安徽省池州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题(word版）

2018 - 2019学年第一学期期末考试卷
高二文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线2x﹣y﹣12＝0的斜率为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．已知p：x＞2，q：x2﹣x﹣2＞0，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（　　）
A．若l⊥α，α⊥β，则l?β B．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
4．命题“?x∈R，x2﹣2x+2≥0”的否定是（　　）
A．?x∈?，x2﹣2x+2≥0 B．?x∈R，x2﹣2x+2＜0
C．?x0∈R，x02﹣2x0+2≥0 D．?x0∈R，x02﹣2x0+2＜0
5．已知函数y＝x2﹣x在x＝2处的切线为l，则直线l与两坐标轴围成的三角形面积为（　　）
A．3 B．4 C． D．
6．已知命题p：f（x）＝cosx是周期函数；命题q：若m＞0，则关于x的方程x2+mx+m＝0有两个不相等的实数根．下列说法正确的是（　　）
A．“p∨q”为真命题 B．“p∧q”为真命题
C．“￢p”为真命题 D．“￢q”为假命题
7．已知长方体ABCD﹣A′B'C′D'中，AB＝2，BC，AA'＝3，则该长方体外接球的表面积为（　　）
A．8π B．12π C．16π D．18π
8．已知⊙C1：x2+y2＝1和⊙C2：x2+y2﹣4x＝0，则两个圆的公共弦长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图是某圆锥的三视图，A，B为圆锥表面上两点在正视图中的位置，其中B为所在边中点，则在该圆锥侧面上A，B两点最短的路径长度为（　　）

A． B． C． D．3
10．圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0被动直线mx+y＝2m+1（m∈R）截得的弦长的最小值为（　　）
A． B． C．4 D．
11．在平面直角坐标系xOy中，A，B，C分别为函数y＝lnx图象上的三点，横坐标依次为2，e，3（e为自然对数的底数），则直线OA，OB，OC的斜率k1，k2，k3的大小关系为（　　）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1 C．k1＜k3＜k2 D．k3＜k1＜k2
12．已知正方体ABCD﹣A'B′C′D′棱长为3，点P在棱AB上，满足PA＝2PB，过点P的平面α与BD′垂直，则平面α截正方体所得截面面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．命题“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”的逆否命题是　 　．
14．若函数f（x）＝axlnx（a∈R）的最小值为﹣1，则实数a＝　 　．
15．若动点A，B分别在两条平行直线l1：2x+y﹣7＝0和l2：4x+my+1＝0上，则AB的最小值为　 　．
16．若函数f（x）＝ex﹣ax＞0恒成立，则实数a的取值范围是　 　．
三、解答题：本题共6题，满分70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17．已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程．
18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB中点，PC＝3PE．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面PBC；
（Ⅱ）在AC上是否存在一点M，使得MB∥平面ADE？若存在，请确定点M的位置，并说明理由．

19．已知函数f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求证：f（x）在R上单调递增；
（Ⅱ）若f（x）的极大值为0，求f（x）的极小值．
20．如图四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，∠ABC＝∠BCD＝90°，PD＝DC＝BCAB＝2，M为CD的中点，点N在PB上，且PNPB．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣BMN的体积．

21．已知函数f（x）＝xlnx+a在x＝x0处的切线方程为y＝2x﹣e．
（Ⅰ）求实数a及x0的值；
（Ⅱ）若g（x）有两个极值点，求实数k的取值范围．
22．已知动点P到两定点M（﹣3，0），N（3，0）的距离满足|PM|＝2|PN|．
（Ⅰ）求证：点P的轨迹为圆；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中轨迹为⊙C，过定点（0，1）的直线l与⊙C交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线l的方程．



一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A
2．A
3．C
4．D
5．C
6．A
7．C
8．C
9．A
10．B
11．C
12．B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．若x＝1且y＝2”则x+y＝3．
14． e．
15．．
16．由题意得，只要f（x）min＞0即可；
∵f′（x）＝ex﹣a，
当a＞0时，令f′（x）＝0，解得：x＝lna，
令f′（x）＜0，解得：x＜lna，f（x）单调递减；
令f'（x）＞0，解得：x＞lna，f（x）单调递增；
故f（x）在x＝lna时，f（x）有最小值，f（x）min＝f（lna）＝a（1﹣lna）；
若f（x）＞0恒成立，
则a（1﹣lna）＞0，解得：0＜a＜e．
当a＝0时，f（x）＝ex＞0恒成立；
当a＜0时，f'（x）＝ex﹣a＞0，f（x）单调递增，f（x）无最小值，不合题意，舍去．
综上，实数a的取值范围是：0≤a＜e，
三、解答题：本题共6题，满分70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17．（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3），
故边AC所在直线的方程为：，
即3x﹣y+9＝0，
（2）BC边上的中点D（0，2），
故BC边上的中线AD所在直线的方程为，
即2x﹣3y+6＝0，
（3）BC边斜率k，
故BC边上的高AE的斜率k＝2，
故BC边上的高AE所在直线的方程为：y＝2（x+3），
即2x﹣y+6＝0．
18．（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AD，
∵PA＝AB，D为PB中点，∴AD⊥PB，
∵BC∩PB＝B，∴AD⊥平面PBC，
∵AD?平面ADE，∴平面ADE⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：在AC上存在一点M，使得MB∥平面ADE，
证明如下：
取EC中点M，连结BM，
∵D为PB中点，PC＝3PE，∴BM∥DE，
∵DE?平面ADE，BM?平面ADE，
∴在AC上存在一点M，M是CE中点，使得MB∥平面ADE．

19．（Ⅰ）证明：当a＝1时，f（x）＝2x3﹣6x2+6x，
∴f'（x）＝6x2﹣12x+6＝6（x﹣1）2≥0，
∴函数f（x）在R上单调递增；
（Ⅱ）∵函数f（x）＝2x3﹣3（a+1）x2+6ax，
∴f'（x）＝6x2﹣6（a+1）x+6a＝6（x﹣1）（x﹣a），
∵f（x）的极大值为0，∴a≠1，
令f'（x）＝0得：x1＝1，x2＝a，
①当a＜1时，列表：
x （﹣∞，a） a （a，1） 1 （1，+∞）
f'（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴f（x）的极大值为f（a）＝2a3﹣3a2（a+1）+6a2＝0，解得a＝3，
∴f（x）的极小值为f（1）＝2﹣3（a+1）+6a＝8，
②当a＞1时，列表：
x （﹣∞，1） 1 （1，a） a （a，+∞）
f'（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴f（x）的极大值为f（1）＝2﹣3（a+1）+6a＝0，解得a，
∴f（x）的极小值为f（a）＝2a3﹣3a2（a+1）+6a2．
20．（Ⅰ）证明：在AB上取一点H，使得，
∵，M为CD中点，
∴DM＝AH，
又∠ABC＝∠BCD＝90°，则AB∥CD，即DM∥AH，
∴四边形AHMD为平行四边形，
∴HM∥AD，
又HM不在平面PAD内，AD在平面PAD内，
∴HM∥平面PAD，
∵PNPB．，
∴NH∥PA，
又NH不在平面PAD内，PA在平面PAD内，
∴NH∥平面PAD，
又NH∩HM＝H，且都在平面NMH内，
∴平面NHM∥平面PAD，
又MN在平面NHM内，
∴MN∥平面PAD；
（Ⅱ），其中hN表示点N到平面ABM的距离，显然，，故，
而，
∴，即三棱锥A﹣BMN的体积为2．

21．（Ⅰ）∵f'（x）＝lnx+1，
∴f'（x0）＝lnx0+1＝2，∴x0＝e，
又∵x0lnx0+a＝2x0﹣e，∴a＝0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）＝xlnx，
∴g（x）＝lnx﹣x，x＞0，
∴g'（x），
∵g（x）有两个极值点，
∴方程x2﹣x﹣k＝0有两个不相等的正实根，
∴，即，解得：k＜0，
∴实数k的取值范围为（，0）．
22．（Ⅰ）设P（x，y），则由|PM|＝2|PN|，得（x+3）2+y2＝4[（x﹣3）2+y2]，
化简得x2+y2﹣10x+9＝0，即（x﹣5）2+y2＝16，所以点P的轨迹为圆；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C（﹣5，0），r＝4，因为直线l与⊙C交于A，B两点，故直线斜率存在且不为0，
不妨设直线l的方程为：y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0，
则圆心C到直线l的距离d，
而S△ABC?d?2d?8，
当且仅当d，即d＝2时“＝”成立，
所以当d＝2时，S△ABC有最大值为8，此时d2，解得k＝1或k
则直线l的方程为：x﹣y+1＝0或x+y﹣1＝0．