5.1 曲线运动-学案

曲线运动


【学习目标】
1．知道曲线运动的方向，理解曲线运动的性质
2．知道曲线运动的条件，会确定轨迹弯曲方向与受力方向的关系
【学习重难点】
1．掌握线速度、角速度、匀速圆周运动、周期、频率、转速等概念、公式
2．学会描述圆周运动各物理量之间的关系
【学习过程】
回顾一　平抛运动的特点和性质
1．做平抛运动的物体，抛出时的初速度方向是________的，
在运动过程中只受________，其运动的轨迹是一条________。
答案：水平　重力　抛物线
2．下列关于平抛运动的说法中正确的是 (　　)
A．平抛运动是非匀变速运动
B．平抛运动是匀速运动
C．平抛运动是匀变速曲线运动
D．平抛运动是加速度方向不变大小变化的曲线运动
解析：做平抛运动的物体只受重力作用，由牛顿第二定律可知平抛运动的加速度为g，方向竖直向下，故平抛运动是匀变速曲线运动，故选C．
答案：C
回顾二　平抛运动的规律
3．物体以初速度v0水平抛出，经过一段时间t，水平位
移为x＝________，竖直方向的位移为y＝________，合位移大小为s＝________，物体的加速度大小是________，方向为________。

4．从高度为h处以水平速度v0抛出一个物体，要使该物体
的落地速度与水平地面的夹角较大，则h与v0的取值应为下列四组中的哪一组 (　　)
A．h＝30 m，v0＝10 m/s
B．h＝30 m，v0＝30 m/s
C．h＝50 m，v0＝30 m/s
D．h＝50 m，v0＝10 m/s

答案： D
回顾三　斜抛运动
5．在水平地面上将物体以初速度v0沿与水平方向成θ角斜向上抛出，不考虑空气阻力，则物体在空中的飞行时间t＝________，射程x＝________；射高H＝________。


6．做斜抛运动的物体，到达最高点时 (　　)
A．速度为零，加速度向下
B．速度为零，加速度为零
C．具有水平方向的速度和竖直向下的加速度
D．具有水平方向的速度和加速度
解析：斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动。因物体只受重力，且方向竖直向下，所以水平方向的分速度不变，竖直方向上的加速度也不变，所以只有C选项正确。
答案：C 图4－2－1
考点一、平抛运动规律的应用
[知识必会]
1．速度的变化规律
（1）任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0.
（2）任意相等时间间隔Δt内的速度变化量均竖直向下，且Δv ＝Δvy＝gΔt。
（3）任意两时刻的速度与速度变化量Δv构成三角形，Δv沿竖直方向。如图4－2－1所示。
2．位移变化规律
（1）任意相等时间间隔内，水平位移不变，即Δx＝v0Δt。
（2）连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔt2．
（3）从抛出开始计时，连续相等时间内的竖直位移之比为： 1∶3∶5∶…∶(2n－1)(n＝1，2，3，…) 图4－2－2
3．两个重要推论
推论1：做平抛(或类平抛)运动的物
体在任一时刻任一位置处，设其速
度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα。
推论2：做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图4－2－3中A点和B点所示。

图4－2－3
名师点睛
（1）在平抛运动中，位移矢量和速度矢量永远不会共线；
（2）速度和位移与水平方向的夹角关系tanθ＝2tanα，但不能误认为θ＝2α。
典例必研


图4－2－4

例1　如图4－2－4所示，一个斜面固
定在水平面上，从斜面顶端以不同初速度v0水平抛出一小球，得到小球在空中运动时间t与初速度v0的关系如下表所示，g取10 m/s2试求：

（1）v0＝2 m/s时平抛水平位移s；
（2）斜面的高度h；
（3）斜面的倾角θ。
审题指导　初速度达到9 m/s后运动时间不变，说明小球落在水平面上。

答案（1）0.80 m　（2）5 m　（3）45°
冲关必试
1．一斜面倾角为θ，A．B两个小球均以水平初速度v0水平抛出(如图4－2－5所示)，A球垂直撞在斜面上，B球落到斜面上的位移最短，不计空气阻 图4－2－5
力，则A．B两个小球下落时间tA与tB之间的关系为 (　　)
A．tA＝tB　　　　　　B．tA＝2tB
C．tB＝2tA D．无法确定

答案：C
2．如图4－2－6所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(　　) 图4－2－6
A．tanφ＝sinθ
B．tanφ＝cosθ
C．tanφ＝tanθ
D．tanφ＝2tanθ

答案：D
3．一固定斜面ABC，倾角为θ，高AC＝h，如图4－2－7所示，在顶点A以某一初速度水平抛出一小球，恰好落在斜面底端B点，空气阻力不计，试求自抛出经多长时间小球离斜面最远？ 图4－2－7





考点二、类平抛运动问题的分析

3．类平抛运动的求解方法
（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
4．类平抛运动问题的求解思路

典例必研
例2　如图4－2－8所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：
（1）物块由P运动到Q所用的时间t；
（2）物块由P点水平入射时的初速度v0；
（3）物块离开Q点时速度的大小v。 图4－2－8
思路点拨　物块在光滑斜面上的运动是类平抛运动，沿初速度v0方向是匀速直线运动，沿斜面向下的分运动是初速度为零的匀加速直线运动。
解析（1）沿水平方向有b＝v0t
沿斜面向下的方向有
mgsinθ＝ma


冲关必试
4．如图4－2－9所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面
放在同一水平面上，斜面高度相等。有三个完全相同的小球A．B．C，开始均静止于同一高度处，其中b一小球在两斜面之间，A．c两小球在斜面顶端，两斜面间距大于小球直径。若同时释放，A．B．C小球到达水平面的时间分别
为t1．t2．t3．若同时沿水平方向抛出，初速度方
向如图4－2－9所示，到达水平面的时间分别为t1′
、t2′、t3′。下列关于时间的关系错误的是 (　　)
A．t1>t3>t2 图4－2－9
B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′图4－2－9
C．t1′>t3′>t2′
D．t1
当平抛三小球时：小球b做平抛运动，竖直方向运动情况同第一次情况，小球A．c在斜面内做类平抛运动，沿斜面向下方向的运动同第一次情况，所以t1＝t1′，t2＝t2′，t3＝t3′。
答案：
5．在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37°，如图 图4－2－10
所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，求：
（1）如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
（2） 质点经过P点时的速度大小。



【每课一得】
平抛运动中临界问题的分析方法求解平抛运动中的临界问题的关键有三点：
（1）确定运动性质——平抛运动。
（2）确定临界状态。确定临界状态一般使用极限分析法， 即把平抛物体的初速度v0增大或减小，使临界状态呈现出来。
（3）确定临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图，画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，更可以使有些隐藏于问题深处的条件暴露出来。
示例　如图4－2－11所示，水平屋顶高H＝5 m，
围墙高h＝3．2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，
围墙外马路宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，求小球离开屋顶时的速度v的大小范围。(g取10 m/s2)

图4－2－11
方法导入　当抛出高度一定时，平抛物体的水平抛出速度v大，飞行的水平距离大；水平抛出速度v小，飞行的水平距离小。在题中的给定条件下，球落到马路右边缘时，对应抛出速度的最大值；球恰好越过围墙时，对应抛出速度的最小值。
解析　若v太大，小球落在马路外边，因此，球落在马路上，v的最大值vmax为球落在马路最右侧A点时的平抛初速度，如图4－2－12所示，小球做平抛运动，设运动时间为t1．

图4－2－12

若v太小，小球被墙挡住，因此，球不能落在马路上，v的最小值vmin为球恰好越过围墙的最高点P落在马路上B点时的平抛初速度，设小球运动到P点所需时间为t2，则此过程中小球的水平位移：L＝vmint2

答案　5 m/s≤v≤13 m/s
每课一测
1．某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平抛球，结果球划着一条弧线飞到小桶的前方，如图1所示。不计空气阻力，为了能把小球抛进小桶中，则下次再水平抛时，可能作出的调整为(　　)
①减小初速度，抛出点高度不变
②增大初速度，抛出点高度不变 图1
③初速度大小不变，降低抛出点高度
④初速度大小不变，升高抛出点高度
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
解析：小球做平抛运动，有h＝gt2，x＝v0t＝v0，则减小x的方法可以是减小v0或者h。
答案：A
2．如图2所示，水平抛出的物体，抵达斜面上端P处，其速度方向恰好沿斜面方向，然后沿斜面无摩擦滑下，下列选项中的图像是描述物体沿x方向和y方向运动的速度—时间图像，其中正确的是(　　)
图2

图3
解析：O～tP段，水平方向：vx＝v0恒定不变；竖直方向：vy＝gt；tP～tQ段，水平方向：vx＝v0＋a水平t，竖直方向：vy＝vP＋a竖直t(a竖直＜g)，因此选项A．B．D均错误，C正确。
答案：C
3．如图4所示，A．B两质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B在光滑斜面上运动，落地点为P2，不计阻力，比较P1．P2在x轴方向上的远近关系是(　　)
A．P1较远　　　　　 B．P2较远
C．P1．P2等远 D．A．B都可能 图4
解析：因aP1＝g，aP2＝gsinθ，x＝v0t，而tP2>tP1，故x2>x1，B项正确。
答案：B
4．如图所示，在同一平台上的O点水平抛出的三个物体，分别落到A．B．C三点，则三个物体运动的初速度vA．vB．vc的关系和三个物体运动的时间tA．tB．tc的关系是(　　)
A．va > vb > vc　ta>tb>tc　 B．va < vb < vc　ta＝tb＝tc
C．va < vb < vc　ta>tb>tc D．va>vb>vc　ta解析：由h＝12gt2可得ta>tb>t，又由v＝st得va < vb < vc，选项C正确。
答案：C
5．如图6所示，从倾角为α的足够长的斜面顶端，先后以不同的初速度水平向右抛出相同的两只小球，下列说法正确的是(　　)
A．两小球落到斜面上历时相同
B．两小球落到斜面上的位置相同
C．两小球落到斜面上时速度大小相同
D．两小球落到斜面上时速度方向相同 图6
解析：小球做平抛运动，由两分运动的特点知tanα＝＝，得t＝，因v0不同，则t不同，由vy＝gt、v＝及h＝gt2可知，vy、v及h不同，故A．B．C均错误，而速度与水平方向的夹角θ的正切值tanθ＝＝＝2tanα，知θ为定值，故D正确。
答案：D
6．如图7所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H 处，将球以速度 v 沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上。已知底线到网的距离为 L，重力加速度取 g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是(　　)
A．球的速度 v 等于 L 图7
B．球从击出至落地所用时间为
C．球从击球点至落地点的位移等于 L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
解析：球做平抛运动，从击出至落地所用时间为t＝ ，B项错误；球的速度v＝＝L，A项正确；球从击球点至落地点的位移为，这个位移与球的质量无关，C．D项错误。
答案：A
7．某同学在篮球训练中，以一定的初速度投篮，篮球水平击中篮板，现在他向前走一小段距离，与篮板更近，再次投篮，出手高度和第一次相同，篮球又恰好水平击中篮板上的同一点，则(　　)
A．第二次投篮篮球的初速度大些
B．第二次击中篮板时篮球的速度大些
C．第二次投篮时篮球初速度与水平方向的夹角大些
D．第二次投篮时篮球在空中飞行时间长些
解析：把同学投篮水平击中篮板的过程看成逆向的从击中篮板O点开始的平抛运动，如图所示。


第二次是下边一条抛物线，因此可见第二次投篮时篮球的初速度小些，初速度与水平方向的夹角大些。
答案：C
8．如图8所示，水平地面的上空有一架飞机在进行投弹训练，飞机沿水平方向做匀加速直线运动。当飞机飞经观察点B点正上方A点时投放一颗炸弹，经时间T炸弹落在观察点B正前方L1处的C点，与此同时飞机投放出第二颗炸弹，最终落在距观察点B正前方L2处的D点，且L2＝3L1，空气阻力不计。以下说法正确的有(　　)

图8
A．飞机第一次投弹时的速度为L1/T
B．飞机第二次投弹时的速度为2L1/T
C．飞机水平飞行的加速度为L1/T2
D．两次投弹时间间隔T内飞机飞行距离为L1
解析：由运动学规律可知第一次投弹时的速度v1＝，故A正确。设飞机加速度为a，第二次投弹时的速度为v2，由匀变速运动规律可知：v1T＋aT2＝L2－(v1＋aT)T，而L2＝3L1，得a＝，故C错误。v2＝v1＋aT＝，故B错误。两次投弹间隔T内飞机飞行距离s＝v1·T＋aT2＝，故D错误。
答案：A
9．以速度v0水平抛出一小球后，不计空气阻力，某时刻小球的竖直分位移与水平分位移大小相等，以下判断正确的是(　　)
A．此时小球的竖直分速度大小等于水平分速度大小
B．此时小球速度的方向与位移的方向相同
C．此时小球速度的方向与水平方向成45度角
D．从抛出到此时，小球运动的时间为
解析：平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动：
x＝v0t
竖直方向的自由落体运动：
y＝gt2
vy＝gt
tanα＝
tanθ＝
联立得：tanθ＝2tanα；t＝。
所以vy＝2v0.
答案： D
10．质量m＝4 kg的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O，先用沿＋x轴方向的力F1＝8 N作用了2 s，然后撤去F1；再用沿＋y方向的力F2＝24 N作用了1 s。则质点在这3 s内的轨迹为(　　)

图9
解析：质点在F1的作用下由静止开始从坐标系的原点O沿＋x轴方向加速运动，加速度a1＝＝2 m/s2，速度为v1＝a1t1＝4 m/s，对应位移x1＝v1t1＝4 m，到2 s末撤去F1再受到沿＋y方向的力F2的作用，物体在＋x轴方向匀速运动，x2＝v1t2＝4 m，在＋y方向加速运动，＋y方向的加速度a2＝＝6 m/s2方向向上，速度v2＝a2t2＝6 m/s，对应的位移y＝a2t22＝3 m，物体做曲线运动，A．B．C项错误。
答案：D
11．某电视台娱乐节目，要求选手要从较高的平台上以水平速度v0跃出后，落在水平传送带上，已知平台与传送带高度差H＝1．8 m，水池宽度s0＝1．2 m，传送带AB间的距离L0＝20.85 m，由于传送带足够粗糙，假设人落到传送带上后瞬间相对传送带静止，经过一个Δt＝0.5 s反应时间后，立刻以a＝2 m/s2，方向向右的加速度跑至传送带最右端。

图10
（1）若传送带静止，选手以v0＝3 m/s水平速度从平台跃出，求从开始跃出到跑至传送带右端经历的时间；
（2）若传送带以u＝1 m/s的恒定速度向左运动，选手若要能到达传送带右端，则从高台上跃出的水平速度v1至少多大？
解析：（1）H＝gt12/2　t1＝ ＝0.6 s
x1＝v0t1＝1．8 m
L0－(x1－s0)＝at22/2　t2＝4．5 s
t＝t1＋t2＋Δt＝5．6 s
（2）选手以水平速度v1跃出落到传送带上，先向左匀速运动后向左匀减速运动，刚好不从传送带上掉下时水平速度v1最小。则v1t1－s0＝uΔt＋
v1＝3．25 m/s。
答案：（1）5．6 s　（2）3．25 m/s
12．如图11所示，在距地面2l的高空A处以水平初速度v0＝投掷飞镖，在与A点水平距离为l的水平地面上的B点有一个气球，选择适当时机让气球以速度v0＝匀速上升，在升空过程中被飞镖击中。飞镖在飞行过程中受到的空气阻力不计，在计算过程中可将飞镖和气球视为质点，已知重力加速度为g。试求：
（1）飞镖是以多大的速度击中气球的；
（2）掷飞镖和释放气球两个动作之间的时间间隔Δt。 图11
解析：（1）飞镖被投掷后做平抛运动，从掷出飞镖到击中气球，经过时间t1＝＝ ，此时飞镖在竖直方向上的分速度vy＝gt1＝
故此时飞镖的速度大小v＝＝
（2）飞镖从掷出到击中气球过程中，
下降的高度h1＝gt12＝
气球从被释放到被击中过程中上升的高度h2＝2l－h1＝
气球的上升时间t2＝＝＝
可见，t2>t1，所以应先释放气球。
释放气球与掷飞镖之间的时间间隔
Δt＝t2－t1＝ 。
答案：（1）　（2）