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17.2 勾股定理的逆定理
第十七章 勾股定理
第1课时 勾股定理的逆定理
学习目标
1.掌握勾股定理的逆定理，并会用它判断一个三角形是不是直角三角形.（重点）
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法.（难点）
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.
B
C
A
1.勾股定理的内容是什么?
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
b
c
a
2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4
② a＝2.5，b＝6
③ a＝4，b＝7.5
c=5
c=6.5
c=8.5
3.分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样的呢？
问题发现 感受新知
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
相传，大禹治水
时也用这类似的
方法确定直角.
活动：探究勾股定理的逆定理的证明及应用
合作探究 获取新知
如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形．
具体做法：把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第8个结钉牢（拉直绳子），这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角 .
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
猜 想:
△ABC≌ △ A′B′C′
？
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
验证:
合作探究 获取新知
证明：作Rt△A′B′C′，
使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)
∴∠C= ∠C′=900 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角.
特别说明：
合作探究 获取新知
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ， b=14 ， c=15;
解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
实战演练 运用新知
(3) a=1 ， b=2 ， c= ;
(4) a:b: c=3:4:5;
解：设a=3k,b=4k,c=5k,因为
(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
归纳
实战演练 运用新知
勾股数：
像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；
9，40，41；等等
偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17；
10，24，26；等等
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
勾股数
合作探究 获取新知
互逆命题与互逆定理
观察与思考：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
观察下列命题，它们之间有什么联系与区别？
命题1与命题2的条件与结论正好相反.
命题1与命题2的条件和结论分别什么？
合作探究 获取新知
题设与结论正好_____的两个命题叫做______命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 __________.
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是_______________，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.
相反
互逆
正确的
逆命题
合作探究 获取新知
说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
⑴两条直线平行，内错角相等；
⑵如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
⑶全等三角形的对应角相等；
⑷在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
内错角相等，两条直线平行.成立
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 不成立
对应角相等的三角形全等 . 不成立
在角平分线上的点到角的两边距离相等. 成立
实战演练 运用新知
1.小颖要求△ABC最长边上的高，测得AB=8,AC=6,BC=10,则可知最长边上的高是（ ）
A. 5 B. 0.48 C. 4.8 D.48
C
2.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=900；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
A
巩固新知 深化理解
3. 一根24m的绳子，折成三边长为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为
.
6m,8cm,10cm
直角三角形
4. 命题：对顶角相等，其逆命题是： .
相等的角是对顶角
5.如图，AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,求△ABC的面积.
解：延长AD并在截取DE=AD,
即△ABC的面积是6.
E
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗?
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
回顾与反思
看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是
否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
回顾
?
(共13张PPT)
17.2 勾股定理的逆定理
第十七章 勾股定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
学习目标
1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点）
2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的
数学问题.（难点）
1.勾股定理及其逆定理的内容：
a2+b2=c2(a,b为直角边，c斜边）
Rt△ABC
勾股定理：
勾股定理的逆定理：
a2+b2=c2
(a,b为较短边，c为最长边）
Rt△ABC，且∠C是直角.
2.等腰△ ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是 cm.
8
3.已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为 三角形， 是最大角.
直角
∠A
问题发现 感受新知
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
N
E
P
Q
R
1
2
勾股定理的逆定理的应用
合作探究 获取新知
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24,
PR=12×1.5=18,
QR=30.
因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=450，即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
勾股定理及其逆定理在解决航海问题时，理解方位角的含义是前提，画出符合题意的图形，标明已知条件，转化为解决直角三角形问题所需的条件.
归纳
合作探究 获取新知
例2 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
提示
A
D
B
C
3
4
13
12
实战演练 运用新知
A
D
B
C
3
4
13
12
解：连接AC.
四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是”黄金搭挡”，经常配套使用.
归纳
如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC
=90°，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.
A
B
C
3
4
13
12
D
解：连接AC，
∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，
∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，
又∵AC＞0，
∴AC=5，
又∵BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=169，
又∵AB2=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=24(m2)．
实战演练 运用新知
1.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A.4 B.6 C.16 D.55
C
2. 如图,△ABC的顶点A,B,C,在边长为1的正方形方格的格点上，BD⊥AC于点D,则BD的长为（ ）
A. B. C. D.
a
b
c
l
第1题
A
B
C
D
第2题
C
巩固新知 深化理解
3. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向.
东
医院
公园
超市
北
65°
4.如图，等边三角形的边长为6，则高AD的长是 ；这个三角形的面积是 .
A
B
C
D
5. 如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=6,将矩形沿AC折叠，点D落在E处，则重叠部分△AFC的面积是多少?
解：
?
解得AF=
△AFC的面积是
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗?
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
回顾与反思
看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理
勾股定理的逆定理的应用
应用
航海问题
方法
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题.
四边形问题
回顾
?
