北师大版高中数学必修4全套教案全册（pdf版）
文档属性
| 名称 | 北师大版高中数学必修4全套教案全册（pdf版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-04 10:19:20 | ||
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文档简介
(北师大版 )数学必修 4全套教案
§1 周期现象与周期函数（ 1课时）
教学目标：
知识与技能
（1）了解周期现象在现实中广泛存在； （2）感受周期现象对实
际工作的意义；（3）理解周期函数的概念； （4）能熟练地判断简
单的实际问题的周期； （5）能利用周期函数定义进行简单运用。
过程与方法
通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季
变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就
可以得到周期函数的定义； 根据周期性的定义， 再在实践中加以
应用。
情感态度与价值观
通过本节的学习， 使同学们对周期现象有一个初步的认识， 感受
生活中处处有数学， 从而激发学生的学习积极性， 培养学生学好
数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点
重点 : 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点 : 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具
学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现
象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，
感知周期现象的存在。 并在此基础上学习周期性的定义， 再应用
于实践。
教学用具 :实物、图片、投影仪
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶
我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜
的时间里，潮水会涨落两次， 这种现象就是我们今天要学到的周
期现象。再比如， [取出一个钟表 , 实际操作 ] 我们发现钟表上的
时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题 )
【探究新知】
1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观
察钱塘江潮的图片 （投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，
波浪每隔一段时间会重复出现， 这也是一种周期现象。 请你举出
生活中存在周期现象的例子。 （单摆运动、四季变化等）
（板书：一、我们生活中的周期现象）
2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生
自主学习课本 P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：
①如何理解“散点图”？
②图 1-1 中横坐标和纵坐标分别表示什么？
③如何理解图 1-1 中的“ H/m”和“ t/h ”？
④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？
以上问题都由学生来回答， 教师加以点拨并总结： 周期函数定义
的理解要掌握三个条件，即存在不为 0 的常数 T；x 必须是定义
域内的任意值； f(x ＋T)＝f(x) 。
（板书：二、周期函数的概念）
3． [ 展示投影 ]练习 :
已知函数 f(x) 满足对定义域内的任意 x，均存在非零常数 T，使
得 f(x ＋T)＝ f(x) 。
求 f(x ＋2T) ，f(x ＋3T)
略解： f(x ＋2T)＝ f[(x ＋T)＋T]＝ f(x ＋T)＝f(x)
f(x ＋3T)＝ f[(x ＋2T)＋T]＝ f(x ＋2T)＝f(x)
本题小结，由学生完成，总结出“周期函数的周期有无数个” ，
教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正周期。
(2) 已知函数 f(x) 是 R上的周期为 5的周期函数，且 f(1) ＝2005,
求 f(11)
略解： f(11) ＝ f(6 ＋5)＝f(6) ＝ f(1 ＋5)＝ f(1) ＝2005
(3) 已知奇函数 f(x) 是 R上的函数，且 f(1) ＝2，f(x ＋3)＝ f(x) ，
求 f(8)
略解： f(8) ＝f(2 ＋2×3)＝ f(2) ＝ f( －1＋3)＝f( －1)＝－ f(1)
＝－ 2
【巩固深化，发展思维】
1．请同学们先自主学习课本 P4倒数第五行—— P5倒数第四行，
然后各个学习小组之间展开合作交流。
2．例题讲评
例 1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离 y 是时间 t 的函数
吗？如果是，这个函数
y＝ f(t) 是不是周期函数？
例 2. 图 1-4（见课本）是钟摆的示意图，摆心 A到铅垂线 MN的
距离 y 是时间 t 的函数， y＝g(t) 。根据钟摆的知识，容易说明
g(t ＋T)＝g(t), 其中 T为钟摆摆动一周（往返一次）所需的时间，
函数 y＝g(t) 是周期函数。若以钟摆偏离铅垂线 MN的角θ的度
数为变量，根据物理知识，摆心 A到铅垂线 MN的距离 y 也是θ
的周期函数。
例 3.图 1-5（见课本）是水车的示意图，水车上 A点到水面的距
离 y 是时间 t 的函数。假设水车 5min 转一圈，那么 y 的值每经
过 5min 就会重复出现，因此，该函数是周期函数。
3．小组课堂作业
(1) 课本 P6的思考与交流
(2) ( 回答 ) 今天是星期三那么 7k(k ∈Z)天后的那一天是星期
几?7k(k ∈Z)天前的那一天是星期几 ?100 天后的那一天是星期
几?
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的
主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业
1．作业：习题 1.1 第 1,2,3 题．
2．多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的
特点．
七、课后反思
§2 角的概念的推广（ 1课时）
教学目标：
知识与技能
（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）
理解象限角、坐标轴上的角的概念； （3）理解任意角的概念，掌
握所有与 角终边相同的角（包括 角）的表示方法；（4）能表
示特殊位置（或给定区域内）的角的集合； （5）能进行简单的角
的集合之间运算。
过程与方法
类比初中所学的角的概念， 以前所学角的概念是从静止的观点阐
述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、
负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的
概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非
象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画
出终边所在的位置， 归纳总结出它们的关系， 探索具有相同终边
的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习， 使同学们对角的概念有了一个新的认识； 树立
运动变化观点， 学会运用运动变化的观点认识事物； 揭示知识背
景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的
学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的
追求。
二、教学重、难点
重点 : 理解正角、 负角和零角和象限角的定义， 掌握终边相同角
的表示法及判断。
难点 : 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教学用具
在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆
和类比初中所学角的概念 ,把角的概念进行了推广；角是一个平
面图形，把角放入平面直角坐标系中以后 , 了解象限角的概念；
通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法； 我们在学习这部
分内容时 ,首先要弄清楚角的表示符号 ,以及正负角的表示， 另外
还有相同终边角的集合的表示等。
教学用具 :多媒体、三角板、圆规
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺
时针方向旋转会越拧越紧。 但不知同学们有没有注意到， 在这两
个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几
个同学畅谈一下，教师控制好时间， 2-3 分钟为宜。
这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。
初中我们已给角下了定义， 先请一个同学回忆一下当时是怎么定
义的？
我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角” ，这是从静
止的观点阐述的。
【探究新知】
如果我们从运动的观点来看， 角可以看成平面内一条射线绕着端
点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 (先后用教具圆规
和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，
转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备 )
正角、负角、零角的概念 (打开课件第一版，演示正角、负角、
零角的形成过程 )．
我们规定：(板书 )按逆时针方向旋转形成的角叫做正角， 如图（见
课件）。一条射线由原来的位置 OA，绕着它的端点 O按逆时针方
向旋转到终止位置 OB，就形成角 . 旋转开始时的射线 OA叫做角
的始边， OB叫终边，射线的端点 O叫做叫 的顶点 .按顺时针方
向旋转形成的角叫做负角； 如果一条射线没有作任何旋转， 我们
认为这时它也形成了一个角， 并把这个角叫做零角， 如果α是零
角，那么 α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是
负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下， “角α”或“∠
α”可以记成“ α”。
过去我们研究了 0°～ 360°范围的角．如图（见课件）中的角
α就是一个 0°～ 360°范围内的角 (α＝30°)．如果我们将角
α的终边 OB继续按逆时针方向旋转一周、两周??而形成的角
是多少度 ?是不是仍为 30°的角 ?(用多媒体演示这一旋转过程，
让学生思考；为终边相同角概念做准备 )．将终边 OB旋转一周、
两周??，分别得到 390°， 750°??的角．如果将 OB继续旋
转下去，便可得到任意大小的正角。同样地，如果将 OB按顺时
针方向旋转，也可得到任意大小的负角 (通过课件，动态演示这
一无限旋转过程 )．这就是说，角度并不局限于 0°～ 360°的范
围，它可以为任意大小的角 (与数轴进行比较 )． (打开课件第三
版)．如图 (1) 中的角为正角，它等于 750°； (2) 中，正角 α＝
210°，负角 β＝— 150°，γ＝－ 660°．在生活中，我们也经
常会遇到不在 0°～ 360°范围的角，如在体操中，有“转体
720°” (即“转体 2 周” )，“转体 1080°” (即“转体 3 周” )
这样的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转而形成的角．
角的概念经过这样的推广以后，就包括正角、负角和零角．
2．象限角、坐标轴上的角的概念．
由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论
角，(板书 )我们使角的顶点与原点重合， 角的始边与 x 轴的非负
半轴 (包括原点 )重合，那么角的终边 (除端点外 )在第几象限， 我
们就说这个角是第几象限角． (打开课件第四版 )例如图 (1) 中的
30°、 390°、－ 330°角都是第一象限角，图 (2) 中的 300°、
－60°角都是第四象限角； 585°角是第三象限角．
(板书 )如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象
限．
3．终边相同的表示方法．
(返回课件第二版，在图 (1)1(2) 中分别以 O为原点，直线 0A为
x轴建立直角坐标系，重新演示前面的旋转过程 )在图 (1) 中，如
果将终边 OB按逆时针方向旋转一圈、 两圈??，分别得到 390°，
750°??的角，这些角的终边与 30°角的终边相同，只是转过
的圈数不同，它们可以用 30°角来表示，如 390°＝ 30°十
360°，750°＝ 30°十 2×360°，??在图 (2) 中，如果将终边
OB按顺时针方向旋转一圈、两圈??分别得到－ 330°，－
690°??的角，这些角的终边与 30°角终边也相同，也只是转
过的圈数不同，它们也都可以用 30°的角来表示，如－ 330°＝
30°－ 360°，－ 690°＝ 30°— 2×360°，??
由此可以发现， 上面旋转所得到的所有的角 (记为β)，都可以表
示成一个 0°到 360°的角与 k(k ∈Z)个周角的和，即：β＝30°
十 k·360°(k ∈Z)．如果我们把 β的集合记为 S，那么 S＝{β |
β＝30°十 k·360°， k ∈Z}．容易看出：所有与 30°角终边
相同的角，连同 30°角 (k＝0)在内，都是集合 S 的元素；反过
来，集合 S的任一元素显然与 30°角终边相同。
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例 1.判断下列各角是第几象限角 .
(1) —60°； (2)585 °； (3) —950°12’．
解： (1) ∵— 60°角终边在第四象限，∴它是第四象限角； (2)
∵585°＝ 360°十 225°，∴585°与 225°终边相同，又∵ 225°
终边在第三象限，∴ 585°是第三象限角； (3) ∵ —950°12’＝
－230°12’—2×360°，又∵－ 230°12’终边在第二象限，∴
—950°12’是第二象限角 .
例 2．在直角坐标系中，写出终边在 y轴上的角的集合（α用 0°～
360°的角表示） .
解：在 0°～ 360°范围内，终边在 y 轴上的角有两个，即 90°
与 270°角，因此，所有与 90°角终边相同的角构成集合 S1＝{β
|β＝90°＋k·360°， k∈Z}；所有与 270°角终边相同的角构
成集合 S2＝ {β| β＝270°＋k·360°，k∈Z}；所以，终边在 y
轴上的角的集合 S＝S1∪S2＝{β| β＝90°＋ k·360°， k∈Z}
∪{β |β＝270°＋ k·360°， k∈Z}.
例 3．写出与 60°角终边相同的角的集合 S，并把 S中适合不等
式－ 360°≤β＜270°的元素 β写出来 .
解： S＝ {β |β＝60°＋ k·360°， k∈Z}，S 中适合－ 360°≤
β＜270°的元素是：
60°－ 1×360°＝－ 300°， 60°＋ 0×360°＝ 60°， 60°＋ 1
×360°＝ 420° .
2．学生课堂练习
参考练习 ( 通过多媒体给题 )。
(1) ( 口答 )锐角是第几象限角 ?第一象限角一定是锐角吗 ?再分
别就直角、钝角来回答这两个问题 .
(2) 与— 496°终边相同的角是 ，它是第 象限的
角，它们中最小正角是 ，最大负角是 。
(3) 时针经过 3 小时 20分，则时针转过的角度为 ，分针
转过的角度为 。
(4) 若α、β的终边关于 x 轴对称，则 α与β的关系是 ；
若α与β的终边关于 y
轴对称，则 α与β的关系是 ；若α、β的终边关于原点对
称，则 α与β的关系是 ；若角α是第二象限角，则 180°—
α是第 象限角。
[答案 ](1) 是，不一定 .
(2) —496°十 k·360°(k ∈Z)，三， 240°，— 136°.
(3) —100°，— 1200°．
(4) α十β＝k·360° (k ∈Z)；α十β＝180°十 k·360。(k∈
Z)；
α一β＝180°十 k·360°(k∈Z)；一 .
五、归纳整理，整体认识
请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？你知道角是如何
推广的吗 ?
象限角是如何定义的呢 ? 你熟练掌握具有相同终边角的表示了
吗?
（3）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（4）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业 : 习题 1.2 第 2,3 题．
七、课后反思
§3 弧度制（ 1课时）
教学目标：
知识与技能
（1）理解 1 弧度的角及弧度的定义； （2）掌握角度与弧度的换
算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算； （4）理解角的集合与
实数集 R之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长
公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
过程与方法
通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念； 比较两种度量角的方法
探究角度制与弧度制之间的互化； 应用在特殊角的角度制与弧度
制的互化，帮助学生理解掌握； 以针对性的例题和习题使学生掌
握弧长公式和扇形的面积公式； 通过自主学习和合作学习， 树立
学生正确的学习态度。
情感态度与价值观
通过弧度制的学习， 使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制
度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制
下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度
制与十进制之间的互化， 化简了六十进制给角的加、 减运算带来
的诸多不便， 体现了弧度制的简捷美； 通过弧度制与角度制的比
较，使学生认识到引入弧度制的优越性， 激发学生的学习兴趣和
求知欲望，养成良好的学习品质。
二、教学重、难点
重点 : 理解弧度制的意义， 正确进行弧度与角度的换算； 弧长和
面积公式及应用。
难点 : 弧度的概念及与角度的关系； 角的集合与实数之间的一一
对应关系。
三、学法与教学用具
在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运
用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一
样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主
学习的形式， 让学生感受弧度制的优越性， 在类比中理解掌握弧
度制。
教学用具 :多媒体、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中几何里我们学过角的度量， 当时是用度做单位来度量
角的．我们把周角的 360
1
规定为 1 度的角，而把这种用度作单位
来度量角的单位制叫做角度制． 但在数学和其他科学中我们还经
常用到另一种度量角的单位制——弧度制。 下面我们就来学习弧
度制的有关概念． (板书课题 )弧度制的单位是 rad，读作弧度．
【探究新知】
1．1弧度的角的定义．
(板书 )我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角， 叫做 1 弧度的
角(打开课件 )．如图 1—14(见教材 )，弧 AB的长等于半径 r，则
弧 AB所对的圆心角就是 1弧度的角，弧度的单位记作 rad。
在图 1（课件）中，圆心角∠ AOC所对的弧长 l＝2r，那么∠ AOC
的弧度数就是 2rad；圆心角∠ AOD所对的弧长 l ＝ 2
1
r，那么∠ AOC
的弧度数就是 2
1
rad；圆心角∠ AOE所对的弧长为 l ，那么∠ AOE
的弧度数是多少呢？学生思考并交流， 此我们可以得到弧度制的
定义．
2 ．弧度制的定义：
一般地， (板书 )正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是
一个负数，零角的弧度数
是 o；角α的弧度数的绝对值 |α |＝ r
l
，其中 l 是以角 α作为圆
心角时所对弧的长， r 是圆
的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．
在弧度制的定义中， 我们是用弧长与其半径的比值来反映弧
所对的圆心角的大小的． 为什么可以用这个比值来度量角的大小
呢?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系 ?请同学们自主
学习课本 P12—P13，从课本中我们可以看出，这个比值与所取
的半径大小无关， 只与角的大小有关。 有兴趣的同学们可以对它
进行理论上的证明：
( 论证 )如图 1—13（见教材），设∠ α为 n°(n°＞ 0)的角，
圆弧 AB和 AlBl 的长分别为 l 和 l1，点 A和 Al 到点 O的距离 (即
圆的半径 )分别为 r(r ＞0)和 rl(rl ＞0)，由初中所学的弧长公式
有 l ＝ 180
n
r， l1 ＝ 180
n
r1，所以 r
l
＝ 1
1
r
l
＝ 180
n
，这表明以角 α为圆
心角所对的弧长与其半径的比值， 与所取的半径大小无关， 只与
角α的大小有关．
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同 (都
是 0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也
不同．但它们既然是表示同一个角， 那这二者之间就应该可以进
行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算．
3 ．角度制与弧度制的换算．
现在我们知道： 1个周角＝ 360°＝ r
2
r，所以，(板书 )360°
＝2πrad，由此可以得到 180°＝πrad，1°＝ 180≈0．01745rad，
1rad＝（
180
）°≈ 57.30°＝ 57°18’。
说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住 180°＝πrad
这一关系式．
今后我们用弧度制表示角时， “弧度”二字或“ rad”通常略去不
写，而只写这个角所对应的弧度数． 例如，角α＝2就表示是 2rad
的角，sin 3就表示 3 rad 的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”
或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度
数写成多少 π的形式，如无特别要求，不必把 π写成小数，如
45°＝ 4 rad ，不必写成 45°＝ 0．785弧度．
前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法， 而角度制与
弧度制可以相互转化，所以与角 α终边相同的角 (连同角 α在
内)，也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用
的单位制必须一致．
角的概念推广后， 无论用角度制还是用弧度制， 都能在角的集合
与实数集 R之间建立一种一一对应的关系： 每一个角都有唯一的
一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一
个实数也都有唯一的一个角与它对应， 就是弧度数或度数等于这
个实数的角。
【巩固深化，发展思维】
1 ．例题讲评
例 1．把 45°化成弧度。
解： 45°＝ 180×45rad＝ 4 rad.
例 2．把 5
3
rad 化成度。
解： 5
3
rad＝ 5
3
×180°＝ 108°.
例 3．利用弧度制证明扇形面积公式 S＝ 2
1
lr ，其中 l 是扇形的
弧长， r 是圆的半径。
证：∵圆心角为 1 的扇形的面积为 2
1
·πr2，又∵弧长为 l 的
扇形的圆心角的大小为 r
l
，∴扇形的面积 S＝ r
l
·2
1
·π r2＝ 2
1
lr.
2．学生课堂练习
（1）填表
度 0° 45° 60°
180
°
360
°
弧
度 6 2 2
3
说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去
进行换算．
（2）用弧度制写出终边落在 y 轴上和 x轴上的角集合。
五、归纳整理，整体认识
（1）主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊
角的弧度数。
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业：习题 1—3中的 1、2、6.
七、课后反思
§4.1 锐角的正弦函数§ 4.2 任意角的正弦函数§ 4.3 正弦函数
y＝sinx 的图像（ 2课时）
教学目标：
知识与技能
（1）回忆锐角的正弦函数定义； （2）熟练运用锐角正弦函数的
性质；（3）理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义； （4）
掌握任意角的正弦函数的定义； （5）理解有向线段的概念； （6）
了解正弦函数图像的画法； （7）掌握五点作图法，并会用此方法
画出 [0，2π] 上的正弦曲线。
过程与方法
初中所学的正弦函数， 是通过直角三角形中给出定义的； 由于我
们已将角推广到任意角的情况， 而且一般都是把角放在平面直角
坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，
从而引出单位圆； 利用单位圆的独特性， 是高中数学中的一种重
要方法，在第二节课的正弦函数图像， 以及在后面的正弦函数的
性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认
识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中， 体
会特殊与一般的关系， 形成一种辩证统一的思想； 通过单位圆的
学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生
分析问题、解决问题的能力。
二、教学重、难点
重点 : 1. 任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。
2. 正弦函数图像的画法。
难点 : 1. 正弦函数值的几何表示。
2. 利用正弦线画出 y＝sinx ，x∈ [0， 2 π]的图像。
三、学法与教学用具
在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个
角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时， 角的终边与单位圆交
于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函
数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数 y＝sinx 图像
时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再
归结为五点作图法。
教学用具 :投影机、三角板
第一课时 §4.1 锐角的正弦函数 §4.2 任意角的正
弦函数
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
我们学习角的概念的推广和弧度制， 就是为了学习三角函数。 请
同学们回忆（ 1）角的概念的推广及弧度制、象限角等概念； （2）
初中所学的正弦函数是如何定义的？并想一想它有哪些性质？
A
学生思考回答以后，教师小结。 （板书课题）
【探究新知】
在初中，我们学习了锐角 α的正弦函数值： sin α＝斜边
对边
，
如图：sinA＝ c
a
，由于 a 是直角边， c 是斜边，所 sinA∈(0，1)。
由于我们通常都是将
角 放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？
在直角坐标系中，（如图所示），设角α（α∈（0，
2））
的终边与半经为 r 的圆交于点 P（a，b），则角α的正弦值是：
sin α＝ r
b
.根据相似三角形的知识可知，对于确定的角 α， r
b
都
不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见，令 r＝1(即为单位
圆)，那么 sin α＝b，也就是说，若角 α的终边与单位圆相交于
P，则点 P的纵坐标 b就是角 α的正弦函数。
直角三角形显然不能包含所有的角， 那么，我们可以仿照锐
角正弦函数的定义．你认为该如何定义任意角的正弦函数 ?
一般地，在直角坐标系中（如上图） ，对任意角 α，它的终边与
单位圆交于点 P（a，b），我们可以唯一确定点 P（a，b）的纵坐
标 b，所以 P点的纵坐标 b是角α的函数，称为正弦函数，记作
y＝sin α (α∈R)。通常我们用 x，y 分别表示自变量与因变量，
B C a
b
c
y
P(a， b)
O
r
M
x
将正弦函数表示为 y＝sinx.
正弦函数值有时也叫正弦值 .
请同学们画图， 并利用正弦函数的定义比较说明： 3角与 3
7
角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系？它们的正弦值
有什么关系？ 3角和 3
8
角呢？－ 3角和 3
5
角呢？－ 3
2
角和－
3
14
角呢？
通过上述问题的讨论， 容易得到： 终边相同的角的正弦函数值相
等，即
sin(2k π＋α)＝sin α (k ∈Z)，说明对于任意一个角 α，每增
加 2π的整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的
变化而周期性变化的， 正弦函数是周期函数， 2kπ（k∈Z，k≠0）
为正弦函数的周期。
2π是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。一般
地，对于周期函数 f(x) ，如果它所有的周期中存在一个最小的
正数，那么这个最小的正数就叫作 f(x) 的最小正周期。
【巩固深化，发展思维】
课本 P17的思考与交流。
课本 P18的练习。
3．若点 P(—3，y)是α终边上一点，且 sin α＝— 3
2
，求 y 值．
4．若角α的顶点为坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边在
函数 y＝— 3x (x ≤0)
的图像上，则 sin α＝ 。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的
主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 §4.3 正弦函数 y＝sinx 的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活
中，有许多地方用到三角函数。今天我们来学正弦函数 y＝sinx
的图像的做法。在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，
最小正周期是 2π，所以，关键就在于画出 [0，2π ]上的正弦函
数的图像。
请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？
作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。
【探究新知】
正弦函数线 MP
下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示，
角α的终边与单位圆交于点 P（x，y），提出问题
①线段 MP的长度可以用什么来表示 ?
②能用这个长度表示正弦函数的值吗 ?如果不能，你能否设计
一种方法加以解决 ?引出有向线段的概念．
有向线段：当 α的终边不在坐标轴上时，可以把 MP看作是带方
向的线段，
y＞0 时，把 MP看作与 y 轴同向 (多媒体优势，利用计算机演示
角α终边在
一、二象限时 MP从 M到 P点的运动过程．让学生看清后定位，
α的终边
P
M O x
y
运动的方向表明与 y 轴同向 )．
y＜0 时，把 MP看作与 y 轴反向 (演示角 α终边在三、四象限时
MP从 M到 P点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表
明与 y 轴反向 )．
师生归纳：① MP是带有方向的线段，这样的线段叫有向线
段．MP是从 M→P，而 PM则是从 P→M。②不论哪种情况，都有
MP＝y．③依正弦定义，有 sin α＝MP＝y，我们把 MP叫做α的
正弦线．
(投影仪出示反馈练习 ) 当α为特殊角，即终边在坐标轴上时，
找出其正弦线。演示运动过程，让学生清楚认识到：当 α终边在
x轴上时，正弦线变为一个点，即 sin α＝0。
2．作图的步骤
边作边讲（几何画法） y=sinx x [0,2 ]
作单位圆，把⊙ O十二等分（当然分得越细，图像越精确）
十二等分后得对应于 0, 6 , 3 , 2 ,?2 等角，并作出相应的正弦
线，
将 x 轴上从 0到 2 一段分成 12等份 (2 ≈6.28) ，若变动比例，
今后图像将相应“变形”
取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合
描图（连接）得 y=sinx x [0,2 ]
（ 6）由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x [2k ，
2(k+1) ] （k Z，k 0）
与函数 y=sinx x [0,2 ]图像相同，只是位置不同——每次向
左（右）平移 2 单位长。
可以得到 y＝sinx 在 R上的图像
五点作图法：
由上图我们不难发现，在函数 y=sinx ，x [0,2 ] 的图像上，起
着关键作用的有以下五个关键点： (0,0) ( 2 ,1) ( ,0)
( 2
3
,-1) (2 ,0) 。描出这五个点后，函数 y=sinx ，x [0,2 ]
的图像的形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，
我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起
来，就得到这个函数的简图。 我们称这种画正弦曲线的方法为 “五
点法”。
【巩固深化，发展思维】
1 ．例题讲评
例 1．用“五点法”画出下列函数在区间 [0，2π]上的简图。
（1）y＝－ sinx （2）y＝1＋sinx
x
yo
-
2
-
3
-
4
1
解：（1）列表
x 0
2 π 2
3 2π
y ＝ －
sinx
0 1 0 －1 0
描点得 y＝－ sinx 的图像：（略，见教材 P22）
2 ．学生练习
教材 P22
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的
主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业
作业：习题 1—4 第 1,2 题．
四、课后反思
§4.4 正弦函数的性质（ 2 课时）
教学目标：
知识与技能
（1）进一步熟悉单位圆中的正弦线； （2）理解正弦诱导公式的
推导过程；（3）掌握正弦诱导公式的运用； （4）能了解诱导公式
之间的关系，能相互推导； （5）理解并掌握正弦函数的定义域、
值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性； （6）能熟练运
用正弦函数的性质解题。
过程与方法
通过正弦线表示 α , －α , π－α , π＋α ,2π－α , 从而体会各
正弦线之间的关系； 或从正弦函数的图像中找出 α ,－α ,π－α ,
π＋α,2 π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式； 通过正
弦函数在 R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质； 讲解例题，
总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体
验自身探索成功的喜悦感， 培养学生的自信心； 使学生认识到转
化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科
学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点 : 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。
难点 : 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。
三、学法与教学用具
在上一节课的基础上， 运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角
的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式； 通过例题和练习
掌握诱导公式在解题中的作用； 在正弦函数的图像中， 直观判断
出正弦函数的性质， 并能上升到理性认识； 理解掌握正弦函数的
性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。
教学用具 :投影机、三角板
第一课时 正弦函数诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一节课中， 我们已经学习了任意角的正弦函数定义， 以及终
边相同的角的正弦函数值也相等，即 sin(2k π＋α )＝sin α (k
∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求 0°～
360°的角的正弦函数值。如果还能把 0°～ 360°间的角转化为
锐角的正弦函数， 那么任意角的正弦函数就可以查表求出。 这就
是我们这一节课要解决的问题。
【探究新知】
复习：（公式 1）sin(360 k+ ) = sin
对于任一 0 到 360 的角，有四种可能（其中 为不大于 90 的非
负角）
为第四象限角），当
为第三象限角），当
为第二象限角），当
为第一象限角，当
360270360
270180180
18090180
)900
（以下设 为任意角）
公式 2：
设 的终边与单位圆交于点 P(x,y) ，则 180 + 终边与单位圆交
于点 P’(-x,-y) ，由正弦线可知： sin(180 + ) = sin
4．公式 3：
如图：在单位圆中作出 α与－α角的终边，同样可得：
sin( ) = sin ,
公式 4：由公式 2和公式 3 可得：
sin(180 ) = sin[180 +( )] = sin( ) = sin ,
同理可得： sin(180 ) = sin ,
6．公式 5：sin(360 ) = sin
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
求下列函数值
（1）sin( －1650 )； （2）sin( －150 15’)； (3)sin( － 4
7
π)
x
y
o
P’(x,-y)
P(x,y)
M
x
y
o
P (x,y)
P
，
(-x,-y)
解：（1）sin( －1650 )＝－ sin1650 ＝－ sin(4 ×360 ＋210 )
＝－ sin210 ＝－sin(180 ＋30 )＝sin30 ＝ 2
1
(2) sin( －150 15’ )＝－ sin150 15’＝－ sin(180 －
29 45’)＝－sin29 45’＝－ 0.4962
(3) sin( － 4
7
π)＝sin( －2π＋ 4 )＝sin 4＝ 2
2
例 2．化简： sin3sinsin
3sin2sin
解：（略，见教材 P24）
学生练习
教材 P24练习 1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的
主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 正弦函数的性质
教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们，我们在数学一中已经学过函数， 并掌握了讨论一个函数
性质的几个角度， 你还记得有哪些吗？在上一次课中， 我们已经
学习了正弦函数的 y＝sinx 在 R上图像，下面请同学们根据图像
一起讨论一下它具有哪些性质？
【探究新知】
让学生一边看投影， 一边仔细观察正弦曲线的图像， 并思考以下
几个问题：
正弦函数的定义域是什么？
正弦函数的值域是什么？
它的最值情况如何？
它的正负值区间如何分？
?(x) ＝0的解集是多少？
师生一起归纳得出：
定义域： y=sinx 的定义域为 R
值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论： |sinx| ≤1（有
界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以 y＝sinx 的值
域为 [-1 ，1]
3．最值： 1 对于 y＝sinx 当且仅当 x＝2k ＋ 2 ,k Z时 ymax
＝1
当且仅当时 x＝2k － 2 , k Z时 ymin ＝－ 1
2 当 2k ＜x＜(2k+1) (k Z)时 y ＝sinx ＞0
当(2k-1) ＜x＜2k (k Z)时 y ＝sinx ＜0
4．周期性：（观察图象） 1 正弦函数的图象是有规律不断重复
出现的；
2 规律是：每隔 2 重复出现一次（或者说每隔 2k ,k Z重复出
现）
3 这个规律由诱导公式 sin(2k ＋x) ＝sinx 也可以说明
结论： y＝sinx 的最小正周期为 2
5.奇偶性
sin( －x) ＝－ sinx (x ∈R) y ＝sinx (x
∈R)是奇函数
6．单调性
增区间为 [－ 2＋2kπ， 2＋2kπ ]（k∈Z），其值从－ 1增至 1；
减区间为 [ 2＋2kπ， 2
3
＋2kπ ]（k∈Z），其值从 1减至－ 1。
x
－ 2
? 0 ?
2
? π ?
2
3
sin
x
－1 0 1 0 －1
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例 1．利用五点法画出函数 y＝sinx －1 的简图，根据函数图像
和解析式讨论它的性质。
解：（略，见教材 P26）
2．课堂练习
教材 P27的练习 1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有哪些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：习题 1—4第 3、4、5、6、7题．
四、课后反思
§5 余弦函数（ 2课时）
教学目标：
知识与技能
（1）了解任意角的余弦函数概念； （2）理解余弦函数的几何意
义；（3）掌握余弦函数的诱导公式； （4）能利用五点作图法作出
余弦函数在 [0 ，2π ]上的图像；（5）熟练根据余弦函数的图像推
导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）
掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
过程与方法
类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定
义的基础上， 将三角函数定义推广到更加一般的情况； 让学生通
过类比，联系正弦函数的诱导公式， 自主探究出余弦函数的诱导
公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并
能结合图像分析得到余弦函数的性质。
情感态度与价值观
使同学们对余弦函数的概念有更深的体会； 会用联系的观点看问
题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分
析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，
培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有
效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精
神。
二、教学重、难点
重点 :余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。
难点 : 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。
三、学法与教学用具
我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中， 以函数定义的
形式给出来的， 从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况； 现
在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；
同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公
式。用五点作图的方法作出 y＝cosx 在 [0，2π ]上的图像，并由
图像直观得到其性质。
教学用具 :投影机、三角板
第一课时 余弦函数的概念和诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数， sin α
＝ 斜边
邻边
。同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可
以得到余弦函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本 P30—P31.
【探究新知】
1．余弦函数的定义
在直角坐标系中，设任意角 α与单位圆交于点 P（a，b） ,
那么点 P的横坐标 a 叫做角 α余弦函数，记作： a＝cosα (α∈
R).
通常我们用 x，y 分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示
为 y＝cosx(x ∈R).
如图，有向线段 OM称为角α的余弦线。
其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角 α
的终边上任意一点 P的坐标（ a，b），求出 |OP|，记为 r，则
角α的正弦和余弦分别为： sin α＝ r
b
，cosα＝ r
a
.
在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。
2．余弦函数的诱导公式
从右图不难看出，角 α和角 2π＋α，2π－α，（－α）的终边
O
r
x
y
P(a，b)
M
π－α α
与单位圆的交点的横坐标是相同的， 所以，它们的余弦函数值相
等；
角α和角π＋α，π－α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反
数，
所以，它们的余弦函数值互为相反数。
由此归纳出公式：
cos(2 π＋α)＝cosα
cos( －α) ＝ cos α
cos(2 π－α) ＝cosα
cos( π＋α) ＝－ cosα
cos( π－α) ＝－ cosα
请同学们观察右图，角 α与角 2＋α的正弦、余弦函数值有
什么关
系？由图可知， Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点 P 的横坐标 cosα与
点 P’的纵坐标 sin( 2＋α )
相等；点 P的纵坐标 sin α与点 P’的横坐标 cos( 2＋α )互为相
反数。我们可以得到：
sin( 2＋α)＝cosα cos( 2＋α)＝－ sin α
问题与思考：验证公式 sin( 2＋α)＝cosα
π＋α
－α
x
y
o
P’
P(x,y)
M M’
cos( 2＋α)＝－ sin α
以上公式统称为诱导公式， 其中α可以是任意角。利用诱导公式，
可以将任意角的正、 余弦函数问题转化为锐角的正、 余弦函数问
题。
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例 1．已知角 α的终边经过点 P（2，－ 4）(如图 )，求角α的余
弦
函数值。
解：∵ x＝2，y＝－ 4 ， ∴ r ＝ |OP|＝2 5
∴cosα＝ r
x
＝ 5
5
例 2．如果将例 1中点 P的坐标改为（ 2t，－ 4t）(t ≠0)，那么
怎样求角 α的余弦函数值。
解：(提示：在 r＝ |OP|＝2 5 |t| 中，分 t＜0 和 t＞0两种情况，
见教材 P31)
例 3．求值：
（1）cos 6
11
（2）cos 8
9
（3）cos( － 4
3
)
（4）cos( －1650°) （5）cos( －150°15’ )
解：（1）cos 6
11
＝cos（2π－ 6）＝ cos 6＝ 2
3
2
y
－ 4
P
x
（2）cos 8
9
＝cos（π＋ 8）＝－ cos 8≈－ 0.9239
(3) 、（4）、（5）略，见教材 P33
例 4．化简： cos3coscos
3cos2cos
解：（略，见教材 P33）
学生练习
教材 P31的练习 1、2、3 和 P34 的练习 1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 余弦函数的图像与性质
教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一次课中， 我们知道正弦函数 y＝sinx 的图像，是通过等分
单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用
五点作图法得到。 那么，对于余弦函数 y＝cosx 的图像是不是也
是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？
【探究新知】
1．余弦函数 y＝cosx 的图像
由诱导公式有：
与正弦函数关系 ∵ y＝cosx＝ cos( － x) ＝sin[ 2 － (－x)] ＝
sin(x ＋ 2 )
结论：（1）y＝cosx, x R与函数 y＝sin(x ＋ 2 ) x R的图象
相同
（2）将 y＝sinx 的图象向左平移 2即得 y＝cosx 的图象
（3）也同样可用五点法作图： y＝cosx x [0,2 ]的五个点关
键是 (0,1) ( 2 ,0) ( ,-1) ( 2
3
,0) (2 ,1)
y
x o 1 -
1
2
2
3
2
2
y
x
1 －1
（ 4） 类 似地 ， 由于 终 边 相 同的 三 角 函数 性 质 y＝ cosx
x [2k ,2(k+1) ] k Z,k 0 的图像与 y ＝cosx x [0,2 ] 图
像形状相同只是位置不同（向左右每次平移 2π个单位长度）
2．余弦函数 y＝cosx 的性质
观察上图可以得到余弦函数 y＝cosx 有以下性质：
（1）定义域： y=cosx 的定义域为 R
（2）值域： y=cosx 的值域为 [－1,1] ，即有 |cosx| ≤1（有界
性）
(3) 最值：1 对于 y＝cosx 当且仅当 x＝2k ,k Z时 ymax＝
1
当且仅当时 x＝2k ＋π, k Z时 ymin ＝－ 1
2 当 2k - 20
当 2k + 23
(k Z)时 y=cosx<0
(4) 周期性： y＝cosx 的最小正周期为 2
(5) 奇偶性
cos( －x) ＝cosx (x ∈R) y ＝cosx (x ∈
x 6y o - -
1
2 3 4 5-
2
-
3
-
4
1
x
y
R)是偶函数
(6) 单调性
增区间为 [（2k－1）π， 2k π] （k∈Z），其值从－ 1增至 1；
减区间为 [2k π，（2k＋1）π ]（k∈Z），其值从 1减至－ 1。
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例 1．请画出函数 y＝cosx －1 的简图，并根据图像讨论函数
的性质。
解：（略，见教材 P36）
2．课堂练习
教材 P37的练习 1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业： P38的习题 8、9、10、11
四、课后反思
§6 正切函数（ 2课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）了解任意角的正切函数概念； （2）理解正切函数中的自变
量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切
线画出正切函数的图像； （5）熟练根据正切函数的图像推导出正
切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质； （7）掌
握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
过程与方法
类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，
比较三个三角函数之间的关系； 让学生通过类比， 联系正弦函数
图像的作法， 通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像； 能
学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的
性质。
情感态度与价值观
使同学们对正切函数的概念有一定的体会； 会用联系的观点看问
题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分
析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，
培养学生的自信心； 培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不
舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点 : 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点 : 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题
三、学法与教学用具
我们已经知道正、 余弦函数的概念是通过在单位圆中， 以函数定
义的形式给出来的， 从而把锐角的正、 余弦函数推广到任意角的
情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切
函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正
切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图
像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
教学用具 :投影机、三角板
第一课时 正切函数的定义、图像及性质
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
常见的三角函数还有正切函数， 在前两次课中， 我们学习了任意
角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。今
天我们类比正弦、 余弦函数的学习方法， 在直角坐标系内学习任
意角的正切函数，请同学们先自主学习课本 P40。
【探究新知】
正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角 α满足：α∈R，α≠ 2＋kπ(k∈Z)，
那么，角 α的终边与单位圆交于点 P（a，b），唯一确定比值 a
b
.
根据函数定义，比值 a
b
是角α的函数，我们把它叫作角 α的正切
函数，记作 y＝tanα，其中α∈R，α≠ 2＋kπ，k∈Z.
比较正、余弦和正切的定义，不难看出： tanα＝ cos
sin
( α∈R，
α≠ 2＋kπ，k∈Z).
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数
值的函数，我们统称为三角函数。
下面，我们给出正切函数值的一种几何表示 .
如右图，单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A（1 ,0 ），任意角 α
的终边与单位圆交于点 P，过点 A（1 ,0 ）作 x 轴的垂线，与角
的终边或终边的延长线相交于 T点。从图中可以看出：
当角α位于第一和第三象限时， T点位于 x 轴的上方；
当角α位于第二和第四象限时， T点位于 x 轴的下方。
分析可以得知，不论角 α的终边在第几象限，都可以构造两
个相似三角形，使得角 α的正切值与有向线段 AT的值相等。因
此，
我们称有向线段 AT为角α的正切线。
2．正切函数的图象
（1）首先考虑定义域：
zkkx
2
x
y
o
T
A
210
30
P
（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：
zkkxRxx
x
x
x
xx ,
2
,tan
cos
sin
cos
sintan 且
∴
zkkxRxxy ,
2
,tan 且
的周期为 T （最小正
周期）
（3）因此我们可选择 2
,
2 的区间作出它的图象。
根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函
数 Rxxy tan ，且
zkkx
2 的图像，称“正切曲线”
x
y
2 2
O
从上图可以看出， 正切曲线是由被相互平行的直线 x＝ 2＋kπ(k
∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的， 这些直线叫作正切曲线各支的
渐近线。
3．正切函数 y＝ tanx 的性质
引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：
zkkxx ,
2
|
，
（2）值域： R
观察：当 x从小于
zkk
2 ， 2
kx
时， xtan
2
3
2 2 2
30
y
x
当 x 从 大 于
zkk
2 ，
kx
2 时 ，
xtan 。
（3）周期性： T
（4）奇偶性： xx tantan 奇函数。
（5）单调性：在开区间
zkkk
2
,
2 内，函数单调递增。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 正切函数的诱导公式及例题讲评
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再
学图像与性质的。 在学正切函数时， 我们为什么要先学图像与性
质，再学诱导公式呢？
【探究新知】
观察下图，角 α与角 2π＋α，2π－α，π＋α，π－α，
－α的正切函数值有何关系？
我们可以归纳出以下公式： π－α，
tan(2 π＋α )＝tanα
tan( －α )＝－ tanα
tan(2 π－α )＝－ tanα
tan( π－α)＝－ tanα
tan( π＋α)＝ tanα
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例 1．若 tanα＝ 3
2
，借助三角函数定义求角 α的正弦函数值和
2
3
2 2 2
30
y
x
余弦函数值。
解：∵ tanα＝ 3
2
＞0，∴α是第一象限或第三象限的角
（1）如果α是第一象限的角，则由 tanα＝ 3
2
可知，角α终边上
必有一点 P（3，2） .
所以 x＝3，y＝2. ∵ r＝ |OP|＝ 13 ∴sin α＝ r
y
＝ 13
132
， cos
α＝ r
x
＝ 13
133
.
(2) 如果α是第三象限角，同理可得： sin α＝ r
y
＝－ 13
132
，
cosα＝ r
x
＝－ 13
133
.
例 2．化简： tan3tantan
3tan2tan
解：原式＝ t ant ant an
t ant an
＝ tantantan
tantan
＝
－ tan
1
.
2 ．学生课堂练习
教材 P45的练习 1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业： P45习题 A组 1—11
四、课后反思
§7 函数 y＝Asin( ωx＋φ)的性质（ 1课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）进一步理解表达式 y＝Asin( ωx＋φ )，掌握 A、φ、ωx
＋ φ 的 含 义 ；（ 2） 熟 练 掌 握 由 xy s i n 的 图 象 得 到 函 数
)()sin( RxkxAy 的图象的方法；（3）会由函数 y＝Asin( ωx
＋φ )的图像讨论其性质； （4）能解决一些综合性的问题。
过程与方法
通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数 y＝Asin( ωx
＋φ )的图像；并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总
结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，
引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习
态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。
二、教学重、难点
重点 :函数 y＝Asin( ωx＋φ )的图像，函数 y＝Asin( ωx＋φ)
的性质。
难点 : 各种性质的应用。
三、学法与教学用具
在前面，我们讨论了正弦、 余弦、正切函数的性质， 如：定义域、
值域、最值、周期性、单调性和奇偶性，那么，对于函数 y＝Asin( ω
x＋φ)的性质会是什么样的呢？今天我们这一节课就研究这个
问题。
教学用具 :投影机、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
函数 y＝Asin( ωx＋φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，
是高中数学的重点内容， 也是高考的热点，因为，函数 y＝Asin( ω
x＋φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型， 与我们的生活息
息相关。
【探究新知】
复习提问：（1）如何由 xy sin 的图象得到函数 )sin( xAy 的图
象？
（2）如何用五点法作 )sin( xAy 的图象？
（3） 、、A 对函数 )sin( xAy 图象的影响作用
函数 )0,0(,),0),sin( AxxAy 其中 的物理意义：
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”
T：
2T
往复振动一次所需的时间，称为“周期”
f： 2
1
T
f
单位时间内往返振动的次数，称为“频率”
x ：称为相位
：x = 0 时的相位，称为“初相”
例一．函数
)
2
||,0,0(),sin( AxAy
的最小值是 2，其图
象最
高点与最低点横坐标差是 3 ，又：图象过点 (0,1) ，求函数解析
式。
解：易知： A = 2 半周期
3
2
T
∴T = 6 即
6
2
从而：
3
1
设：
)
3
1
sin(2 xy
令 x = 0 有 1sin2
又： 2
||
∴ 6 ∴所求函数解析式为
)
63
1
sin(2 xy
例二．函数 f (x) 的横坐标伸长为原来的 2 倍，再向左平移 2个
单位所得的曲线是
xy sin
2
1
的图像，试求 )( xfy 的解析式。
解：将
xy sin
2
1
的图像向右平移 2个单位得：
)
2
sin(
2
1
xy
即
xy cos
2
1
的 图 像 再 将 横 坐 标 压 缩 到 原 来 的 2
1
得 ：
xy 2cos
2
1
∴
xxfy 2cos
2
1)(
例三．求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最
小值时 x 的集合。
（1）y＝sinx －2 (2)y ＝ 3
4
sin 2
1
x (3)y ＝ 2
1
cos(3x ＋
4 )
解：（1）当 x＝2kπ＋ 2 (k∈Z)时， sinx 取最大值 1，此时函数
y＝sinx －2取最大值－ 1；
当 x＝2kπ＋ 2
3
(k∈Z)时，sinx 取最小值－ 1，此时函数 y＝sinx
－2取最小值－ 3；
（2）、（3）略，见教材 P59
例四．（1）求函数 y＝2sin( 2
1
x－ 3 )的递增区间；
（2）求函数 y＝ 3
1
cos(4x＋ 6
5
)的递减区间。
解：略，见教材 P60
【巩固深化，发展思维】
学生课堂练习：教材 P60练习 3
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业 : 习题 1-7 第 4，5，6 题．
七、课后反思
§7 函数 y＝Asin( ωx＋φ)的图象（ 2课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）熟练掌握五点作图法的实质； （2）理解表达式 y＝Asin( ω
x＋φ)，掌握 A、φ、ωx＋φ的含义；（3）理解振幅变换和周
期变换的规律，会对函数 y＝sinx 进行振幅和周期的变换； （4）
会利用平移、伸缩变换方法，作函数 y＝Asin( ωx＋φ )的图像；
（5）能利用相位变换画出函数的图像。
过程与方法
通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图
的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图
像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能利用五点作图
法，正确作出函数 y＝Asin( ωx＋φ )的图像；讲解例题，总结
方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学
会运用运动变化的观点认识事物； 通过学生的亲身实践， 引发学
生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；
让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点
重点 : 相位变换的有关概念，五点法作函数 y＝Asin( ωx＋φ)
的图像
难点 : 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画 y＝Asin( ωx
＋φ )的图像
三、学法与教学用具
在前面，我们知道精确度要求不高时，可以用五点作图法，是哪
五个关键点； 首先请同学们回忆， 然后通过物理学中的几个情境
引入课题；主要让学生动手实践， 两节课尽可能多地让他们画图，
教师只是加以点拨；可以从几个具体的、简单的例子开始，在适
当的时候加以推广；先分解各个小知识点，再综合在一起，上升
更高一层。
教学用具 :投影机、三角板
第一课时 y ＝sinx 和 y＝Asinx 的图像， y＝sinx 和 y ＝sin
（x＋φ）的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如 y＝Asin( ωx
＋φ )的函数，例如：在简谐振动中位移与时间表的函数关系就
是形如 y＝Asin( ωx＋φ)的函数。正因为此，我们要研究它的
图像与性质，今天先来学习它的图像。
【探究新知】
例一．画出函数 y=2sinx x R；y= 2
1
sinx x R的图象（简图）。
解：由于周期 T=2 ∴不妨在 [0,2 ]上作图，列表：
作 图：
x 0
2 2
3 2
sinx
0 1 0 -1 0
2sinx
0 2 0 -2 0
2
1
sinx
0 2
1 0 - 2
1
0
x
y
O 2
1 2
2 1
1
2
-2
-1
2
y=2sinx
y=sinx
y=
2
1 sinx
配套练习：函数 y＝ 3
2
sinx 的图像与函数 y＝sinx 的图像有什么
关系？
引导 ,观察 ,启发：与 y=sinx 的图象作比较，结论：
1．y=Asinx，x R(A>0 且 A 1)的图象可以看作把正数曲线上的
所有点的纵坐标伸长 (A>1)或缩短 (02．若 A<0 可先作 y=-Asinx 的图象 ，再以 x 轴为对称轴翻折。
性质讨论：不变的有定义域、奇偶性、单调区间与单调性、周期
性
变化的有值域、最值、
由上例和练习可以看出：在函数 y＝Asinx（A＞0）中，A决定了
函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称 A为振幅。
例二．画出函数 y=sin(x+ 3 ) (x R)和 y=sin(x 4 ) (x R)的
图像（简图）。
解：由于周期 T=2 ∴不妨在 [0,2 ]上作图，列表：
x+ 3 0 2 2
3 2
x
3 6 3
2
6
7
3
5
配套练习：函数 y＝sin （x－ 15）的图像与函数 y＝sinx 的图像
有什么关系？
引导 ,观察 ,启发：与 y=sinx 的图象作比较，结论：
y=sin （x＋φ），x R(φ 0)的图象可以看作把正数曲线上的所
有点向左平移 φ (φ>0)个单位或向右平移－ φ个单位 (φ＜0＝
得到的。
性质讨论：不变的有定义域、值域、最值、周期
变化的有奇偶性、单调区间与单调性
sin(x+
3 )
0 1 0 -1 0
xO
1
1
3 4
y=sin(x-
4
)
y=sin(x+
3
)
2
y=sinx
由上例和练习可以看出：在函数 y=sin（x＋φ），x R(φ 0)中，
φ决定了 x＝0时的函数，通常称 φ为初相， x＋φ为相位。
【巩固深化，发展思维】
课堂练习： P52练习第 3题
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 y ＝sinx 和 y＝sin ωx 的图像， y ＝sinx 和 y ＝
Asin( ωx＋φ )的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
上一节课，我们已过 y＝sinx 和 y＝Asinx 的图像，y＝sinx 和 y
＝sin （x＋φ）的图像间的关系，请与 y＝Asin( ωx＋φ )比较
一下，还有什么样的我们没作过？
【探究新知】
例一．画出函数 y=sin2x x R；y=sin 2
1
x x R的图象（简图）。
解：∵函数 y=sin2x 周期 T= ∴在 [0, ]上作图
令 t=2x 则 x= 2
t
从而 sint=sin2x
列表：
t=2x 0
2 2
3 2
x 0 4 2 4
3
sin2x 0 1 0 -1 0
作图：
函数 y=sin 2
x
周期 T=4 ∴在 [0, 4 ]上作图
列表
t= 2
x
0 2 2
3 2
x 0 2 3 4
sin 2
x 0 1 0 -1 0
x
y
O 2
1
1
3 4
y=sinx
y=sin
2
1 x
y=sin2x
2 4
配套练习：函数 y＝sin 3
2
x 的图像与函数 y＝sinx 的图像有
什么关系？
引导 , 观察启发 与 y=sinx 的图象作比较，结论：
1．函数 y=sin ωx, x R (ω>0 且ω 1)的图象，可看作把正弦
曲线上所有点的横坐标缩短 (ω >1)或伸长 (0<ω<1)到原来的
1
倍（纵坐标不变）
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。
由上例和练习可以看出：在函数 y=sin ωx, x R (ω>0且ω 1)
中，ω决定了函数的周期 T＝
2
，通常称周期的倒数 f ＝ T
1
＝ 2
为频率。
例二．画出函数 y=3sin(2x+ 3 ) x R的图象。
解：周期 T= （五点法），
设
t=2x+ 3则 x= 622
3 t
t
2x+ 3 0 2 2
3 2
x 6 12 3 12
7
6
5
3sin(2x
+ 3 )
0 3 0 -3 0
y=sin(x+
3
)
y=sin(2x+
3
)
小结平移法过程（步骤）
作 y=sinx（长度为 2 的某闭区间）
得 y=sin(x+φ ) 得 y=sinωx
得 y=sin(ωx+φ ) 得 y=sin(ωx+φ )
得 y=Asin( ωx+φ )的图象，先在一
个周期闭区间上再扩充到 R 上。
沿 x轴平 移 |φ|个单位 横坐标 伸长或缩短
横坐标伸 长或缩短 沿 x轴平 移 | |个单位
纵坐标伸 长或缩短 纵坐标伸 长或缩短
x
y
O
1
1
3 46
5
63
两种方法殊途同归
【巩固深化，发展思维】
教材 P58练习 1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业 :教材 P62习题 2、3、4
四、课后反思
§8 同角三角函数的关系（ 1课时）
教学目标：
知识与技能
（1）能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系；
（2）能正确运用进行三角函数式的求值运算； （ 3）能运用同角
三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一
些三角运算的基本技巧； （4）运用同角三角函数的基本关系式进
行三角函数恒等式的证明。
过程与方法
回忆初中所学的几个三角函数之间的关系， 用高中所学的同角三
角函数之间的关系试着进行证明； 掌握几种同角三角函数关系的
应用；掌握在具体应用中的一定技巧和方法； 理解并掌握同角三
角关系的简单变形； 提高学生恒等变形的能力， 提高分析问题和
解决问题的能力。
情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位；
认识事物间存在的内在联系， 使学生面对问题养成勤于思考的习
惯；培养学生良好的学习方法， 进一步树立化归的数学思想方法。
二、教学重、难点
重点 : 同角三角函数之间的基本关系，化简与证明。
难点 : 化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。
三、学法与教学用具
在初中，学生已经见过同角三角函数之间的关系， 在高中就要求
学生能对这些关系进行证明， 最主要的还是在于运用。 主要有三
方面的应用，即计算、化简、证明。正因为这样，本节课通过例
题讲评和学生练习的形式开展教学。
教学用具 :投影机、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过， 只不过当时应
用不是很多，那么到底有哪些？它们成立的条件是什么？学习实
践中，你还发现了哪些关系？今天这节课， 我们就来讨论这些问
题。
【探究新知】
在初中我们已经知道，对于同一个锐角 α，存在关系式：
1cossin
22 tan
cos
sin
理论证明：（采用定义）
tan
cos
sin
)(
2
2
1cossincos,sin1 22222
x
y
x
r
r
y
r
x
r
y
Zkk
r
x
r
y
ryx
时，当
且
注意： 1 “同角”的概念与角的表达形式无关，
如： 13cos3sin
22
2
tan
2
cos
2
sin
2 上述关系（公式 2）都必须在定义域允许的范围内成立。
3 据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三
角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会
出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次） 。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例 1．已知 sin α＝－ 5
3
，且α在第三象限，求 cosα和 tanα .
解：∵ 1cossin
22
∴cos2α＝1－sin2 α＝1－(－ 5
3
)2＝ 25
16
又∵α在第三象限， cosα＜0 ∴cosα＝－ 5
4
，tanα＝
cos
sin
＝ 4
3
例 2．已知 的其他三角函数值。求),1,0(cos mmm
解：若 在第一、二象限，则
m
mm
2
2 1tan1sin
若 在第三、四象限，则
m
mm
2
2 1tan1sin
例 3．化简： 440sin1
2
解：原式 80cos80cos80sin1)80360(sin1
222
例 4．求证： cos
sin1
sin1
cos
证一：
22 cos
)sin1(cos
sin1
)sin1(cos
)sin1)(sin1(
)sin1(cos
左边
右边
cos
sin1
等式成立 （利用平方关系）
证二： 0cos,0sin1cossin1)sin1)(sin1(
22 且
cos
sin1
sin1
cos
（利用比例关系）
证三： cos)sin1(
)sin1(cos
cos)sin1(
)sin1)(sin1(cos
cos
sin1
sin1
cos 222
0
cos)sin1(
coscos 22
cos
sin1
sin1
cos
（作差）
2．学生课堂练习
教材 P66练习 1和 P67练习 2
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业
教材 P68习题中 1—6
七、课后反思
本章复习与小结（ 1课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）了解本章的知识结构体系，在整体上有一个初步的认识；
（2）加深对任意角、弧度及三角函数的理解； （ 3）掌握三角函
数的图像与性质，能利用性质进行解题； （4）掌握一定的解题方
法，形成较好的能力。
过程与方法
三角函数是一种重要的函数， 通过整理本章的各知识点以及它们
之间的联系， 帮助学生系统地认识本章内容， 从而对本章内容有
全面的认识， 上升到更高一个水平； 启发学生将本章内容与数学
1、数学 2 的横向联系，形成知识的网络化。
情感态度与价值观
通过本节的复习， 使同学们对三角函数有一个全面的认识； 以辩
证唯物主义的观点看待任何事， 养成一种科学的态度； 帮助学生
树立正确的世界观和人生观，树立远大理想，立志为国争光，为
洋浦的开发建设贡献力量。
二、教学重、难点
重点 : 三角函数定义，以及三角函数的图像与性质
难点 : 本章内容的系统掌握与灵活运用
三、学法与教学用具
师生共同整理本章的知识结构体系， 从角到角的度量， 从三角函
数的定义到它们之间的关系， 再到三角函数的图像与性质； 整理
本章出现的各种题目，从中理顺它们的关系，将它们适当归类，
提炼其中的方法，争取做到举一反三、触类旁通。
教学用具：投影仪、三角板
四、教学思路
【知识的初步整合】
任意角
的概念
角度制与
弧度制
任意角的三
角函数定义
三角函数的
图像与性质
同角三角函
数的关系
诱导公式
弧长与扇形
面积公式
【知识的概括与引申】
1．角是由射线的旋转所产生的，那么就有旋转量与旋转方向的
问题，所以必须推广到任意正角、负角和零角。为了使弧长公式
在形式上变得简单， 引进了弧度制， 这一度量单位不仅使弧长公
式、扇形面积公式得以简化， 也为定义任意角的三角函数作好了
准备。
2．同角三角函数的基本关系的作用是：已知某任意角的一种三
角函数值，就能求出另一种三角函数值。
3．诱导公式的作用是：把求任意角的三角函数值转化为求锐角
三角函数值。
4．三角函数的图像和性质是本章的重要内容，是三角函数应用
的基础。
【例题选讲】
例 1．求图中公路弯道处弧 AB的长 l（精确到 1m）
R=45
60
图中长度单位为： m
解： ∵ 3
60
∴
)(471514.345
3
mRl
已知 是第三象限角且
0
2
cos
，问 2是第几象限角？
解：∵ 2
)12()12( kk )( Zk
∴ 4
3
22
kk )( Zk 则 2是第二或第四象限
角
又∵
0
2
cos
则 2是第二或第三象限角
∴ 2必为第二象限角
例 3．已知 cos2sin ，求
的值。及 cossin2sin
cos2sin5
cos4sin 2
解： 2tancos2sin
6
1
12
2
2tan5
4tan
cos2sin5
cos4sin
5
6
14
24
1tan
tan2tan
cossin
cossin2sin
cossin2sin 2
2
22
2
2
例 4．函数 3
3tan xy
的定义域、值域，并指出它的周期性、
奇偶性、单调性。
解：由 23
3 kx
得 18
5
3
k
x
，
所求定义域为
zk
k
xRxx ,
18
5
3
,| 且
值域为 R，周期 3
T
，是非奇非偶函数。
在区间
zk
kk
18
5
3
,
183 上是增函数。
【随堂练习】 教材 P77复习题一 A组 1—11
【教学小结】
本章涉及到的主要数学思想方法有那些？你在这节课中的表现
怎样？你的体会是什么？ 【布置作业】 教材 P77复习题一 A组
12—15
【课后反思】
第二章 平面向量
2.1 从位移、速度、力到向量（ 1课时）
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；
（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，
并体会学科之间的联系 .
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻
辑思维能力
2.过程与方法
通过力与力的分析等实例， 引导学生了解向量的实际背景， 帮助
学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示； 最后
通过讲解例题， 指导学生能够发现问题和提出问题， 善于独立思
考，学会分析问题和创造地解决问题 .
3.情感态度价值观
通过本节的学习， 使同学们对向量的实际背景、 几何表示有了一
个基本的认识； 激发学生学习数学的兴趣和积极性， 陶冶学生的
情操，培养学生坚忍不拔的意志， 实事求是的科学学习态度和勇
于创新的精神 .
二 .教学重、难点
重点 : 向量及向量的有关概念、表示方法 .
难点 : 向量及向量的有关概念、表示方法 .
三 .学法与教学用具
学法： (1) 自主性学习 +探究式学习法：
(2) 反馈练习法： 以练习来检验知识的应用情况， 找出未掌握的
内容及其存在的差距 .
教学用具 :电脑、投影机 .
四 .教学设想
【创设情境】
实例：老鼠由 A向西北逃窜，猫在 B处向东追去，
问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了 .
【探究新知】
1．学生阅读教材思考如下问题
[展示投影 ]（学生先讲，教师提示或适当补充）
1. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？
既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等
注意：①数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从 19世纪末到 20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体
系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？
①几何表示法：有向线段
有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。记作： AB
注意：起点一定写在终点的前面。
A B
A(起点 )
B
（终点）
a
有向线段的长度：线段 AB的长度也叫做有向线段 AB的长
度
有向线段的三要素：起点、方向、长度
②字母表示法：也可用字母 a、b、c（黑体字）来表示，即 AB可
表示为 a（印刷时用黑体字）
3. 向量的模的概念是如何定义的？
向量 AB的大小——长度称为向量的模。
记作： | AB | 模是可以比较大小的
4.两个特殊的向量：
①零向量——长度（模）为 0 的向量，记作 0。 0的方向是任意
的 .
注意 0与 0的区别
②单位向量——长度（模）为 1 个单位长度的向量叫做单位向
量。
思考：①温度有零上零下之分， “温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
② AB与 BA是否同一向量？
答：不是同一向量。
③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向
量是否都相等？
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量
不一定相等。
5.向量间的关系：
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作： a∥ b∥ c
规定： 0与任一向量平行
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作： a =b
规定： 0 =0
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与
起点无关。
共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，
所以平行向量也叫共线向量。
OA =a OB =b OC =c
[展示投影 ]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例题：如图，设 O是正六边形 ABCDEF的中心，①分别写出图
中与向量 OA、OB、OC相等的向量； ②分别写出图中与向量 OD、
OE、 OE共线的向量 .
a
b
c
C O B A
D E
O
A B
C F
[学习小结 ]（学生总结，其它学生补充）
①向量及其表示方法 .
②向量的模 .
③零向量与单位向量 （零向量的方向任意； 单位向量不一定相等）
④相等向量与平行向量 .
五 .作业： P86 习题 2—1
六 . 课后反思
2.2 从位移的合成到向量的加法（ 2 课时）
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边
形法则做几个向量的和向量； 能准确表述向量加法的交换律和结
合律，并能熟练运用它们进行向量计算 .
（2）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的
减向量
（3）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义 .
（4）初步体会数形结合在向量解题中的应用 .
2.过程与方法
教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法， 一方面启发我
们利用位移的合成去探索两个向量的和， 另一方面帮助我们利用
物理背景去理解向量的加法 . 然后用“相反向量” 定义向量的减
法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括
能力和逻辑思维能力 .
3.情感态度价值观
通过本节内容的学习， 使同学们对向量加法的三角形法则和平行
四边形法则有了一定的认识， 进一步让学生理解和领悟数形结合
的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法， 这样有助
于激发学生学习数学的兴趣和积极性， 实事求是的科学学习态度
和勇于创新的精神 .
二 .教学重、难点
重点 : 向量加法的概念和向量加法的法则及运算律 .
难点 : 向量的减法转化为加法的运算 .
三 .学法与教学用具
学法： (1) 自主性学习 +探究式学习法：
(2) 反馈练习法： 以练习来检验知识的应用情况， 找出未掌握的
内容及其存在的差距 .
教学用具 :电脑、投影机 .
四 .教学设想
【创设情境】
提出课题：向量是否能进行运算？
某人从 A到 B，再从 B按原方向到 C，
则两次的位移和： AB + BC = AC
若上题改为从 A到 B，再从 B按反方向到 C，
则两次的位移和： AB + BC = AC
某车从 A到 B，再从 B改变方向到 C，
则两次的位移和： AB + BC = AC
船速为 AB，水速为 BC，
则两速度和： AB + BC = AC
提出课题：向量的加法
【探究新知】
1 ．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2 ．三角形法则：
强调：
A B C
C A B
A B
C
A B
C
a+ b A A A
B
B B
C
C C
a+ b
a+ b
a a
b
b
b
a
a
① “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一
个向量的起点
②可以推广到 n个向量连加
③ aaa 00
④不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
[展示投影 ]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例 1、已知向量 a、 b，求作向量 a +b
作法：在平面内取一点，
作 aOA bAB
则 baOB
【探究新知】
3．加法的交换律和平行四边形法则
思考：上题中 b +a的结果与 a +b是否相同 验证结果相同
从而得到： 1 向量加法的平行四边形法则
2 向量加法的交换律： a +b =b +a
4．向量加法的结合律： ( a+b ) + c = a + ( b +c )（可请学生先上来
做，不足之处学生更正）
证：如图：使 aAB , bBC , cCD
则( a +b ) + c = ADCDAC
a + ( b +c ) = ADBDAB
∴( a +b ) + c =a + ( b +c)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、 任意的组合来
O A
a
a
a
b b b
A
B
C
D
a
c a+b+c
b
a+b
b+c
进行。
[展示投影 ]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例 2．如图，一艘船从 A点出发以 hkm/32 的速度
向垂直于对岸的方向行驶， 同时水的流速为 hkm/2 ，
求船实际航行的速度的大小与方向。
解：设 AD表示船垂直于对岸的速度， AB表示水流
的速度，
以 AD,AB为邻边作平行四边形 ABCD，则 AC就是船实际航行的速
度
在 ABCRt 中， 2|| AB ， 32|| BC
所以 4||||||
22 BCABAC
因为
603
2
32
tan CBACAB
【探究新知】
思考：已知 a， b，怎样求作 ba ？
这个问题涉及到两个向量相减， 到底如何运算呢？首先引入 “相
反向量”这个概念 .
5.用“相反向量”定义向量的减法
①“相反向量”的定义：与 a长度相同、方向相反的向量；记作
a
②规定：零向量的相反向量仍是零向量。 ( a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。 a + ( a) = 0
如果 a、b互为相反向量，则 a = b, b = a, a + b =
0
③向量减法的定义： 向量 a加上的 b相反向量，叫做 a与 b 的差。
即： a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的
减法。
6.用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若 b + x = a ，则 x 叫做 a与 b的差，记作 a b
7.请同学们自己解决思考题：
ba 的作法：
方法一、已知向量 a、 b，在平
面 内 任 取 一 点 O ， 作
bOBaOA , ，则 BA ba 。即
ba 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a的终点的向量
方法二、在平面内任取一点 O，作 bOBaOA , 则 AB ba 。即 ba
也可以表示为从向量 a的起点指向向量 b的起点的向量 .
方法三、在平面内任取一点 O，作 bOBaOA , ，则由向量加法
的平行四边形法则可得 OC baba )( .
[展示投影 ]思考与讨论：
思考：从向量 a的终点指向向量 b的终点的向量是什么？（ ab ）
讨论：如右图，a∥ b时，怎样作出 ba
呢？
[展示投影 ]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例 3.已知向量 a、b、c、d，求作向量 a b、c d。
解：在平面上取一点 O，作 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, 作
BA , DC , 则 BA = a b, DC = c d
例 4.平行四边形中， AB =a，AD = b，用 a、b表示向量 AC， DB .
解：由平行四边形法则得：
AC = a + b, DB = AB - AD = a b A B
D C
A B
C
b
a
d
c
D
O
变式一：当 a, b 满足什么条件时， a+b与 a b垂直？（|a| = |b| ）
变式二：当 a, b 满足什么条件时， |a+b| = |a b| ？（ a, b 互
相垂直）
变式三： a+b与 a b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线
方向不同）
例 5.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边
形。
证：由向量加法法则：
AB = AO +OB , DC = DO +OC
由已知： AO =OC , OB =DO
∴ AB = DC 即 AB与 CD平行且相等
∴ABCD为平行四边形
[学习小结 ]（学生总结，其它学生补充）
①向量加法的三角形法则与平行四边形法则 .
②向量加法运算律 .
③相反向量及向量减法的运算法则 .
五、评价设计
1．作业：习题 2.2 A 组第 1、2、3、4、5、6题．
2．（备选题）：
①证明：对于任意给定的向量 ba. 都有
baba
②证明：
bababa
并说明什么时候取等号？
A B
D C
O
提示：可用例 5 的图当 a、 b不共线时，由三角形两边之和大于
第三边，而两边之差小于第三边得
baBCABACba
、
baBCABACba
即
bababa
六、课后反思：
2.3 从速度的倍数到数乘向量（ 2课时）
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义 .
（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。
（3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量
表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
（4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，
平面向量的基本定理有更深刻的理解， 并能用来解决一些简单的
几何问题。
2.过程与方法：
教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：
1．“模”与“方向”两点 ) 2 ．三个运算定律（结合律，第一分
配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通
过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质） 。为
了帮助学生消化和巩固相应的知识， 教材设置了几个例题； 通过
讲解例题，指导发现知识结论， 培养学生抽象概括能力和逻辑思
维能力 .
3. 情感态度价值观
通过本节内容的学习， 使同学们对实数与向量积以及平面向量基
本定理有了较深的认识， 让学生理解和领悟知识将各学科有机的
联系起来了， 这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性， 有
助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神 .
二 .教学重、难点
重点 : 1. 实数与向量积的定义及几何意义 .
2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示
难点 : 1. 实数与向量积的几何意义的理解 .
2. 平面向量基本定理的理解 .
三 .学法与教学用具
学法： (1) 自主性学习 +探究式学习法：
(2) 反馈练习法： 以练习来检验知识的应用情况， 找出未掌握的
内容及其存在的差距 .
教学用具 :电脑、投影机 .
四 .教学设想
【探究新知】
1．思考 : （引入新课）已知非零向量 a 作出 a +a +a和
( a )+( a )+( a )
OC = BCABOA =a +a+a =3 a
PN = MNQMPQ =( a )+( a )+( a )= 3 a
讨论：① 3 a与 a方向相同且 |3 a |=3| a |
② 3 a与 a方向相反且 | 3a |=3| a |
a a a a
O A B
C
a a a a
N M Q P
2．从而提出课题： 实数与向量的积； 实数λ与向量 a的积，记作：
λ a
定义：实数 λ与向量 a的积是一个向量，记作： λ a
① |λ a |=| λ || a |
②λ>0 时λ a与 a方向相同； λ<0 时λ a与 a方向相反； λ=0 时
λ a =0（请学生自己解释其几何意义）
[展示投影 ]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）
例 1.（见 P96例 1）略
[展示投影 ]
思考：根据几何意义， 你能否验证下列实数与向量的积的是否满
足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）
结合律： λ(μ a )=( λμ ) a ①
第一分配律： (λ+μ) a =λ a+μ a ②
第二分配律： λ( a +b )=λ a +λ b ③
结合律证明：
如果λ=0，μ=0， a =0至少有一个成立，则①式成立
如果λ 0，μ 0，a 0有： |λ(μ a )|=| λ|| μ a |=| λ || μ || a |
|( λμ) a |=| λμ || a |=| λ|| μ || a |
∴| λ(μ a )|=|( λμ) a |
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与 a同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与 a反向。
从而λ(μ a )=( λμ) a
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0， a =0至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ 0，μ 0， a 0
当λ、μ同号时，则 λ a和μ a同向，
∴ |( λ+μ) a |=| λ+μ|| a |=(| λ |+| μ |)| a |
|λ a +μ a |=| λ a |+| μ a |=| λ || a |+| μ || a |=(| λ|+| μ |)| a |
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与 a同向
即： |( λ+μ ) a |=| λ a +μ a |
当λ、μ异号，当 λ>μ时 ②两边向量的方向都与 λ a同向
当λ<μ时 ②两边向量的方向都与 μ a同向
还可证： |( λ+μ) a |=| λ a +μ a |
∴②式成立
第二分配律证明：
如果 a =0，b =0中至少有一个成立，或 λ=0，λ=1则③式显然成
立
当 a 0， b 0且λ 0，λ 1时
1 当λ>0且λ 1时在平面内任取一点 O，
作 OA =a AB =b 1OA =λ a 11BA =λ b
则 OB =a +b 1OB λ a +λ b
由作法知： AB∥ 11BA 有 OAB= OA1B1 | AB |=λ | 11 BA |
∴ ||
||
||
|| 111
AB
BA
OA
OA
λ ∴△OAB∽△OA1B1
O A
B
B 1
A 1
∴ ||
|| 1
OB
OB
λ AOB= A1OB1
因此，O，B，B1在同一直线上， | 1OB |=| λ OB | 1OB 与λ OB方
向也相同
λ( a +b )=λ a +λ b
当λ<0时 可类似证明： λ ( a+b )=λ a +λ b
∴ ③式成立
【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件）
若有向量 a ( a 0 )、 b，实数 λ，使 b =λ a 则由实数与向量积
的定义知： a与 b为共线向量
若 a与 b共线 ( a 0 )且 | b |： | a |=μ，则当 a与 b同向时 b =μ a；
当 a与 b反向时 b = μ a
从而得：向量 b与非零向量 a共线的充要条件是：有且只有一个
非零实数 λ，使 b =λ a .
[展示投影 ]例题讲评（师生共同分析，学生动手做）
例 2. （见 P97例 2）略
例 3.（P97例 3 改编）如图： OA，OB不共线， P点在 AB上，求
证：存在实数 1. 且
使 OBOAOP
（证明过程与 P97例 3 完全类似；略）
思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）
A O
B
B 1
A1
P
B
A O
【巩固深化，加强基础】
1.见 P98练习 1、2、3、4题 .
2.如例 3图，OA，OB不共线，AP =t AB (t R)用 OA，OB表示 OP .
【探究新知、展示投影】
1．思考：
①．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是
唯一？
②．对于平面上两个不共线向量 1e ， 2e 是不是平面上的所有向量
都可以用它们来表示？
2．教师引导学生分析
设 1e ， 2e 是不共线向量， a是平面内任一向量
OA = 1e OM =λ1 1e OC =a =OM +ON =λ1 1e +λ
2 2e
OB = 2e ON =λ2 2e
得平面向量基本定理：如果 1e ， 2e 是同一平面内的两个不共线向
量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，
λ2使 a =λ1 1e +λ2 2e .
[注意几个问题 ]：
① 1e 、 2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底 .
② 这个定理也叫共面向量定理 .
1e
2e
a
O N B
M C
③λ1，λ2是被 a， 1e ， 2e 唯一确定的数量 .
④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组
合 .
[展示投影 ]例题讲评（教师可从中选择几个例题让学生先做， 学
生评讲，教师提示或适当补充； ）
例 4．1kg 的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图） ，
已知两细绳与水平线分别成 30
§1 周期现象与周期函数（ 1课时）
教学目标：
知识与技能
（1）了解周期现象在现实中广泛存在； （2）感受周期现象对实
际工作的意义；（3）理解周期函数的概念； （4）能熟练地判断简
单的实际问题的周期； （5）能利用周期函数定义进行简单运用。
过程与方法
通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季
变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就
可以得到周期函数的定义； 根据周期性的定义， 再在实践中加以
应用。
情感态度与价值观
通过本节的学习， 使同学们对周期现象有一个初步的认识， 感受
生活中处处有数学， 从而激发学生的学习积极性， 培养学生学好
数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点
重点 : 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点 : 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具
学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现
象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，
感知周期现象的存在。 并在此基础上学习周期性的定义， 再应用
于实践。
教学用具 :实物、图片、投影仪
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶
我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜
的时间里，潮水会涨落两次， 这种现象就是我们今天要学到的周
期现象。再比如， [取出一个钟表 , 实际操作 ] 我们发现钟表上的
时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题 )
【探究新知】
1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观
察钱塘江潮的图片 （投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，
波浪每隔一段时间会重复出现， 这也是一种周期现象。 请你举出
生活中存在周期现象的例子。 （单摆运动、四季变化等）
（板书：一、我们生活中的周期现象）
2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生
自主学习课本 P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：
①如何理解“散点图”？
②图 1-1 中横坐标和纵坐标分别表示什么？
③如何理解图 1-1 中的“ H/m”和“ t/h ”？
④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？
以上问题都由学生来回答， 教师加以点拨并总结： 周期函数定义
的理解要掌握三个条件，即存在不为 0 的常数 T；x 必须是定义
域内的任意值； f(x ＋T)＝f(x) 。
（板书：二、周期函数的概念）
3． [ 展示投影 ]练习 :
已知函数 f(x) 满足对定义域内的任意 x，均存在非零常数 T，使
得 f(x ＋T)＝ f(x) 。
求 f(x ＋2T) ，f(x ＋3T)
略解： f(x ＋2T)＝ f[(x ＋T)＋T]＝ f(x ＋T)＝f(x)
f(x ＋3T)＝ f[(x ＋2T)＋T]＝ f(x ＋2T)＝f(x)
本题小结，由学生完成，总结出“周期函数的周期有无数个” ，
教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正周期。
(2) 已知函数 f(x) 是 R上的周期为 5的周期函数，且 f(1) ＝2005,
求 f(11)
略解： f(11) ＝ f(6 ＋5)＝f(6) ＝ f(1 ＋5)＝ f(1) ＝2005
(3) 已知奇函数 f(x) 是 R上的函数，且 f(1) ＝2，f(x ＋3)＝ f(x) ，
求 f(8)
略解： f(8) ＝f(2 ＋2×3)＝ f(2) ＝ f( －1＋3)＝f( －1)＝－ f(1)
＝－ 2
【巩固深化，发展思维】
1．请同学们先自主学习课本 P4倒数第五行—— P5倒数第四行，
然后各个学习小组之间展开合作交流。
2．例题讲评
例 1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离 y 是时间 t 的函数
吗？如果是，这个函数
y＝ f(t) 是不是周期函数？
例 2. 图 1-4（见课本）是钟摆的示意图，摆心 A到铅垂线 MN的
距离 y 是时间 t 的函数， y＝g(t) 。根据钟摆的知识，容易说明
g(t ＋T)＝g(t), 其中 T为钟摆摆动一周（往返一次）所需的时间，
函数 y＝g(t) 是周期函数。若以钟摆偏离铅垂线 MN的角θ的度
数为变量，根据物理知识，摆心 A到铅垂线 MN的距离 y 也是θ
的周期函数。
例 3.图 1-5（见课本）是水车的示意图，水车上 A点到水面的距
离 y 是时间 t 的函数。假设水车 5min 转一圈，那么 y 的值每经
过 5min 就会重复出现，因此，该函数是周期函数。
3．小组课堂作业
(1) 课本 P6的思考与交流
(2) ( 回答 ) 今天是星期三那么 7k(k ∈Z)天后的那一天是星期
几?7k(k ∈Z)天前的那一天是星期几 ?100 天后的那一天是星期
几?
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的
主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业
1．作业：习题 1.1 第 1,2,3 题．
2．多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的
特点．
七、课后反思
§2 角的概念的推广（ 1课时）
教学目标：
知识与技能
（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）
理解象限角、坐标轴上的角的概念； （3）理解任意角的概念，掌
握所有与 角终边相同的角（包括 角）的表示方法；（4）能表
示特殊位置（或给定区域内）的角的集合； （5）能进行简单的角
的集合之间运算。
过程与方法
类比初中所学的角的概念， 以前所学角的概念是从静止的观点阐
述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、
负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的
概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非
象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画
出终边所在的位置， 归纳总结出它们的关系， 探索具有相同终边
的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习， 使同学们对角的概念有了一个新的认识； 树立
运动变化观点， 学会运用运动变化的观点认识事物； 揭示知识背
景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的
学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的
追求。
二、教学重、难点
重点 : 理解正角、 负角和零角和象限角的定义， 掌握终边相同角
的表示法及判断。
难点 : 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教学用具
在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆
和类比初中所学角的概念 ,把角的概念进行了推广；角是一个平
面图形，把角放入平面直角坐标系中以后 , 了解象限角的概念；
通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法； 我们在学习这部
分内容时 ,首先要弄清楚角的表示符号 ,以及正负角的表示， 另外
还有相同终边角的集合的表示等。
教学用具 :多媒体、三角板、圆规
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺
时针方向旋转会越拧越紧。 但不知同学们有没有注意到， 在这两
个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几
个同学畅谈一下，教师控制好时间， 2-3 分钟为宜。
这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。
初中我们已给角下了定义， 先请一个同学回忆一下当时是怎么定
义的？
我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角” ，这是从静
止的观点阐述的。
【探究新知】
如果我们从运动的观点来看， 角可以看成平面内一条射线绕着端
点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 (先后用教具圆规
和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，
转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备 )
正角、负角、零角的概念 (打开课件第一版，演示正角、负角、
零角的形成过程 )．
我们规定：(板书 )按逆时针方向旋转形成的角叫做正角， 如图（见
课件）。一条射线由原来的位置 OA，绕着它的端点 O按逆时针方
向旋转到终止位置 OB，就形成角 . 旋转开始时的射线 OA叫做角
的始边， OB叫终边，射线的端点 O叫做叫 的顶点 .按顺时针方
向旋转形成的角叫做负角； 如果一条射线没有作任何旋转， 我们
认为这时它也形成了一个角， 并把这个角叫做零角， 如果α是零
角，那么 α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是
负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下， “角α”或“∠
α”可以记成“ α”。
过去我们研究了 0°～ 360°范围的角．如图（见课件）中的角
α就是一个 0°～ 360°范围内的角 (α＝30°)．如果我们将角
α的终边 OB继续按逆时针方向旋转一周、两周??而形成的角
是多少度 ?是不是仍为 30°的角 ?(用多媒体演示这一旋转过程，
让学生思考；为终边相同角概念做准备 )．将终边 OB旋转一周、
两周??，分别得到 390°， 750°??的角．如果将 OB继续旋
转下去，便可得到任意大小的正角。同样地，如果将 OB按顺时
针方向旋转，也可得到任意大小的负角 (通过课件，动态演示这
一无限旋转过程 )．这就是说，角度并不局限于 0°～ 360°的范
围，它可以为任意大小的角 (与数轴进行比较 )． (打开课件第三
版)．如图 (1) 中的角为正角，它等于 750°； (2) 中，正角 α＝
210°，负角 β＝— 150°，γ＝－ 660°．在生活中，我们也经
常会遇到不在 0°～ 360°范围的角，如在体操中，有“转体
720°” (即“转体 2 周” )，“转体 1080°” (即“转体 3 周” )
这样的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转而形成的角．
角的概念经过这样的推广以后，就包括正角、负角和零角．
2．象限角、坐标轴上的角的概念．
由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论
角，(板书 )我们使角的顶点与原点重合， 角的始边与 x 轴的非负
半轴 (包括原点 )重合，那么角的终边 (除端点外 )在第几象限， 我
们就说这个角是第几象限角． (打开课件第四版 )例如图 (1) 中的
30°、 390°、－ 330°角都是第一象限角，图 (2) 中的 300°、
－60°角都是第四象限角； 585°角是第三象限角．
(板书 )如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象
限．
3．终边相同的表示方法．
(返回课件第二版，在图 (1)1(2) 中分别以 O为原点，直线 0A为
x轴建立直角坐标系，重新演示前面的旋转过程 )在图 (1) 中，如
果将终边 OB按逆时针方向旋转一圈、 两圈??，分别得到 390°，
750°??的角，这些角的终边与 30°角的终边相同，只是转过
的圈数不同，它们可以用 30°角来表示，如 390°＝ 30°十
360°，750°＝ 30°十 2×360°，??在图 (2) 中，如果将终边
OB按顺时针方向旋转一圈、两圈??分别得到－ 330°，－
690°??的角，这些角的终边与 30°角终边也相同，也只是转
过的圈数不同，它们也都可以用 30°的角来表示，如－ 330°＝
30°－ 360°，－ 690°＝ 30°— 2×360°，??
由此可以发现， 上面旋转所得到的所有的角 (记为β)，都可以表
示成一个 0°到 360°的角与 k(k ∈Z)个周角的和，即：β＝30°
十 k·360°(k ∈Z)．如果我们把 β的集合记为 S，那么 S＝{β |
β＝30°十 k·360°， k ∈Z}．容易看出：所有与 30°角终边
相同的角，连同 30°角 (k＝0)在内，都是集合 S 的元素；反过
来，集合 S的任一元素显然与 30°角终边相同。
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例 1.判断下列各角是第几象限角 .
(1) —60°； (2)585 °； (3) —950°12’．
解： (1) ∵— 60°角终边在第四象限，∴它是第四象限角； (2)
∵585°＝ 360°十 225°，∴585°与 225°终边相同，又∵ 225°
终边在第三象限，∴ 585°是第三象限角； (3) ∵ —950°12’＝
－230°12’—2×360°，又∵－ 230°12’终边在第二象限，∴
—950°12’是第二象限角 .
例 2．在直角坐标系中，写出终边在 y轴上的角的集合（α用 0°～
360°的角表示） .
解：在 0°～ 360°范围内，终边在 y 轴上的角有两个，即 90°
与 270°角，因此，所有与 90°角终边相同的角构成集合 S1＝{β
|β＝90°＋k·360°， k∈Z}；所有与 270°角终边相同的角构
成集合 S2＝ {β| β＝270°＋k·360°，k∈Z}；所以，终边在 y
轴上的角的集合 S＝S1∪S2＝{β| β＝90°＋ k·360°， k∈Z}
∪{β |β＝270°＋ k·360°， k∈Z}.
例 3．写出与 60°角终边相同的角的集合 S，并把 S中适合不等
式－ 360°≤β＜270°的元素 β写出来 .
解： S＝ {β |β＝60°＋ k·360°， k∈Z}，S 中适合－ 360°≤
β＜270°的元素是：
60°－ 1×360°＝－ 300°， 60°＋ 0×360°＝ 60°， 60°＋ 1
×360°＝ 420° .
2．学生课堂练习
参考练习 ( 通过多媒体给题 )。
(1) ( 口答 )锐角是第几象限角 ?第一象限角一定是锐角吗 ?再分
别就直角、钝角来回答这两个问题 .
(2) 与— 496°终边相同的角是 ，它是第 象限的
角，它们中最小正角是 ，最大负角是 。
(3) 时针经过 3 小时 20分，则时针转过的角度为 ，分针
转过的角度为 。
(4) 若α、β的终边关于 x 轴对称，则 α与β的关系是 ；
若α与β的终边关于 y
轴对称，则 α与β的关系是 ；若α、β的终边关于原点对
称，则 α与β的关系是 ；若角α是第二象限角，则 180°—
α是第 象限角。
[答案 ](1) 是，不一定 .
(2) —496°十 k·360°(k ∈Z)，三， 240°，— 136°.
(3) —100°，— 1200°．
(4) α十β＝k·360° (k ∈Z)；α十β＝180°十 k·360。(k∈
Z)；
α一β＝180°十 k·360°(k∈Z)；一 .
五、归纳整理，整体认识
请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？你知道角是如何
推广的吗 ?
象限角是如何定义的呢 ? 你熟练掌握具有相同终边角的表示了
吗?
（3）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（4）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业 : 习题 1.2 第 2,3 题．
七、课后反思
§3 弧度制（ 1课时）
教学目标：
知识与技能
（1）理解 1 弧度的角及弧度的定义； （2）掌握角度与弧度的换
算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算； （4）理解角的集合与
实数集 R之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长
公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
过程与方法
通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念； 比较两种度量角的方法
探究角度制与弧度制之间的互化； 应用在特殊角的角度制与弧度
制的互化，帮助学生理解掌握； 以针对性的例题和习题使学生掌
握弧长公式和扇形的面积公式； 通过自主学习和合作学习， 树立
学生正确的学习态度。
情感态度与价值观
通过弧度制的学习， 使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制
度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制
下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度
制与十进制之间的互化， 化简了六十进制给角的加、 减运算带来
的诸多不便， 体现了弧度制的简捷美； 通过弧度制与角度制的比
较，使学生认识到引入弧度制的优越性， 激发学生的学习兴趣和
求知欲望，养成良好的学习品质。
二、教学重、难点
重点 : 理解弧度制的意义， 正确进行弧度与角度的换算； 弧长和
面积公式及应用。
难点 : 弧度的概念及与角度的关系； 角的集合与实数之间的一一
对应关系。
三、学法与教学用具
在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运
用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一
样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主
学习的形式， 让学生感受弧度制的优越性， 在类比中理解掌握弧
度制。
教学用具 :多媒体、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中几何里我们学过角的度量， 当时是用度做单位来度量
角的．我们把周角的 360
1
规定为 1 度的角，而把这种用度作单位
来度量角的单位制叫做角度制． 但在数学和其他科学中我们还经
常用到另一种度量角的单位制——弧度制。 下面我们就来学习弧
度制的有关概念． (板书课题 )弧度制的单位是 rad，读作弧度．
【探究新知】
1．1弧度的角的定义．
(板书 )我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角， 叫做 1 弧度的
角(打开课件 )．如图 1—14(见教材 )，弧 AB的长等于半径 r，则
弧 AB所对的圆心角就是 1弧度的角，弧度的单位记作 rad。
在图 1（课件）中，圆心角∠ AOC所对的弧长 l＝2r，那么∠ AOC
的弧度数就是 2rad；圆心角∠ AOD所对的弧长 l ＝ 2
1
r，那么∠ AOC
的弧度数就是 2
1
rad；圆心角∠ AOE所对的弧长为 l ，那么∠ AOE
的弧度数是多少呢？学生思考并交流， 此我们可以得到弧度制的
定义．
2 ．弧度制的定义：
一般地， (板书 )正角的弧度数是一个正数， 负角的弧度数是
一个负数，零角的弧度数
是 o；角α的弧度数的绝对值 |α |＝ r
l
，其中 l 是以角 α作为圆
心角时所对弧的长， r 是圆
的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．
在弧度制的定义中， 我们是用弧长与其半径的比值来反映弧
所对的圆心角的大小的． 为什么可以用这个比值来度量角的大小
呢?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系 ?请同学们自主
学习课本 P12—P13，从课本中我们可以看出，这个比值与所取
的半径大小无关， 只与角的大小有关。 有兴趣的同学们可以对它
进行理论上的证明：
( 论证 )如图 1—13（见教材），设∠ α为 n°(n°＞ 0)的角，
圆弧 AB和 AlBl 的长分别为 l 和 l1，点 A和 Al 到点 O的距离 (即
圆的半径 )分别为 r(r ＞0)和 rl(rl ＞0)，由初中所学的弧长公式
有 l ＝ 180
n
r， l1 ＝ 180
n
r1，所以 r
l
＝ 1
1
r
l
＝ 180
n
，这表明以角 α为圆
心角所对的弧长与其半径的比值， 与所取的半径大小无关， 只与
角α的大小有关．
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同 (都
是 0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也
不同．但它们既然是表示同一个角， 那这二者之间就应该可以进
行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算．
3 ．角度制与弧度制的换算．
现在我们知道： 1个周角＝ 360°＝ r
2
r，所以，(板书 )360°
＝2πrad，由此可以得到 180°＝πrad，1°＝ 180≈0．01745rad，
1rad＝（
180
）°≈ 57.30°＝ 57°18’。
说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住 180°＝πrad
这一关系式．
今后我们用弧度制表示角时， “弧度”二字或“ rad”通常略去不
写，而只写这个角所对应的弧度数． 例如，角α＝2就表示是 2rad
的角，sin 3就表示 3 rad 的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”
或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度
数写成多少 π的形式，如无特别要求，不必把 π写成小数，如
45°＝ 4 rad ，不必写成 45°＝ 0．785弧度．
前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法， 而角度制与
弧度制可以相互转化，所以与角 α终边相同的角 (连同角 α在
内)，也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用
的单位制必须一致．
角的概念推广后， 无论用角度制还是用弧度制， 都能在角的集合
与实数集 R之间建立一种一一对应的关系： 每一个角都有唯一的
一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一
个实数也都有唯一的一个角与它对应， 就是弧度数或度数等于这
个实数的角。
【巩固深化，发展思维】
1 ．例题讲评
例 1．把 45°化成弧度。
解： 45°＝ 180×45rad＝ 4 rad.
例 2．把 5
3
rad 化成度。
解： 5
3
rad＝ 5
3
×180°＝ 108°.
例 3．利用弧度制证明扇形面积公式 S＝ 2
1
lr ，其中 l 是扇形的
弧长， r 是圆的半径。
证：∵圆心角为 1 的扇形的面积为 2
1
·πr2，又∵弧长为 l 的
扇形的圆心角的大小为 r
l
，∴扇形的面积 S＝ r
l
·2
1
·π r2＝ 2
1
lr.
2．学生课堂练习
（1）填表
度 0° 45° 60°
180
°
360
°
弧
度 6 2 2
3
说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去
进行换算．
（2）用弧度制写出终边落在 y 轴上和 x轴上的角集合。
五、归纳整理，整体认识
（1）主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊
角的弧度数。
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业：习题 1—3中的 1、2、6.
七、课后反思
§4.1 锐角的正弦函数§ 4.2 任意角的正弦函数§ 4.3 正弦函数
y＝sinx 的图像（ 2课时）
教学目标：
知识与技能
（1）回忆锐角的正弦函数定义； （2）熟练运用锐角正弦函数的
性质；（3）理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义； （4）
掌握任意角的正弦函数的定义； （5）理解有向线段的概念； （6）
了解正弦函数图像的画法； （7）掌握五点作图法，并会用此方法
画出 [0，2π] 上的正弦曲线。
过程与方法
初中所学的正弦函数， 是通过直角三角形中给出定义的； 由于我
们已将角推广到任意角的情况， 而且一般都是把角放在平面直角
坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，
从而引出单位圆； 利用单位圆的独特性， 是高中数学中的一种重
要方法，在第二节课的正弦函数图像， 以及在后面的正弦函数的
性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认
识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中， 体
会特殊与一般的关系， 形成一种辩证统一的思想； 通过单位圆的
学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生
分析问题、解决问题的能力。
二、教学重、难点
重点 : 1. 任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。
2. 正弦函数图像的画法。
难点 : 1. 正弦函数值的几何表示。
2. 利用正弦线画出 y＝sinx ，x∈ [0， 2 π]的图像。
三、学法与教学用具
在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个
角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时， 角的终边与单位圆交
于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函
数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数 y＝sinx 图像
时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再
归结为五点作图法。
教学用具 :投影机、三角板
第一课时 §4.1 锐角的正弦函数 §4.2 任意角的正
弦函数
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
我们学习角的概念的推广和弧度制， 就是为了学习三角函数。 请
同学们回忆（ 1）角的概念的推广及弧度制、象限角等概念； （2）
初中所学的正弦函数是如何定义的？并想一想它有哪些性质？
A
学生思考回答以后，教师小结。 （板书课题）
【探究新知】
在初中，我们学习了锐角 α的正弦函数值： sin α＝斜边
对边
，
如图：sinA＝ c
a
，由于 a 是直角边， c 是斜边，所 sinA∈(0，1)。
由于我们通常都是将
角 放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？
在直角坐标系中，（如图所示），设角α（α∈（0，
2））
的终边与半经为 r 的圆交于点 P（a，b），则角α的正弦值是：
sin α＝ r
b
.根据相似三角形的知识可知，对于确定的角 α， r
b
都
不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见，令 r＝1(即为单位
圆)，那么 sin α＝b，也就是说，若角 α的终边与单位圆相交于
P，则点 P的纵坐标 b就是角 α的正弦函数。
直角三角形显然不能包含所有的角， 那么，我们可以仿照锐
角正弦函数的定义．你认为该如何定义任意角的正弦函数 ?
一般地，在直角坐标系中（如上图） ，对任意角 α，它的终边与
单位圆交于点 P（a，b），我们可以唯一确定点 P（a，b）的纵坐
标 b，所以 P点的纵坐标 b是角α的函数，称为正弦函数，记作
y＝sin α (α∈R)。通常我们用 x，y 分别表示自变量与因变量，
B C a
b
c
y
P(a， b)
O
r
M
x
将正弦函数表示为 y＝sinx.
正弦函数值有时也叫正弦值 .
请同学们画图， 并利用正弦函数的定义比较说明： 3角与 3
7
角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系？它们的正弦值
有什么关系？ 3角和 3
8
角呢？－ 3角和 3
5
角呢？－ 3
2
角和－
3
14
角呢？
通过上述问题的讨论， 容易得到： 终边相同的角的正弦函数值相
等，即
sin(2k π＋α)＝sin α (k ∈Z)，说明对于任意一个角 α，每增
加 2π的整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的
变化而周期性变化的， 正弦函数是周期函数， 2kπ（k∈Z，k≠0）
为正弦函数的周期。
2π是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。一般
地，对于周期函数 f(x) ，如果它所有的周期中存在一个最小的
正数，那么这个最小的正数就叫作 f(x) 的最小正周期。
【巩固深化，发展思维】
课本 P17的思考与交流。
课本 P18的练习。
3．若点 P(—3，y)是α终边上一点，且 sin α＝— 3
2
，求 y 值．
4．若角α的顶点为坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边在
函数 y＝— 3x (x ≤0)
的图像上，则 sin α＝ 。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的
主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 §4.3 正弦函数 y＝sinx 的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活
中，有许多地方用到三角函数。今天我们来学正弦函数 y＝sinx
的图像的做法。在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，
最小正周期是 2π，所以，关键就在于画出 [0，2π ]上的正弦函
数的图像。
请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？
作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。
【探究新知】
正弦函数线 MP
下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示，
角α的终边与单位圆交于点 P（x，y），提出问题
①线段 MP的长度可以用什么来表示 ?
②能用这个长度表示正弦函数的值吗 ?如果不能，你能否设计
一种方法加以解决 ?引出有向线段的概念．
有向线段：当 α的终边不在坐标轴上时，可以把 MP看作是带方
向的线段，
y＞0 时，把 MP看作与 y 轴同向 (多媒体优势，利用计算机演示
角α终边在
一、二象限时 MP从 M到 P点的运动过程．让学生看清后定位，
α的终边
P
M O x
y
运动的方向表明与 y 轴同向 )．
y＜0 时，把 MP看作与 y 轴反向 (演示角 α终边在三、四象限时
MP从 M到 P点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表
明与 y 轴反向 )．
师生归纳：① MP是带有方向的线段，这样的线段叫有向线
段．MP是从 M→P，而 PM则是从 P→M。②不论哪种情况，都有
MP＝y．③依正弦定义，有 sin α＝MP＝y，我们把 MP叫做α的
正弦线．
(投影仪出示反馈练习 ) 当α为特殊角，即终边在坐标轴上时，
找出其正弦线。演示运动过程，让学生清楚认识到：当 α终边在
x轴上时，正弦线变为一个点，即 sin α＝0。
2．作图的步骤
边作边讲（几何画法） y=sinx x [0,2 ]
作单位圆，把⊙ O十二等分（当然分得越细，图像越精确）
十二等分后得对应于 0, 6 , 3 , 2 ,?2 等角，并作出相应的正弦
线，
将 x 轴上从 0到 2 一段分成 12等份 (2 ≈6.28) ，若变动比例，
今后图像将相应“变形”
取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合
描图（连接）得 y=sinx x [0,2 ]
（ 6）由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x [2k ，
2(k+1) ] （k Z，k 0）
与函数 y=sinx x [0,2 ]图像相同，只是位置不同——每次向
左（右）平移 2 单位长。
可以得到 y＝sinx 在 R上的图像
五点作图法：
由上图我们不难发现，在函数 y=sinx ，x [0,2 ] 的图像上，起
着关键作用的有以下五个关键点： (0,0) ( 2 ,1) ( ,0)
( 2
3
,-1) (2 ,0) 。描出这五个点后，函数 y=sinx ，x [0,2 ]
的图像的形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，
我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起
来，就得到这个函数的简图。 我们称这种画正弦曲线的方法为 “五
点法”。
【巩固深化，发展思维】
1 ．例题讲评
例 1．用“五点法”画出下列函数在区间 [0，2π]上的简图。
（1）y＝－ sinx （2）y＝1＋sinx
x
yo
-
2
-
3
-
4
1
解：（1）列表
x 0
2 π 2
3 2π
y ＝ －
sinx
0 1 0 －1 0
描点得 y＝－ sinx 的图像：（略，见教材 P22）
2 ．学生练习
教材 P22
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的
主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业
作业：习题 1—4 第 1,2 题．
四、课后反思
§4.4 正弦函数的性质（ 2 课时）
教学目标：
知识与技能
（1）进一步熟悉单位圆中的正弦线； （2）理解正弦诱导公式的
推导过程；（3）掌握正弦诱导公式的运用； （4）能了解诱导公式
之间的关系，能相互推导； （5）理解并掌握正弦函数的定义域、
值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性； （6）能熟练运
用正弦函数的性质解题。
过程与方法
通过正弦线表示 α , －α , π－α , π＋α ,2π－α , 从而体会各
正弦线之间的关系； 或从正弦函数的图像中找出 α ,－α ,π－α ,
π＋α,2 π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式； 通过正
弦函数在 R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质； 讲解例题，
总结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体
验自身探索成功的喜悦感， 培养学生的自信心； 使学生认识到转
化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科
学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点 : 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。
难点 : 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。
三、学法与教学用具
在上一节课的基础上， 运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角
的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式； 通过例题和练习
掌握诱导公式在解题中的作用； 在正弦函数的图像中， 直观判断
出正弦函数的性质， 并能上升到理性认识； 理解掌握正弦函数的
性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。
教学用具 :投影机、三角板
第一课时 正弦函数诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一节课中， 我们已经学习了任意角的正弦函数定义， 以及终
边相同的角的正弦函数值也相等，即 sin(2k π＋α )＝sin α (k
∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求 0°～
360°的角的正弦函数值。如果还能把 0°～ 360°间的角转化为
锐角的正弦函数， 那么任意角的正弦函数就可以查表求出。 这就
是我们这一节课要解决的问题。
【探究新知】
复习：（公式 1）sin(360 k+ ) = sin
对于任一 0 到 360 的角，有四种可能（其中 为不大于 90 的非
负角）
为第四象限角），当
为第三象限角），当
为第二象限角），当
为第一象限角，当
360270360
270180180
18090180
)900
（以下设 为任意角）
公式 2：
设 的终边与单位圆交于点 P(x,y) ，则 180 + 终边与单位圆交
于点 P’(-x,-y) ，由正弦线可知： sin(180 + ) = sin
4．公式 3：
如图：在单位圆中作出 α与－α角的终边，同样可得：
sin( ) = sin ,
公式 4：由公式 2和公式 3 可得：
sin(180 ) = sin[180 +( )] = sin( ) = sin ,
同理可得： sin(180 ) = sin ,
6．公式 5：sin(360 ) = sin
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
求下列函数值
（1）sin( －1650 )； （2）sin( －150 15’)； (3)sin( － 4
7
π)
x
y
o
P’(x,-y)
P(x,y)
M
x
y
o
P (x,y)
P
，
(-x,-y)
解：（1）sin( －1650 )＝－ sin1650 ＝－ sin(4 ×360 ＋210 )
＝－ sin210 ＝－sin(180 ＋30 )＝sin30 ＝ 2
1
(2) sin( －150 15’ )＝－ sin150 15’＝－ sin(180 －
29 45’)＝－sin29 45’＝－ 0.4962
(3) sin( － 4
7
π)＝sin( －2π＋ 4 )＝sin 4＝ 2
2
例 2．化简： sin3sinsin
3sin2sin
解：（略，见教材 P24）
学生练习
教材 P24练习 1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的
主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 正弦函数的性质
教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们，我们在数学一中已经学过函数， 并掌握了讨论一个函数
性质的几个角度， 你还记得有哪些吗？在上一次课中， 我们已经
学习了正弦函数的 y＝sinx 在 R上图像，下面请同学们根据图像
一起讨论一下它具有哪些性质？
【探究新知】
让学生一边看投影， 一边仔细观察正弦曲线的图像， 并思考以下
几个问题：
正弦函数的定义域是什么？
正弦函数的值域是什么？
它的最值情况如何？
它的正负值区间如何分？
?(x) ＝0的解集是多少？
师生一起归纳得出：
定义域： y=sinx 的定义域为 R
值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论： |sinx| ≤1（有
界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以 y＝sinx 的值
域为 [-1 ，1]
3．最值： 1 对于 y＝sinx 当且仅当 x＝2k ＋ 2 ,k Z时 ymax
＝1
当且仅当时 x＝2k － 2 , k Z时 ymin ＝－ 1
2 当 2k ＜x＜(2k+1) (k Z)时 y ＝sinx ＞0
当(2k-1) ＜x＜2k (k Z)时 y ＝sinx ＜0
4．周期性：（观察图象） 1 正弦函数的图象是有规律不断重复
出现的；
2 规律是：每隔 2 重复出现一次（或者说每隔 2k ,k Z重复出
现）
3 这个规律由诱导公式 sin(2k ＋x) ＝sinx 也可以说明
结论： y＝sinx 的最小正周期为 2
5.奇偶性
sin( －x) ＝－ sinx (x ∈R) y ＝sinx (x
∈R)是奇函数
6．单调性
增区间为 [－ 2＋2kπ， 2＋2kπ ]（k∈Z），其值从－ 1增至 1；
减区间为 [ 2＋2kπ， 2
3
＋2kπ ]（k∈Z），其值从 1减至－ 1。
x
－ 2
? 0 ?
2
? π ?
2
3
sin
x
－1 0 1 0 －1
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例 1．利用五点法画出函数 y＝sinx －1 的简图，根据函数图像
和解析式讨论它的性质。
解：（略，见教材 P26）
2．课堂练习
教材 P27的练习 1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有哪些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：习题 1—4第 3、4、5、6、7题．
四、课后反思
§5 余弦函数（ 2课时）
教学目标：
知识与技能
（1）了解任意角的余弦函数概念； （2）理解余弦函数的几何意
义；（3）掌握余弦函数的诱导公式； （4）能利用五点作图法作出
余弦函数在 [0 ，2π ]上的图像；（5）熟练根据余弦函数的图像推
导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）
掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
过程与方法
类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定
义的基础上， 将三角函数定义推广到更加一般的情况； 让学生通
过类比，联系正弦函数的诱导公式， 自主探究出余弦函数的诱导
公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并
能结合图像分析得到余弦函数的性质。
情感态度与价值观
使同学们对余弦函数的概念有更深的体会； 会用联系的观点看问
题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分
析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，
培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有
效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精
神。
二、教学重、难点
重点 :余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。
难点 : 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。
三、学法与教学用具
我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中， 以函数定义的
形式给出来的， 从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况； 现
在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；
同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公
式。用五点作图的方法作出 y＝cosx 在 [0，2π ]上的图像，并由
图像直观得到其性质。
教学用具 :投影机、三角板
第一课时 余弦函数的概念和诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数， sin α
＝ 斜边
邻边
。同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可
以得到余弦函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本 P30—P31.
【探究新知】
1．余弦函数的定义
在直角坐标系中，设任意角 α与单位圆交于点 P（a，b） ,
那么点 P的横坐标 a 叫做角 α余弦函数，记作： a＝cosα (α∈
R).
通常我们用 x，y 分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示
为 y＝cosx(x ∈R).
如图，有向线段 OM称为角α的余弦线。
其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角 α
的终边上任意一点 P的坐标（ a，b），求出 |OP|，记为 r，则
角α的正弦和余弦分别为： sin α＝ r
b
，cosα＝ r
a
.
在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。
2．余弦函数的诱导公式
从右图不难看出，角 α和角 2π＋α，2π－α，（－α）的终边
O
r
x
y
P(a，b)
M
π－α α
与单位圆的交点的横坐标是相同的， 所以，它们的余弦函数值相
等；
角α和角π＋α，π－α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反
数，
所以，它们的余弦函数值互为相反数。
由此归纳出公式：
cos(2 π＋α)＝cosα
cos( －α) ＝ cos α
cos(2 π－α) ＝cosα
cos( π＋α) ＝－ cosα
cos( π－α) ＝－ cosα
请同学们观察右图，角 α与角 2＋α的正弦、余弦函数值有
什么关
系？由图可知， Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点 P 的横坐标 cosα与
点 P’的纵坐标 sin( 2＋α )
相等；点 P的纵坐标 sin α与点 P’的横坐标 cos( 2＋α )互为相
反数。我们可以得到：
sin( 2＋α)＝cosα cos( 2＋α)＝－ sin α
问题与思考：验证公式 sin( 2＋α)＝cosα
π＋α
－α
x
y
o
P’
P(x,y)
M M’
cos( 2＋α)＝－ sin α
以上公式统称为诱导公式， 其中α可以是任意角。利用诱导公式，
可以将任意角的正、 余弦函数问题转化为锐角的正、 余弦函数问
题。
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例 1．已知角 α的终边经过点 P（2，－ 4）(如图 )，求角α的余
弦
函数值。
解：∵ x＝2，y＝－ 4 ， ∴ r ＝ |OP|＝2 5
∴cosα＝ r
x
＝ 5
5
例 2．如果将例 1中点 P的坐标改为（ 2t，－ 4t）(t ≠0)，那么
怎样求角 α的余弦函数值。
解：(提示：在 r＝ |OP|＝2 5 |t| 中，分 t＜0 和 t＞0两种情况，
见教材 P31)
例 3．求值：
（1）cos 6
11
（2）cos 8
9
（3）cos( － 4
3
)
（4）cos( －1650°) （5）cos( －150°15’ )
解：（1）cos 6
11
＝cos（2π－ 6）＝ cos 6＝ 2
3
2
y
－ 4
P
x
（2）cos 8
9
＝cos（π＋ 8）＝－ cos 8≈－ 0.9239
(3) 、（4）、（5）略，见教材 P33
例 4．化简： cos3coscos
3cos2cos
解：（略，见教材 P33）
学生练习
教材 P31的练习 1、2、3 和 P34 的练习 1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 余弦函数的图像与性质
教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一次课中， 我们知道正弦函数 y＝sinx 的图像，是通过等分
单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用
五点作图法得到。 那么，对于余弦函数 y＝cosx 的图像是不是也
是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？
【探究新知】
1．余弦函数 y＝cosx 的图像
由诱导公式有：
与正弦函数关系 ∵ y＝cosx＝ cos( － x) ＝sin[ 2 － (－x)] ＝
sin(x ＋ 2 )
结论：（1）y＝cosx, x R与函数 y＝sin(x ＋ 2 ) x R的图象
相同
（2）将 y＝sinx 的图象向左平移 2即得 y＝cosx 的图象
（3）也同样可用五点法作图： y＝cosx x [0,2 ]的五个点关
键是 (0,1) ( 2 ,0) ( ,-1) ( 2
3
,0) (2 ,1)
y
x o 1 -
1
2
2
3
2
2
y
x
1 －1
（ 4） 类 似地 ， 由于 终 边 相 同的 三 角 函数 性 质 y＝ cosx
x [2k ,2(k+1) ] k Z,k 0 的图像与 y ＝cosx x [0,2 ] 图
像形状相同只是位置不同（向左右每次平移 2π个单位长度）
2．余弦函数 y＝cosx 的性质
观察上图可以得到余弦函数 y＝cosx 有以下性质：
（1）定义域： y=cosx 的定义域为 R
（2）值域： y=cosx 的值域为 [－1,1] ，即有 |cosx| ≤1（有界
性）
(3) 最值：1 对于 y＝cosx 当且仅当 x＝2k ,k Z时 ymax＝
1
当且仅当时 x＝2k ＋π, k Z时 ymin ＝－ 1
2 当 2k - 2
当 2k + 2
(k Z)时 y=cosx<0
(4) 周期性： y＝cosx 的最小正周期为 2
(5) 奇偶性
cos( －x) ＝cosx (x ∈R) y ＝cosx (x ∈
x 6y o - -
1
2 3 4 5-
2
-
3
-
4
1
x
y
R)是偶函数
(6) 单调性
增区间为 [（2k－1）π， 2k π] （k∈Z），其值从－ 1增至 1；
减区间为 [2k π，（2k＋1）π ]（k∈Z），其值从 1减至－ 1。
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例 1．请画出函数 y＝cosx －1 的简图，并根据图像讨论函数
的性质。
解：（略，见教材 P36）
2．课堂练习
教材 P37的练习 1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业： P38的习题 8、9、10、11
四、课后反思
§6 正切函数（ 2课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）了解任意角的正切函数概念； （2）理解正切函数中的自变
量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切
线画出正切函数的图像； （5）熟练根据正切函数的图像推导出正
切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质； （7）掌
握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
过程与方法
类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，
比较三个三角函数之间的关系； 让学生通过类比， 联系正弦函数
图像的作法， 通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像； 能
学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的
性质。
情感态度与价值观
使同学们对正切函数的概念有一定的体会； 会用联系的观点看问
题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分
析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，
培养学生的自信心； 培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不
舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点 : 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点 : 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题
三、学法与教学用具
我们已经知道正、 余弦函数的概念是通过在单位圆中， 以函数定
义的形式给出来的， 从而把锐角的正、 余弦函数推广到任意角的
情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切
函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正
切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图
像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
教学用具 :投影机、三角板
第一课时 正切函数的定义、图像及性质
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
常见的三角函数还有正切函数， 在前两次课中， 我们学习了任意
角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。今
天我们类比正弦、 余弦函数的学习方法， 在直角坐标系内学习任
意角的正切函数，请同学们先自主学习课本 P40。
【探究新知】
正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角 α满足：α∈R，α≠ 2＋kπ(k∈Z)，
那么，角 α的终边与单位圆交于点 P（a，b），唯一确定比值 a
b
.
根据函数定义，比值 a
b
是角α的函数，我们把它叫作角 α的正切
函数，记作 y＝tanα，其中α∈R，α≠ 2＋kπ，k∈Z.
比较正、余弦和正切的定义，不难看出： tanα＝ cos
sin
( α∈R，
α≠ 2＋kπ，k∈Z).
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数
值的函数，我们统称为三角函数。
下面，我们给出正切函数值的一种几何表示 .
如右图，单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A（1 ,0 ），任意角 α
的终边与单位圆交于点 P，过点 A（1 ,0 ）作 x 轴的垂线，与角
的终边或终边的延长线相交于 T点。从图中可以看出：
当角α位于第一和第三象限时， T点位于 x 轴的上方；
当角α位于第二和第四象限时， T点位于 x 轴的下方。
分析可以得知，不论角 α的终边在第几象限，都可以构造两
个相似三角形，使得角 α的正切值与有向线段 AT的值相等。因
此，
我们称有向线段 AT为角α的正切线。
2．正切函数的图象
（1）首先考虑定义域：
zkkx
2
x
y
o
T
A
210
30
P
（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：
zkkxRxx
x
x
x
xx ,
2
,tan
cos
sin
cos
sintan 且
∴
zkkxRxxy ,
2
,tan 且
的周期为 T （最小正
周期）
（3）因此我们可选择 2
,
2 的区间作出它的图象。
根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函
数 Rxxy tan ，且
zkkx
2 的图像，称“正切曲线”
x
y
2 2
O
从上图可以看出， 正切曲线是由被相互平行的直线 x＝ 2＋kπ(k
∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的， 这些直线叫作正切曲线各支的
渐近线。
3．正切函数 y＝ tanx 的性质
引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：
zkkxx ,
2
|
，
（2）值域： R
观察：当 x从小于
zkk
2 ， 2
kx
时， xtan
2
3
2 2 2
30
y
x
当 x 从 大 于
zkk
2 ，
kx
2 时 ，
xtan 。
（3）周期性： T
（4）奇偶性： xx tantan 奇函数。
（5）单调性：在开区间
zkkk
2
,
2 内，函数单调递增。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 正切函数的诱导公式及例题讲评
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再
学图像与性质的。 在学正切函数时， 我们为什么要先学图像与性
质，再学诱导公式呢？
【探究新知】
观察下图，角 α与角 2π＋α，2π－α，π＋α，π－α，
－α的正切函数值有何关系？
我们可以归纳出以下公式： π－α，
tan(2 π＋α )＝tanα
tan( －α )＝－ tanα
tan(2 π－α )＝－ tanα
tan( π－α)＝－ tanα
tan( π＋α)＝ tanα
【巩固深化，发展思维】
例题讲评
例 1．若 tanα＝ 3
2
，借助三角函数定义求角 α的正弦函数值和
2
3
2 2 2
30
y
x
余弦函数值。
解：∵ tanα＝ 3
2
＞0，∴α是第一象限或第三象限的角
（1）如果α是第一象限的角，则由 tanα＝ 3
2
可知，角α终边上
必有一点 P（3，2） .
所以 x＝3，y＝2. ∵ r＝ |OP|＝ 13 ∴sin α＝ r
y
＝ 13
132
， cos
α＝ r
x
＝ 13
133
.
(2) 如果α是第三象限角，同理可得： sin α＝ r
y
＝－ 13
132
，
cosα＝ r
x
＝－ 13
133
.
例 2．化简： tan3tantan
3tan2tan
解：原式＝ t ant ant an
t ant an
＝ tantantan
tantan
＝
－ tan
1
.
2 ．学生课堂练习
教材 P45的练习 1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业： P45习题 A组 1—11
四、课后反思
§7 函数 y＝Asin( ωx＋φ)的性质（ 1课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）进一步理解表达式 y＝Asin( ωx＋φ )，掌握 A、φ、ωx
＋ φ 的 含 义 ；（ 2） 熟 练 掌 握 由 xy s i n 的 图 象 得 到 函 数
)()sin( RxkxAy 的图象的方法；（3）会由函数 y＝Asin( ωx
＋φ )的图像讨论其性质； （4）能解决一些综合性的问题。
过程与方法
通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数 y＝Asin( ωx
＋φ )的图像；并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总
结方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，
引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习
态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。
二、教学重、难点
重点 :函数 y＝Asin( ωx＋φ )的图像，函数 y＝Asin( ωx＋φ)
的性质。
难点 : 各种性质的应用。
三、学法与教学用具
在前面，我们讨论了正弦、 余弦、正切函数的性质， 如：定义域、
值域、最值、周期性、单调性和奇偶性，那么，对于函数 y＝Asin( ω
x＋φ)的性质会是什么样的呢？今天我们这一节课就研究这个
问题。
教学用具 :投影机、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
函数 y＝Asin( ωx＋φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，
是高中数学的重点内容， 也是高考的热点，因为，函数 y＝Asin( ω
x＋φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型， 与我们的生活息
息相关。
【探究新知】
复习提问：（1）如何由 xy sin 的图象得到函数 )sin( xAy 的图
象？
（2）如何用五点法作 )sin( xAy 的图象？
（3） 、、A 对函数 )sin( xAy 图象的影响作用
函数 )0,0(,),0),sin( AxxAy 其中 的物理意义：
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”
T：
2T
往复振动一次所需的时间，称为“周期”
f： 2
1
T
f
单位时间内往返振动的次数，称为“频率”
x ：称为相位
：x = 0 时的相位，称为“初相”
例一．函数
)
2
||,0,0(),sin( AxAy
的最小值是 2，其图
象最
高点与最低点横坐标差是 3 ，又：图象过点 (0,1) ，求函数解析
式。
解：易知： A = 2 半周期
3
2
T
∴T = 6 即
6
2
从而：
3
1
设：
)
3
1
sin(2 xy
令 x = 0 有 1sin2
又： 2
||
∴ 6 ∴所求函数解析式为
)
63
1
sin(2 xy
例二．函数 f (x) 的横坐标伸长为原来的 2 倍，再向左平移 2个
单位所得的曲线是
xy sin
2
1
的图像，试求 )( xfy 的解析式。
解：将
xy sin
2
1
的图像向右平移 2个单位得：
)
2
sin(
2
1
xy
即
xy cos
2
1
的 图 像 再 将 横 坐 标 压 缩 到 原 来 的 2
1
得 ：
xy 2cos
2
1
∴
xxfy 2cos
2
1)(
例三．求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最
小值时 x 的集合。
（1）y＝sinx －2 (2)y ＝ 3
4
sin 2
1
x (3)y ＝ 2
1
cos(3x ＋
4 )
解：（1）当 x＝2kπ＋ 2 (k∈Z)时， sinx 取最大值 1，此时函数
y＝sinx －2取最大值－ 1；
当 x＝2kπ＋ 2
3
(k∈Z)时，sinx 取最小值－ 1，此时函数 y＝sinx
－2取最小值－ 3；
（2）、（3）略，见教材 P59
例四．（1）求函数 y＝2sin( 2
1
x－ 3 )的递增区间；
（2）求函数 y＝ 3
1
cos(4x＋ 6
5
)的递减区间。
解：略，见教材 P60
【巩固深化，发展思维】
学生课堂练习：教材 P60练习 3
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业 : 习题 1-7 第 4，5，6 题．
七、课后反思
§7 函数 y＝Asin( ωx＋φ)的图象（ 2课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）熟练掌握五点作图法的实质； （2）理解表达式 y＝Asin( ω
x＋φ)，掌握 A、φ、ωx＋φ的含义；（3）理解振幅变换和周
期变换的规律，会对函数 y＝sinx 进行振幅和周期的变换； （4）
会利用平移、伸缩变换方法，作函数 y＝Asin( ωx＋φ )的图像；
（5）能利用相位变换画出函数的图像。
过程与方法
通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图
的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图
像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能利用五点作图
法，正确作出函数 y＝Asin( ωx＋φ )的图像；讲解例题，总结
方法，巩固练习。
情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学
会运用运动变化的观点认识事物； 通过学生的亲身实践， 引发学
生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；
让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点
重点 : 相位变换的有关概念，五点法作函数 y＝Asin( ωx＋φ)
的图像
难点 : 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画 y＝Asin( ωx
＋φ )的图像
三、学法与教学用具
在前面，我们知道精确度要求不高时，可以用五点作图法，是哪
五个关键点； 首先请同学们回忆， 然后通过物理学中的几个情境
引入课题；主要让学生动手实践， 两节课尽可能多地让他们画图，
教师只是加以点拨；可以从几个具体的、简单的例子开始，在适
当的时候加以推广；先分解各个小知识点，再综合在一起，上升
更高一层。
教学用具 :投影机、三角板
第一课时 y ＝sinx 和 y＝Asinx 的图像， y＝sinx 和 y ＝sin
（x＋φ）的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如 y＝Asin( ωx
＋φ )的函数，例如：在简谐振动中位移与时间表的函数关系就
是形如 y＝Asin( ωx＋φ)的函数。正因为此，我们要研究它的
图像与性质，今天先来学习它的图像。
【探究新知】
例一．画出函数 y=2sinx x R；y= 2
1
sinx x R的图象（简图）。
解：由于周期 T=2 ∴不妨在 [0,2 ]上作图，列表：
作 图：
x 0
2 2
3 2
sinx
0 1 0 -1 0
2sinx
0 2 0 -2 0
2
1
sinx
0 2
1 0 - 2
1
0
x
y
O 2
1 2
2 1
1
2
-2
-1
2
y=2sinx
y=sinx
y=
2
1 sinx
配套练习：函数 y＝ 3
2
sinx 的图像与函数 y＝sinx 的图像有什么
关系？
引导 ,观察 ,启发：与 y=sinx 的图象作比较，结论：
1．y=Asinx，x R(A>0 且 A 1)的图象可以看作把正数曲线上的
所有点的纵坐标伸长 (A>1)或缩短 (0
性质讨论：不变的有定义域、奇偶性、单调区间与单调性、周期
性
变化的有值域、最值、
由上例和练习可以看出：在函数 y＝Asinx（A＞0）中，A决定了
函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称 A为振幅。
例二．画出函数 y=sin(x+ 3 ) (x R)和 y=sin(x 4 ) (x R)的
图像（简图）。
解：由于周期 T=2 ∴不妨在 [0,2 ]上作图，列表：
x+ 3 0 2 2
3 2
x
3 6 3
2
6
7
3
5
配套练习：函数 y＝sin （x－ 15）的图像与函数 y＝sinx 的图像
有什么关系？
引导 ,观察 ,启发：与 y=sinx 的图象作比较，结论：
y=sin （x＋φ），x R(φ 0)的图象可以看作把正数曲线上的所
有点向左平移 φ (φ>0)个单位或向右平移－ φ个单位 (φ＜0＝
得到的。
性质讨论：不变的有定义域、值域、最值、周期
变化的有奇偶性、单调区间与单调性
sin(x+
3 )
0 1 0 -1 0
xO
1
1
3 4
y=sin(x-
4
)
y=sin(x+
3
)
2
y=sinx
由上例和练习可以看出：在函数 y=sin（x＋φ），x R(φ 0)中，
φ决定了 x＝0时的函数，通常称 φ为初相， x＋φ为相位。
【巩固深化，发展思维】
课堂练习： P52练习第 3题
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 y ＝sinx 和 y＝sin ωx 的图像， y ＝sinx 和 y ＝
Asin( ωx＋φ )的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
上一节课，我们已过 y＝sinx 和 y＝Asinx 的图像，y＝sinx 和 y
＝sin （x＋φ）的图像间的关系，请与 y＝Asin( ωx＋φ )比较
一下，还有什么样的我们没作过？
【探究新知】
例一．画出函数 y=sin2x x R；y=sin 2
1
x x R的图象（简图）。
解：∵函数 y=sin2x 周期 T= ∴在 [0, ]上作图
令 t=2x 则 x= 2
t
从而 sint=sin2x
列表：
t=2x 0
2 2
3 2
x 0 4 2 4
3
sin2x 0 1 0 -1 0
作图：
函数 y=sin 2
x
周期 T=4 ∴在 [0, 4 ]上作图
列表
t= 2
x
0 2 2
3 2
x 0 2 3 4
sin 2
x 0 1 0 -1 0
x
y
O 2
1
1
3 4
y=sinx
y=sin
2
1 x
y=sin2x
2 4
配套练习：函数 y＝sin 3
2
x 的图像与函数 y＝sinx 的图像有
什么关系？
引导 , 观察启发 与 y=sinx 的图象作比较，结论：
1．函数 y=sin ωx, x R (ω>0 且ω 1)的图象，可看作把正弦
曲线上所有点的横坐标缩短 (ω >1)或伸长 (0<ω<1)到原来的
1
倍（纵坐标不变）
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。
由上例和练习可以看出：在函数 y=sin ωx, x R (ω>0且ω 1)
中，ω决定了函数的周期 T＝
2
，通常称周期的倒数 f ＝ T
1
＝ 2
为频率。
例二．画出函数 y=3sin(2x+ 3 ) x R的图象。
解：周期 T= （五点法），
设
t=2x+ 3则 x= 622
3 t
t
2x+ 3 0 2 2
3 2
x 6 12 3 12
7
6
5
3sin(2x
+ 3 )
0 3 0 -3 0
y=sin(x+
3
)
y=sin(2x+
3
)
小结平移法过程（步骤）
作 y=sinx（长度为 2 的某闭区间）
得 y=sin(x+φ ) 得 y=sinωx
得 y=sin(ωx+φ ) 得 y=sin(ωx+φ )
得 y=Asin( ωx+φ )的图象，先在一
个周期闭区间上再扩充到 R 上。
沿 x轴平 移 |φ|个单位 横坐标 伸长或缩短
横坐标伸 长或缩短 沿 x轴平 移 | |个单位
纵坐标伸 长或缩短 纵坐标伸 长或缩短
x
y
O
1
1
3 46
5
63
两种方法殊途同归
【巩固深化，发展思维】
教材 P58练习 1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业 :教材 P62习题 2、3、4
四、课后反思
§8 同角三角函数的关系（ 1课时）
教学目标：
知识与技能
（1）能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系；
（2）能正确运用进行三角函数式的求值运算； （ 3）能运用同角
三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一
些三角运算的基本技巧； （4）运用同角三角函数的基本关系式进
行三角函数恒等式的证明。
过程与方法
回忆初中所学的几个三角函数之间的关系， 用高中所学的同角三
角函数之间的关系试着进行证明； 掌握几种同角三角函数关系的
应用；掌握在具体应用中的一定技巧和方法； 理解并掌握同角三
角关系的简单变形； 提高学生恒等变形的能力， 提高分析问题和
解决问题的能力。
情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位；
认识事物间存在的内在联系， 使学生面对问题养成勤于思考的习
惯；培养学生良好的学习方法， 进一步树立化归的数学思想方法。
二、教学重、难点
重点 : 同角三角函数之间的基本关系，化简与证明。
难点 : 化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。
三、学法与教学用具
在初中，学生已经见过同角三角函数之间的关系， 在高中就要求
学生能对这些关系进行证明， 最主要的还是在于运用。 主要有三
方面的应用，即计算、化简、证明。正因为这样，本节课通过例
题讲评和学生练习的形式开展教学。
教学用具 :投影机、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过， 只不过当时应
用不是很多，那么到底有哪些？它们成立的条件是什么？学习实
践中，你还发现了哪些关系？今天这节课， 我们就来讨论这些问
题。
【探究新知】
在初中我们已经知道，对于同一个锐角 α，存在关系式：
1cossin
22 tan
cos
sin
理论证明：（采用定义）
tan
cos
sin
)(
2
2
1cossincos,sin1 22222
x
y
x
r
r
y
r
x
r
y
Zkk
r
x
r
y
ryx
时，当
且
注意： 1 “同角”的概念与角的表达形式无关，
如： 13cos3sin
22
2
tan
2
cos
2
sin
2 上述关系（公式 2）都必须在定义域允许的范围内成立。
3 据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三
角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会
出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次） 。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例 1．已知 sin α＝－ 5
3
，且α在第三象限，求 cosα和 tanα .
解：∵ 1cossin
22
∴cos2α＝1－sin2 α＝1－(－ 5
3
)2＝ 25
16
又∵α在第三象限， cosα＜0 ∴cosα＝－ 5
4
，tanα＝
cos
sin
＝ 4
3
例 2．已知 的其他三角函数值。求),1,0(cos mmm
解：若 在第一、二象限，则
m
mm
2
2 1tan1sin
若 在第三、四象限，则
m
mm
2
2 1tan1sin
例 3．化简： 440sin1
2
解：原式 80cos80cos80sin1)80360(sin1
222
例 4．求证： cos
sin1
sin1
cos
证一：
22 cos
)sin1(cos
sin1
)sin1(cos
)sin1)(sin1(
)sin1(cos
左边
右边
cos
sin1
等式成立 （利用平方关系）
证二： 0cos,0sin1cossin1)sin1)(sin1(
22 且
cos
sin1
sin1
cos
（利用比例关系）
证三： cos)sin1(
)sin1(cos
cos)sin1(
)sin1)(sin1(cos
cos
sin1
sin1
cos 222
0
cos)sin1(
coscos 22
cos
sin1
sin1
cos
（作差）
2．学生课堂练习
教材 P66练习 1和 P67练习 2
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主
要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向
老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业
教材 P68习题中 1—6
七、课后反思
本章复习与小结（ 1课时）
洋浦实验中学 吴永和
教学目标：
知识与技能
（1）了解本章的知识结构体系，在整体上有一个初步的认识；
（2）加深对任意角、弧度及三角函数的理解； （ 3）掌握三角函
数的图像与性质，能利用性质进行解题； （4）掌握一定的解题方
法，形成较好的能力。
过程与方法
三角函数是一种重要的函数， 通过整理本章的各知识点以及它们
之间的联系， 帮助学生系统地认识本章内容， 从而对本章内容有
全面的认识， 上升到更高一个水平； 启发学生将本章内容与数学
1、数学 2 的横向联系，形成知识的网络化。
情感态度与价值观
通过本节的复习， 使同学们对三角函数有一个全面的认识； 以辩
证唯物主义的观点看待任何事， 养成一种科学的态度； 帮助学生
树立正确的世界观和人生观，树立远大理想，立志为国争光，为
洋浦的开发建设贡献力量。
二、教学重、难点
重点 : 三角函数定义，以及三角函数的图像与性质
难点 : 本章内容的系统掌握与灵活运用
三、学法与教学用具
师生共同整理本章的知识结构体系， 从角到角的度量， 从三角函
数的定义到它们之间的关系， 再到三角函数的图像与性质； 整理
本章出现的各种题目，从中理顺它们的关系，将它们适当归类，
提炼其中的方法，争取做到举一反三、触类旁通。
教学用具：投影仪、三角板
四、教学思路
【知识的初步整合】
任意角
的概念
角度制与
弧度制
任意角的三
角函数定义
三角函数的
图像与性质
同角三角函
数的关系
诱导公式
弧长与扇形
面积公式
【知识的概括与引申】
1．角是由射线的旋转所产生的，那么就有旋转量与旋转方向的
问题，所以必须推广到任意正角、负角和零角。为了使弧长公式
在形式上变得简单， 引进了弧度制， 这一度量单位不仅使弧长公
式、扇形面积公式得以简化， 也为定义任意角的三角函数作好了
准备。
2．同角三角函数的基本关系的作用是：已知某任意角的一种三
角函数值，就能求出另一种三角函数值。
3．诱导公式的作用是：把求任意角的三角函数值转化为求锐角
三角函数值。
4．三角函数的图像和性质是本章的重要内容，是三角函数应用
的基础。
【例题选讲】
例 1．求图中公路弯道处弧 AB的长 l（精确到 1m）
R=45
60
图中长度单位为： m
解： ∵ 3
60
∴
)(471514.345
3
mRl
已知 是第三象限角且
0
2
cos
，问 2是第几象限角？
解：∵ 2
)12()12( kk )( Zk
∴ 4
3
22
kk )( Zk 则 2是第二或第四象限
角
又∵
0
2
cos
则 2是第二或第三象限角
∴ 2必为第二象限角
例 3．已知 cos2sin ，求
的值。及 cossin2sin
cos2sin5
cos4sin 2
解： 2tancos2sin
6
1
12
2
2tan5
4tan
cos2sin5
cos4sin
5
6
14
24
1tan
tan2tan
cossin
cossin2sin
cossin2sin 2
2
22
2
2
例 4．函数 3
3tan xy
的定义域、值域，并指出它的周期性、
奇偶性、单调性。
解：由 23
3 kx
得 18
5
3
k
x
，
所求定义域为
zk
k
xRxx ,
18
5
3
,| 且
值域为 R，周期 3
T
，是非奇非偶函数。
在区间
zk
kk
18
5
3
,
183 上是增函数。
【随堂练习】 教材 P77复习题一 A组 1—11
【教学小结】
本章涉及到的主要数学思想方法有那些？你在这节课中的表现
怎样？你的体会是什么？ 【布置作业】 教材 P77复习题一 A组
12—15
【课后反思】
第二章 平面向量
2.1 从位移、速度、力到向量（ 1课时）
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；
（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，
并体会学科之间的联系 .
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻
辑思维能力
2.过程与方法
通过力与力的分析等实例， 引导学生了解向量的实际背景， 帮助
学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示； 最后
通过讲解例题， 指导学生能够发现问题和提出问题， 善于独立思
考，学会分析问题和创造地解决问题 .
3.情感态度价值观
通过本节的学习， 使同学们对向量的实际背景、 几何表示有了一
个基本的认识； 激发学生学习数学的兴趣和积极性， 陶冶学生的
情操，培养学生坚忍不拔的意志， 实事求是的科学学习态度和勇
于创新的精神 .
二 .教学重、难点
重点 : 向量及向量的有关概念、表示方法 .
难点 : 向量及向量的有关概念、表示方法 .
三 .学法与教学用具
学法： (1) 自主性学习 +探究式学习法：
(2) 反馈练习法： 以练习来检验知识的应用情况， 找出未掌握的
内容及其存在的差距 .
教学用具 :电脑、投影机 .
四 .教学设想
【创设情境】
实例：老鼠由 A向西北逃窜，猫在 B处向东追去，
问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了 .
【探究新知】
1．学生阅读教材思考如下问题
[展示投影 ]（学生先讲，教师提示或适当补充）
1. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？
既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等
注意：①数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从 19世纪末到 20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体
系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？
①几何表示法：有向线段
有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。记作： AB
注意：起点一定写在终点的前面。
A B
A(起点 )
B
（终点）
a
有向线段的长度：线段 AB的长度也叫做有向线段 AB的长
度
有向线段的三要素：起点、方向、长度
②字母表示法：也可用字母 a、b、c（黑体字）来表示，即 AB可
表示为 a（印刷时用黑体字）
3. 向量的模的概念是如何定义的？
向量 AB的大小——长度称为向量的模。
记作： | AB | 模是可以比较大小的
4.两个特殊的向量：
①零向量——长度（模）为 0 的向量，记作 0。 0的方向是任意
的 .
注意 0与 0的区别
②单位向量——长度（模）为 1 个单位长度的向量叫做单位向
量。
思考：①温度有零上零下之分， “温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
② AB与 BA是否同一向量？
答：不是同一向量。
③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向
量是否都相等？
答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量
不一定相等。
5.向量间的关系：
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作： a∥ b∥ c
规定： 0与任一向量平行
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作： a =b
规定： 0 =0
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与
起点无关。
共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，
所以平行向量也叫共线向量。
OA =a OB =b OC =c
[展示投影 ]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例题：如图，设 O是正六边形 ABCDEF的中心，①分别写出图
中与向量 OA、OB、OC相等的向量； ②分别写出图中与向量 OD、
OE、 OE共线的向量 .
a
b
c
C O B A
D E
O
A B
C F
[学习小结 ]（学生总结，其它学生补充）
①向量及其表示方法 .
②向量的模 .
③零向量与单位向量 （零向量的方向任意； 单位向量不一定相等）
④相等向量与平行向量 .
五 .作业： P86 习题 2—1
六 . 课后反思
2.2 从位移的合成到向量的加法（ 2 课时）
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边
形法则做几个向量的和向量； 能准确表述向量加法的交换律和结
合律，并能熟练运用它们进行向量计算 .
（2）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的
减向量
（3）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义 .
（4）初步体会数形结合在向量解题中的应用 .
2.过程与方法
教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法， 一方面启发我
们利用位移的合成去探索两个向量的和， 另一方面帮助我们利用
物理背景去理解向量的加法 . 然后用“相反向量” 定义向量的减
法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括
能力和逻辑思维能力 .
3.情感态度价值观
通过本节内容的学习， 使同学们对向量加法的三角形法则和平行
四边形法则有了一定的认识， 进一步让学生理解和领悟数形结合
的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法， 这样有助
于激发学生学习数学的兴趣和积极性， 实事求是的科学学习态度
和勇于创新的精神 .
二 .教学重、难点
重点 : 向量加法的概念和向量加法的法则及运算律 .
难点 : 向量的减法转化为加法的运算 .
三 .学法与教学用具
学法： (1) 自主性学习 +探究式学习法：
(2) 反馈练习法： 以练习来检验知识的应用情况， 找出未掌握的
内容及其存在的差距 .
教学用具 :电脑、投影机 .
四 .教学设想
【创设情境】
提出课题：向量是否能进行运算？
某人从 A到 B，再从 B按原方向到 C，
则两次的位移和： AB + BC = AC
若上题改为从 A到 B，再从 B按反方向到 C，
则两次的位移和： AB + BC = AC
某车从 A到 B，再从 B改变方向到 C，
则两次的位移和： AB + BC = AC
船速为 AB，水速为 BC，
则两速度和： AB + BC = AC
提出课题：向量的加法
【探究新知】
1 ．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2 ．三角形法则：
强调：
A B C
C A B
A B
C
A B
C
a+ b A A A
B
B B
C
C C
a+ b
a+ b
a a
b
b
b
a
a
① “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一
个向量的起点
②可以推广到 n个向量连加
③ aaa 00
④不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
[展示投影 ]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例 1、已知向量 a、 b，求作向量 a +b
作法：在平面内取一点，
作 aOA bAB
则 baOB
【探究新知】
3．加法的交换律和平行四边形法则
思考：上题中 b +a的结果与 a +b是否相同 验证结果相同
从而得到： 1 向量加法的平行四边形法则
2 向量加法的交换律： a +b =b +a
4．向量加法的结合律： ( a+b ) + c = a + ( b +c )（可请学生先上来
做，不足之处学生更正）
证：如图：使 aAB , bBC , cCD
则( a +b ) + c = ADCDAC
a + ( b +c ) = ADBDAB
∴( a +b ) + c =a + ( b +c)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、 任意的组合来
O A
a
a
a
b b b
A
B
C
D
a
c a+b+c
b
a+b
b+c
进行。
[展示投影 ]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例 2．如图，一艘船从 A点出发以 hkm/32 的速度
向垂直于对岸的方向行驶， 同时水的流速为 hkm/2 ，
求船实际航行的速度的大小与方向。
解：设 AD表示船垂直于对岸的速度， AB表示水流
的速度，
以 AD,AB为邻边作平行四边形 ABCD，则 AC就是船实际航行的速
度
在 ABCRt 中， 2|| AB ， 32|| BC
所以 4||||||
22 BCABAC
因为
603
2
32
tan CBACAB
【探究新知】
思考：已知 a， b，怎样求作 ba ？
这个问题涉及到两个向量相减， 到底如何运算呢？首先引入 “相
反向量”这个概念 .
5.用“相反向量”定义向量的减法
①“相反向量”的定义：与 a长度相同、方向相反的向量；记作
a
②规定：零向量的相反向量仍是零向量。 ( a) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。 a + ( a) = 0
如果 a、b互为相反向量，则 a = b, b = a, a + b =
0
③向量减法的定义： 向量 a加上的 b相反向量，叫做 a与 b 的差。
即： a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的
减法。
6.用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若 b + x = a ，则 x 叫做 a与 b的差，记作 a b
7.请同学们自己解决思考题：
ba 的作法：
方法一、已知向量 a、 b，在平
面 内 任 取 一 点 O ， 作
bOBaOA , ，则 BA ba 。即
ba 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a的终点的向量
方法二、在平面内任取一点 O，作 bOBaOA , 则 AB ba 。即 ba
也可以表示为从向量 a的起点指向向量 b的起点的向量 .
方法三、在平面内任取一点 O，作 bOBaOA , ，则由向量加法
的平行四边形法则可得 OC baba )( .
[展示投影 ]思考与讨论：
思考：从向量 a的终点指向向量 b的终点的向量是什么？（ ab ）
讨论：如右图，a∥ b时，怎样作出 ba
呢？
[展示投影 ]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
例 3.已知向量 a、b、c、d，求作向量 a b、c d。
解：在平面上取一点 O，作 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, 作
BA , DC , 则 BA = a b, DC = c d
例 4.平行四边形中， AB =a，AD = b，用 a、b表示向量 AC， DB .
解：由平行四边形法则得：
AC = a + b, DB = AB - AD = a b A B
D C
A B
C
b
a
d
c
D
O
变式一：当 a, b 满足什么条件时， a+b与 a b垂直？（|a| = |b| ）
变式二：当 a, b 满足什么条件时， |a+b| = |a b| ？（ a, b 互
相垂直）
变式三： a+b与 a b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线
方向不同）
例 5.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边
形。
证：由向量加法法则：
AB = AO +OB , DC = DO +OC
由已知： AO =OC , OB =DO
∴ AB = DC 即 AB与 CD平行且相等
∴ABCD为平行四边形
[学习小结 ]（学生总结，其它学生补充）
①向量加法的三角形法则与平行四边形法则 .
②向量加法运算律 .
③相反向量及向量减法的运算法则 .
五、评价设计
1．作业：习题 2.2 A 组第 1、2、3、4、5、6题．
2．（备选题）：
①证明：对于任意给定的向量 ba. 都有
baba
②证明：
bababa
并说明什么时候取等号？
A B
D C
O
提示：可用例 5 的图当 a、 b不共线时，由三角形两边之和大于
第三边，而两边之差小于第三边得
baBCABACba
、
baBCABACba
即
bababa
六、课后反思：
2.3 从速度的倍数到数乘向量（ 2课时）
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义 .
（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。
（3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量
表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
（4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，
平面向量的基本定理有更深刻的理解， 并能用来解决一些简单的
几何问题。
2.过程与方法：
教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：
1．“模”与“方向”两点 ) 2 ．三个运算定律（结合律，第一分
配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通
过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质） 。为
了帮助学生消化和巩固相应的知识， 教材设置了几个例题； 通过
讲解例题，指导发现知识结论， 培养学生抽象概括能力和逻辑思
维能力 .
3. 情感态度价值观
通过本节内容的学习， 使同学们对实数与向量积以及平面向量基
本定理有了较深的认识， 让学生理解和领悟知识将各学科有机的
联系起来了， 这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性， 有
助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神 .
二 .教学重、难点
重点 : 1. 实数与向量积的定义及几何意义 .
2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示
难点 : 1. 实数与向量积的几何意义的理解 .
2. 平面向量基本定理的理解 .
三 .学法与教学用具
学法： (1) 自主性学习 +探究式学习法：
(2) 反馈练习法： 以练习来检验知识的应用情况， 找出未掌握的
内容及其存在的差距 .
教学用具 :电脑、投影机 .
四 .教学设想
【探究新知】
1．思考 : （引入新课）已知非零向量 a 作出 a +a +a和
( a )+( a )+( a )
OC = BCABOA =a +a+a =3 a
PN = MNQMPQ =( a )+( a )+( a )= 3 a
讨论：① 3 a与 a方向相同且 |3 a |=3| a |
② 3 a与 a方向相反且 | 3a |=3| a |
a a a a
O A B
C
a a a a
N M Q P
2．从而提出课题： 实数与向量的积； 实数λ与向量 a的积，记作：
λ a
定义：实数 λ与向量 a的积是一个向量，记作： λ a
① |λ a |=| λ || a |
②λ>0 时λ a与 a方向相同； λ<0 时λ a与 a方向相反； λ=0 时
λ a =0（请学生自己解释其几何意义）
[展示投影 ]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）
例 1.（见 P96例 1）略
[展示投影 ]
思考：根据几何意义， 你能否验证下列实数与向量的积的是否满
足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）
结合律： λ(μ a )=( λμ ) a ①
第一分配律： (λ+μ) a =λ a+μ a ②
第二分配律： λ( a +b )=λ a +λ b ③
结合律证明：
如果λ=0，μ=0， a =0至少有一个成立，则①式成立
如果λ 0，μ 0，a 0有： |λ(μ a )|=| λ|| μ a |=| λ || μ || a |
|( λμ) a |=| λμ || a |=| λ|| μ || a |
∴| λ(μ a )|=|( λμ) a |
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与 a同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与 a反向。
从而λ(μ a )=( λμ) a
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0， a =0至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ 0，μ 0， a 0
当λ、μ同号时，则 λ a和μ a同向，
∴ |( λ+μ) a |=| λ+μ|| a |=(| λ |+| μ |)| a |
|λ a +μ a |=| λ a |+| μ a |=| λ || a |+| μ || a |=(| λ|+| μ |)| a |
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与 a同向
即： |( λ+μ ) a |=| λ a +μ a |
当λ、μ异号，当 λ>μ时 ②两边向量的方向都与 λ a同向
当λ<μ时 ②两边向量的方向都与 μ a同向
还可证： |( λ+μ) a |=| λ a +μ a |
∴②式成立
第二分配律证明：
如果 a =0，b =0中至少有一个成立，或 λ=0，λ=1则③式显然成
立
当 a 0， b 0且λ 0，λ 1时
1 当λ>0且λ 1时在平面内任取一点 O，
作 OA =a AB =b 1OA =λ a 11BA =λ b
则 OB =a +b 1OB λ a +λ b
由作法知： AB∥ 11BA 有 OAB= OA1B1 | AB |=λ | 11 BA |
∴ ||
||
||
|| 111
AB
BA
OA
OA
λ ∴△OAB∽△OA1B1
O A
B
B 1
A 1
∴ ||
|| 1
OB
OB
λ AOB= A1OB1
因此，O，B，B1在同一直线上， | 1OB |=| λ OB | 1OB 与λ OB方
向也相同
λ( a +b )=λ a +λ b
当λ<0时 可类似证明： λ ( a+b )=λ a +λ b
∴ ③式成立
【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件）
若有向量 a ( a 0 )、 b，实数 λ，使 b =λ a 则由实数与向量积
的定义知： a与 b为共线向量
若 a与 b共线 ( a 0 )且 | b |： | a |=μ，则当 a与 b同向时 b =μ a；
当 a与 b反向时 b = μ a
从而得：向量 b与非零向量 a共线的充要条件是：有且只有一个
非零实数 λ，使 b =λ a .
[展示投影 ]例题讲评（师生共同分析，学生动手做）
例 2. （见 P97例 2）略
例 3.（P97例 3 改编）如图： OA，OB不共线， P点在 AB上，求
证：存在实数 1. 且
使 OBOAOP
（证明过程与 P97例 3 完全类似；略）
思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）
A O
B
B 1
A1
P
B
A O
【巩固深化，加强基础】
1.见 P98练习 1、2、3、4题 .
2.如例 3图，OA，OB不共线，AP =t AB (t R)用 OA，OB表示 OP .
【探究新知、展示投影】
1．思考：
①．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是
唯一？
②．对于平面上两个不共线向量 1e ， 2e 是不是平面上的所有向量
都可以用它们来表示？
2．教师引导学生分析
设 1e ， 2e 是不共线向量， a是平面内任一向量
OA = 1e OM =λ1 1e OC =a =OM +ON =λ1 1e +λ
2 2e
OB = 2e ON =λ2 2e
得平面向量基本定理：如果 1e ， 2e 是同一平面内的两个不共线向
量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，
λ2使 a =λ1 1e +λ2 2e .
[注意几个问题 ]：
① 1e 、 2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底 .
② 这个定理也叫共面向量定理 .
1e
2e
a
O N B
M C
③λ1，λ2是被 a， 1e ， 2e 唯一确定的数量 .
④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组
合 .
[展示投影 ]例题讲评（教师可从中选择几个例题让学生先做， 学
生评讲，教师提示或适当补充； ）
例 4．1kg 的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图） ，
已知两细绳与水平线分别成 30