2.2匀变速直线运动的规律推论公式学案 PDF版含答案

课时 2 匀变速直线运动的推论公式
[ 学习目标 ] 1. 会推导速度与位移的关系式，并知道关系式中各物理量的含义 .2. 会用公式 vt 2
－v02＝2as 进行分析和计算 .3. 掌握初速度为零的匀变速直线运动的几个典型的比例式 .4. 会
用匀变速运动的公式解决落体运动问题．
速度与位移的关系式
1．公式： v t
2
－ v0
2
＝2as.
2．推导
速度公式 vt＝v0＋at .
位移公式 s＝ v0t＋
1
2at
2.
由以上两式可得： v t 2－ v02＝2as.
1．判断下列说法的正误．
(1) 公式 v t
2
－ v0
2
＝2as适用于所有的直线运动． ( × )
(2) 确定公式 vt 2－v02＝2as中的四个物理量的数值时， 选取的参考系应该是统一的． ( √ )
(3) 因为 v t 2－ v02＝2as，vt 2＝v02＋2as，所以物体的末速度 vt 一定大于初速度 v0.( × )
(4) 在公式 v t 2－v02＝2as中， a为矢量，与规定的正方向相反时 a取负值． ( √ )
2．中国到 2030 年将拥有 4 个完整的处于现役状态的航母作战编队，第三艘航空母舰已在江
南造船厂开工建设．航母上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知“歼－ 15”型战斗机在跑道上
加速时产生的加速度为 4.5m/s 2，起飞速度为 50 m/s，若该飞机滑行 100m时起飞，假设跑道
水平，则弹射系统必须使飞机具有的初速度为 ________．
答案 40m/s
解析 根据公式 v t
2
－v0
2
＝2as
代入数据解得 v0＝40m/s.
一、速度位移公式的应用
如果你是机场跑道设计师， 若已知飞机的加速度为 a，起飞速度为 v，则跑道的长度至少为多长？
答案
v2
2a
解析 飞机起飞所用时间 t ＝
v
a
，起飞发生的位移 s＝
1
2at
2
＝
1
2a
v
a
2
＝
v
2
2a
.
1．适用范围：速度与位移的关系 v t
2
－v0
2
＝ 2as 仅适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性： vt 2－v02＝2as是矢量式， v0、v t、a、s 都是矢量，解题时一定要先设定正
方向，一般取 v0方向为正方向：
(1) 若加速运动， a取正值，减速运动， a取负值．
(2) s＞0，位移的方向与初速度方向相同， s＜ 0则为减速到 0，又反向运动到计时起点另一侧
的位移．
(3) vt＞0，速度的方向与初速度方向相同， vt＜0则为减速到 0，又反向运动的速度．
注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性．
3．公式的特点：不涉及时间， v0、vt、 a、s 中已知三个量可求第四个量．
例 1 长 100m的列车通过长 1000m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是
10m/s，完全出隧道时的速度是 12 m/s ，求：
(1) 列车过隧道时的加速度是多大？
(2) 通过隧道所用的时间是多少？
答案 (1)0.02m/s
2
(2)100s
解析 (1) s＝1000m＋100m＝1100m，v0＝10m/s，
v t＝12m/s，由 vt 2－v02＝2as得，
加速度 a＝
v t 2－v02
2s
＝0.02m/s 2.
(2) 由 v t＝v0＋at 得
所用时间为 t ＝
vt－v0
a ＝
12－10
0.02 s＝100s.
解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法
1．如果题目中无位移 s，也不让求 s，一般选用速度公式 v t＝v0＋at；
2．如果题目中无末速度 v t，也不让求 v t，一般选用位移公式 s＝ v0t＋
1
2at
2
；
3．如果题目中无运动时间 t，也不让求 t ，一般选用导出公式 v t 2－ v02＝2as.
针对训练 1 (2018·哈师大附中高一期中 )假设某列车在某一路段做匀加速直线运动，速度
由 10m/s 增加到 30 m/s 时的位移为 s，则当速度由 30m/s 增加到 50 m/s 时，它的位移是 ( )
A．sB．1.5 sC．2sD．2.5 s
答案 C
解析 根据 v t 2－v02＝2as，速度由 10m/s 增加到 30 m/s 时， (30m/s) 2－ (10 m/s) 2＝2as；速
度由 30m/s 增加到 50 m/s 时， (50m/s) 2－(30 m/s) 2＝2as′.联立解得 s′＝ 2s，选项 C正确．
例 2 一列从车站开出的火车， 在平直轨道上做匀加速直线运动， 已知这列火车的长度为 l，
火车头经过某路标时的速度为 v1，而车尾经过此路标时的速度为 v2，求：
(1) 火车中点经过此路标时的速度大小 v；
(2) 整列火车通过此路标所用的时间 t .
答案 (1)
v12＋v22
2 (2)
2l
v1＋v2
解析 火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为 v1，前进位
移 l ，速度变为 v2，所求的 v 是经过
l
2
处的速度，其运动简图如图所示．
(1) 前一半位移
l
2，
2
2
lv －v1
2
＝2a·
l
2
后一半位移
l
2， v2
2
－
2
2
lv ＝2a·
l
2
所以有
2
2
lv －v1
2
＝v2
2
－
2
2
lv ，故
2
lv ＝
v12＋v22
2 .
(2) 火车的平均速度 v ＝
v1＋v2
2
故所用时间 t ＝
l
v
＝
2l
v1＋v2.
中间位置的速度与初、末速度的关系
在匀变速直线运动中，某段位移 s 的初、末速度分别是 v0和 v t，加速度为 a，中间位置的速
度为
2
sv ，则
2
sv ＝
v02＋v t 2
2 .( 请同学们自己推导 )
二、初速度为零的匀加速直线运动的比例式
例 3 飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看成初速度为零的匀加
速直线运动．若一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，求汽车：
(1)1s 末、 2s 末、 3s 末瞬时速度之比；
(2)1s 内、 2s 内、 3s 内的位移之比；
(3) 第 1s 内、第 2s 内、第 3s 内的位移之比；
(4) 经过连续相同位移， 1m末、 2m末、 3m末的瞬时速度之比；
(5) 第 1m内、第 2m内、第 3m内所用时间之比．
答案 (1)1 ∶2∶3 (2)1 ∶4∶9 (3)1 ∶3∶5
(4)1 ∶ 2∶ 3 (5)1 ∶( 2－1)∶( 3－ 2)
解析 (1) 由 v＝at 知： v1∶v2∶v3＝1∶2∶3
(2) 由 s＝
1
2at
2
得： s1∶s2∶s3＝1∶22∶32＝1∶4∶9
(3) 第 1s 内位移 sⅠ＝
1
2a×1
2
第 2s 内位移 sⅡ＝
1
2a×2
2
－
1
2a×1
2
＝
1
2a×3
第 3s 内位移 sⅢ＝
1
2a×3
2
－
1
2a×2
2
＝
1
2a×5
故 sⅠ∶sⅡ∶sⅢ＝1∶3∶5
(4) 由 v2＝2as得： v＝ 2as
得： v1′∶ v2′∶ v3′＝1∶ 2∶ 3.
(5) 由 s＝
1
2at
2
得：通过第 1m所用时间 t I＝
2
a，通过第 2m所用时间 t Ⅱ＝ t 2－ t 1＝ ( 2－1)
2
a
同理经过第 3m所用时间 t Ⅲ＝ t 3－ t 2＝ ( 3－ 2)
2
a
所以有 t Ⅰ∶ t Ⅱ∶ t Ⅲ＝1∶( 2－1)∶( 3－ 2)．
1．初速度为 0的匀加速直线运动，按时间等分 (设相等的时间间隔为 T)，则：
(1) T末、 2T末、 3T末、?、 nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶?∶ vn＝1∶2∶3∶?∶ n.
(2) T内、 2T内、 3T内、?、 nT内的位移之比为：
s1∶s2∶s3∶?∶ sn＝12∶22∶32∶?∶ n2.
(3) 第一个 T内、第二个 T内、第三个 T内、?、第 n个 T内的位移之比为：
s1′∶ s2′∶ s3′∶?∶ sn′＝1∶3∶5∶?∶ (2 n－1)．
2．初速度为 0的匀加速直线运动，按位移等分 (设相等的位移为 s)的比例式
(1) 前 s 末、前 2s 末、前 3s末、?、前 ns末的瞬时速度之比为： v1′∶ v2′∶ v3′∶?∶ vn′
＝1∶ 2∶ 3∶?∶ n.
(2) 通过前 s、前 2s、前 3s、?、前 ns 的位移所用时间之比为： t 1∶ t 2∶ t 3∶?∶ t n＝
1∶ 2∶ 3∶?∶ n.
(3) 通过连续相同的位移所用时间之比为：
t 1′∶ t 2′∶ t 3′∶?∶ t n′＝1∶( 2－1)∶( 3－ 2)∶?∶( n－ n－1)．
例 4 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下 (斜面足够长 )，已知小球在第 4s末的速度为 4m/s.
求：
(1) 第 6s 末的速度大小；
(2) 前 6s 内的位移大小；
(3) 第 6s 内的位移大小．
答案 (1)6m/s (2)18m (3)5.5m
解析 (1) 由于第 4s 末与第 6s 末的速度之比 v4∶v6＝4∶6＝2∶3
故第 6s末的速度 v6＝
3
2v4＝ 6m/s
(2) 由 v4＝at 4得 a＝
v4
t 4
＝
4m/s
4s ＝1m/s
2.
所以第 1s 内的位移 s1＝
1
2a×1
2m＝0.5m
第 1s 内与前 6s内的位移之比 s1∶s6＝12∶62
故前 6s内小球的位移 s6＝36s1＝18m
(3) 第 1s 内与第 6s 内的位移之比 sⅠ∶sⅥ＝1∶(2×6－ 1) ＝1∶11
故第 6s内的位移 sⅥ＝11sⅠ＝5.5m.
针对训练 2 (多选 )如图 1 所示，在水平地面上固定着三个完全相同的木块， 一颗子弹 (可视
为质点 )以水平初速度 v射入．若子弹在木块中做匀减速直线运动， 当穿透第三个木块时速度
恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为 ( )
图 1
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝ 3∶ 2∶1
C． t 1∶t 2∶ t 3＝1∶ 2∶ 3
D． t 1∶t 2∶ t 3＝ ( 3－ 2)∶( 2－1)∶1
答案 BD
解析 把子弹的运动看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动， 子弹由右向左依次“穿出”3 个
木块的速度之比为 1∶ 2∶ 3，则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比 v1∶v2∶v3
＝ 3∶ 2∶1，故 B正确．子弹从右向左， 通过每个木块的时间之比为 1∶( 2－1)∶( 3－
2)，则子弹实际运动穿过每个木块的时间之比为 t 1∶t 2∶ t 3＝ ( 3－ 2)∶( 2－1)∶1，故
D正确．
1．(速度与位移关系的理解与应用 )汽车紧急刹车后， 停止转动的车轮会在水平地面上滑动直
至停止，在地面上留下的痕迹称为刹车线．由刹车线的长短可知汽车刹车前的速度．已知汽
车刹车做减速运动的加速度大小为 8.0m/s 2，测得刹车线长 25m．汽车在刹车前的瞬间的速度
大小为 ( )
A．10 m/s B ．20 m/s C ．30 m/s D ．40 m/s
答案 B
解析 由匀变速直线运动速度与位移的关系式 vt 2－ v02＝2as 得到汽车在刹车前的瞬间的速度
大小 v0＝ －2as＝ －2× －8 ×25m/s＝20 m/s ，故 B正确．
2.( 速度与位移关系的理解与应用 )如图 2所示，物体 A在斜面上由静止匀加速滑下 s1后，又
匀减速地在水平平面上滑过 s2后停下，测得 s2＝ 2s1，则物体在斜面上的加速度 a1与在水平
平面上的加速度 a2的大小关系为 ( )
图 2
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝
1
2a2 D．a1＝4a2
答案 B
解析 设匀加速运动的末速度为 v t，对于匀加速直线运动阶段有： v t 2＝ 2a1s1，
对于匀减速运动阶段，采用逆向思维有： vt
2
＝2a2s2，
联立两式解得
a1
a2＝
s2
s1＝2，即 a
1＝2a2.
3．(初速度为零的比例式 )一个物体从静止开始做匀加速直线运动， 它在第 1s 内与第 2s 内的
位移之比为 s1∶s2，在走完第 1 m时与走完第 2 m时的速度之比为 v1∶v2. 以下说法正确的是 ( )
A．s1∶s2＝1∶3， v1∶v2＝1∶2
B．s1∶s2＝1∶3， v1∶v2＝1∶ 2
C．s1∶s2＝1∶4， v1∶v2＝1∶2
D．s1∶s2＝1∶4， v1∶v2＝1∶ 2
答案 B
4．(速度和位移关系的理解与应用 )(2019 ·辉县一中段考 )“神舟五号”载人飞船的返回舱在
距地面 10km时开始启动降落伞装置，速度减至 10m/s，并以这个速度在大气中匀速降落，在
距地面 1.2 m 时，返回舱的 4 台缓冲发动机开始向下喷火，舱体再次减速．设最后减速过程
中返回舱做匀减速运动，并且到达地面时速度恰好为 2 m/s ，求最后减速阶段的加速度．
答案 见解析
解析 在匀减速阶段，初速度 v0＝10m/s，
末速度 vt＝2m/s，
位移 s＝1.2m，根据 v t 2－v02＝2as得：
a＝
vt 2－v02
2s
＝
22－102
2×1.2 m/s
2
＝－ 40 m/s 2
负号表示加速度方向竖直向上．
一、选择题
考点一 速度与位移关系的理解与应用
1．在交通事故分析中， 刹车线的长度是很重要的依据， 刹车线是汽车刹车后， 停止转动的轮
胎在地面上滑动时留下的痕迹．在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是 14m，假设汽车刹
车时的速度大小为 14m/s，则汽车刹车时的加速度大小为 ( )
A．7 m/s 2 B ．17 m/s 2 C ．14 m/s 2 D ．3.5 m/s 2
答案 A
解析 设汽车开始刹车时速度的方向为正方向，由 02－ v02＝2as得 a＝
－v02
2s ＝－7 m/s
2
，A正确．
2．如图 1 所示，一辆正以 8m/s 的速度沿直线行驶的汽车， 突然以 1 m/s 2的加速度加速行驶，
则汽车行驶了 18m时的速度为 ( )
图 1
A．8 m/s B ． 12 m/s C ．10 m/s D ．14 m/s
答案 C
解析 由 vt 2－v02＝ 2as得 v t＝ v0 2＋2as＝ 82＋2×1×18 m/s＝ 10 m/s ，C正确．
3．如图 2 所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由 5m/s 增加到 10 m/s
时位移为 s. 则当速度由 10m/s 增加到 15 m/s 时，它的位移是 ( )
图 2
A.
5
2sB.
5
3sC．2sD．3s
答案 B
解析 由 vt 2－v02＝ 2as得 102－ 52＝2as, 152－102＝2as′；两式联立可得 s′＝
5
3s，故 B正确．
4．一滑雪运动员由静止开始沿足够长的斜坡匀加速下滑．当下滑距离为 l 时，速度为 v，那
么，当他的速度是
v
2
时，下滑的距离是 ( )
A.
l
2
B.
2l
2
C.
l
4
D.
3l
4
答案 C
解析 由 vt 2－v02＝ 2as知 v t 2＝2al ；当速度为
vt
2时有 (
vt
2)
2
＝2al 1，得 l 1＝
v t 2
8a＝
l
4，C正确．
5．物体的初速度是 v0，以不变的加速度 a做直线运动，如果要使速度增加到初速度的 n倍，
那么经过的位移是 ( )
A.
v0
2
2a( n
2
－1) B.
v0
2
2a( n－1)
C.
v02
2an
2 D.
v02
2a
( n－1) 2
答案 A
解析 由公式 vt 2－v02＝2as 知， ( nv0) 2－v02＝ 2as，得 s＝
v02
2a( n
2
－1)，A正确．
6.如图 3 所示，木块 A、B并排且固定在水平地面上， A的长度是 L，B的长度是 2L，一颗子
弹沿水平方向以 v1射入 A，以速度 v2穿出 B，子弹可视为质点，其运动可视为匀变速直线运
动，则子弹穿出 A时的速度为 ( )
图 3
A.
2v1＋v2
3
B.
2v12＋v22
3
C.
v12＋v22
3
D.
2
3v1
答案 B
解析 设子弹运动的加速度大小为 a，子弹穿出 A时的速度为 v，子弹在 A中运动的过程中，
有 v2－v12＝－ 2aL，子弹在 B 中运动的过程中，有 v22－v2＝－ 2a·2L，两式联立可得 v＝
2v12＋v22
3 .故正确答案为 B.
7． (多选 )从不同高度做自由落体运动的甲、乙两物体，质量之比为 2∶1，下落高度之比为
1∶2，则 ( )
A．下落时间之比是 1∶2
B．落地速度之比是 1∶1
C．落地速度之比是 1∶ 2
D．下落过程中的加速度之比是 1∶1
答案 CD
解析 由自由落体运动的规律知，自由落体运动快慢与物体的质量无关，高度 s＝
1
2gt
2
，故 t
＝
2s
g，故下落时间之比是 1∶ 2，选项 A错误；由 v＝ 2gs知落地速度之比是 1∶ 2，
选项 B错误， C正确；自由落体运动的加速度与物体的质量无关，与高度无关，选项 D正确．
考点二 初速度为零的匀变速直线运动的比例式的应用
8．质点从静止开始做匀加速直线运动，在第 1 个 2s、第 2 个 2s 和第 5 个 2s内三段位移之
比为 ( )
A．1∶4∶25 B．2∶8∶7
C．1∶3∶9 D．2∶2∶1
答案 C
解析 质点做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为
1∶3∶5∶?∶ (2 n－1) ，所以质点在第 1 个 2s、第 2个 2s 和第 5 个 2s 内的三段位移之比为
1∶3∶9，因此选 C.
9.( 多选 )如图 4所示，一个滑块从斜面顶端 A由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动到达
底端 C，已知 AB＝BC，则下列说法正确的是 ( )
图 1
A．滑块到达 B、C两点的速度之比为 1∶2
B．滑块到达 B、C两点的速度之比为 1∶ 2
C．滑块通过 AB、BC两段的时间之比为 1∶ 2
D．滑块通过 AB、BC两段的时间之比为 ( 2＋1)∶1
答案 BD
解析 方法一 根据匀变速直线运动的速度位移公式： vt 2＝2as，解得： vt＝ 2as，因为经
过 B、C两点的位移比为 1∶2，则通过 B、C两点的速度之比为 1∶ 2，故 B正确， A错误；
设 AB段、BC段的长度为 L，所经历的时间分别为 t 1、t 2，根据匀变速直线运动的位移时间公
式： L＝
1
2at
1
2
和 2L＝
1
2a( t
1＋ t 2) 2，联立可得：
t 1
t 2
＝
2＋1
1 ，故 D正确， C错误．
方法二 比例关系
初 速 度为 零 的 匀 变速 直 线 运动 通 过 连 续相 等 的 位 移所 用 时 间 之 比 为 1∶( 2－
1)∶( 3－ 2)∶?∶( n－ n－1)，所以滑块通过 AB、BC两段的时间之比为 1∶( 2－1)
＝ ( 2＋1)∶1， D正确， C错误；前 s 末、前 2s 末、前 3s末、?、前 ns末的瞬时速度之比
为 1∶ 2∶ 3∶?∶ n，A错误， B正确．
10．一石块从楼房阳台边缘向下做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的时间分为相等
的三段，如果它在第一段时间内的位移是 1.2m，那么它在第三段时间内的位移是 ( )
A．1.2mB．3.6mC．6.0mD．10.8m
答案 C
解析 将该自由落体运动的时间分成了相等的三段，由其规律知：第 T内、第 2T内、第 3T
内的位移之比为 sⅠ∶sⅡ∶sⅢ＝1∶3∶5，第一段时间内的位移为 1.2m，则第三段时间内的位
移为 s＝1.2×5m＝ 6.0m，故选 C.
二、非选择题
11．一列以 60m/s 的速度匀速行驶的火车由于遇到突发事故而关闭发动机做匀减速直线运动，
火车从关闭发动机开始到速度减为 20 m/s 时共前进 3200m．求：
(1) 火车减速时加速度的大小；
(2) 火车继续减速至停止还要前进多远的距离？
答案 (1)0.5m/s
2
(2)400m
解析 (1) 设火车减速时加速度为 a，则对火车速度从 60m/s 减为 20 m/s 的过程，有
a＝
vt 2－v02
2s1
＝－ 0.5m/s 2
则火车减速时加速度的大小为 0.5m/s 2.
(2) 设火车继续减速 s2的距离后停下
则 0－v t 2＝2as2
s2＝
0－vt
2
2a ＝400m.
12．小汽车在嘉峪关至山丹高速公路上行驶限速为 120km/h，冬天大雾天气的时候高速公路
经常封路，以免发生严重的交通事故．如果某人大雾天开车在此段高速公路上行驶时，能见
度 (观察者与能看见的最远目标间的距离 )为 50 m，该人的反应时间为 0.5 s ，汽车刹车时能
产生的最大加速度的大小为 5 m/s 2，为安全行驶，汽车行驶的最大速度是多大？
答案 20m/s
解析 设汽车行驶的最大速度大小是 v，发现危险目标时，在反应时间内 s1＝vt ＝0.5s· v；
刹车过程中，由 v末2－v初2＝2as，代入数据得 0－v2＝2×(－ 5m/s2 ) s2，解得 s2＝
v2
10m/s 2. 为安
全行驶 s1＋s2＝50m，即 0.5s· v＋
v2
10m/s2
＝ 50m，解得 v＝20m/s，v′＝－ 25 m/s( 舍去 )．
13．跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当速度达到 50m/s 时打
开降落伞，伞张开后运动员就以 5 m/s 2的加速度做匀减速运动，到达地面时速度为 5 m/s ，
求： ( g＝ 10 m/s
2
)
(1) 运动员做自由落体运动的时间；
(2) 运动员做匀减速运动的时间；
(3) 运动员离开飞机时距地面的高度．
答案 (1)5s (2)9s (3)372.5m
解析 (1) 设自由落体运动所用时间是 t 1，由自由落体运动规律得：
v1＝gt 1
解得： t 1＝
v1
g＝
50
10s＝5s
(2) 设运动员做匀减速运动的时间为 t 2，则
t 2＝
v2－v1
a ＝
5－50
－5 s＝9s.
(3) 运动员自由下落的高度 s1＝
1
2gt
1
2
得 s1＝125m.
设打开降落伞后下落高度为 s2
v22－v12＝2as2
解得： s2＝
5
2
－ 50
2
－2×5m＝247.5m
总高度 s＝s1＋ s2＝372.5m.