解答】解：（1）把x＝﹣2代入y＝x2﹣2|x|得y＝0，
即m＝0，
故答案为：0；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有3个实数根；
②如图，∵y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝2有两个交点，
∴x2﹣2|x|＝2有2个实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，
∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，
故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．
23．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
【分析】（1）已知了B点坐标，易求得OB、OC的长，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；可过D作x轴的垂线，交AC于M，x轴于N；易得△ADC的面积是DM与OA积的一半，可设出N点的坐标，分别代入直线AC和抛物线的解析式中，即可求出DM的长，进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．
【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1；
∵OC＝3BO，
∴C（0，﹣3）；（1分）
∵y＝ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，﹣3），
∴；
解这个方程组，得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3；
（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
在y＝x2+x﹣3中，令y＝0，
得方程x2+x﹣3＝0解这个方程，得x1＝﹣4，x2＝1
∴A（﹣4，0）
设直线AC的解析式为y＝kx+b
∴，
解这个方程组，得，
∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝+?DM?（AN+ON）
＝+2?DM
设D（x， x2+x﹣3），M（x，﹣ x﹣3），DM＝﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）＝﹣（x+2）2+3，
当x＝﹣2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值．
【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．
【分析】（1）把点坐标代入解析式即可；
（2）分别把点（2k，y1）和点（2，y2）代入函数解析式，表示y1、y2利用条件构造关于k的不等式；
（3）根据平移得到新顶点，用k表示顶点坐标，找到最小值求k．
【解答】解：（1）把点（1，k2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得
k2＝12﹣2（k﹣1）+k2﹣k
解得k＝
（2）把点（2k，y1）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得
y1＝（2k）2﹣2（k﹣1）?2k+k2﹣k＝k2+k
把点（2，y2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得
y2＝22﹣2（k﹣1）×2+k2﹣k＝k2﹣k+8
∵y1＞y2
∴k2+k＞k2﹣k+8
解得k＞1
（3）抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k解析式配方得
y＝（x﹣k+1）2+（﹣）
将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为
y＝（x﹣k）2+（﹣）
当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴x＝1时，y最小＝（1﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣k，
∴k2﹣k＝﹣，解得k1＝1，k2＝
都不合题意，舍去；
当1≤k≤2时，y最小＝﹣k﹣1，
∴﹣k﹣1＝﹣
解得k＝1；
当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y最小＝（2﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣k+3，
∴k2﹣k+3＝﹣
解得k1＝3，k2＝（舍去）
综上，k＝1或3．
【点评】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象性质及二次函数图象平移．解答时注意用k表示顶点．
25．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2＝ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；
（3）根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得
（a+1）（﹣a）＝﹣2，
解得a1＝﹣2，a2＝1，
函数y1的表达式y＝（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y＝x2﹣x﹣2；
函数y1的表达式y＝（x+1）（x﹣2）化简，得y＝x2﹣x﹣2，
综上所述：函数y1的表达式y＝x2﹣x﹣2；
（2）当y＝0时（x+a）（x﹣a﹣1）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a+1，
y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0），
当y2＝ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b＝0，即b＝a2；
当y2＝ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b＝0，即b＝﹣a2﹣a；
（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，
由m＜n，得0＜x0≤；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．
26．已知二次函数y＝﹣x2+2x．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．
【分析】（1）确定出顶点坐标和与x轴的交点坐标，然后作出大致函数图象即可；
（2）根据函数图象写出二次函数图象在x轴下方的部分的x的取值范围；
（3）根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的二次函数图象的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．
【解答】解：（1）函数图象如图所示；
（2）当y＜0时，x的取值范围：x＜0或x＞2；
（3）∵图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，
∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，0），
∴平移后图象所对应的函数关系式为：y＝﹣（x+2）2．（或y＝﹣x2﹣4x﹣4）
【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，以及二次函数图象与几何变换，作二次函数图象一般先求出与x轴的交点坐标和顶点坐标．
27．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：
∵x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，而（x+1）2≥0
∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．
试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．
【分析】先把代数式化为完全平方的形式，再根据所给推理确定其最值即可．
【解答】解：原式＝3（y﹣1）2+8，
∵（y﹣1）2≥0，
∴3（y﹣1）2+8≥8，
∴有最小值，最小值为8．
【点评】此题是规律性题目，解答此题的关键是把原式化为完全平方式，再求其最值．
28．已知二次函数y＝（x﹣1）2+n，当x＝2时，y＝2．求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
【分析】将（2，2）代入y＝（x﹣1）2+n求得n的值即可，再由函数解析式画出函数图象．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+n，当x＝2时，y＝2，
∴2＝（2﹣1）2+n，
解得n＝1，
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2+1．
列表得：
如图：
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键．