2019-2020学年数学新人教A版必修4学案：2.5.1平面几何的向量方法Word版含答案

2.5.1平面几何的向量方法
一、三维目标：
知识与技能：能用向量方法解决某些简单的平面几何问题．了解向量是一种处理几何问的工具。
过程与方法：通过具体例子，体会利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题的方法的步骤。
情感态度与价值观：培养学生自主学习，合作探究，勇于创新，多方位审视问题的方法和技巧。
二、学习重、难点：
重点：能用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
难点：建立平面几何与向量的联系，灵活利用向量的线性运算及数量积运算求解。
三、学法指导：向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接化为向量，对这些向量借助它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果。
四、知识链接：
1向量求和的法则 ： ①三角形法则 ②平行四边形法则
2向量减法的法则 ：
3向量共线定理 ：
五、学习过程 ：
问题1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图， 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长
度之间的关系吗？
证明:平行四边形四边平方和等于两对角线平方和。
规律总结：(1)合理地选择基底是解决好问题的第一步，虽然任意两个不共线的向量都可以作基底，但选择恰当与否直接关系到解题过程的简单与复杂．
(2)几何问题用向量法解决体现出了较强的优势，有关线段的长度、平行、夹角等问题都可以考虑向量法．
练习：用向量法证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°

问题2.你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量 ------ 向量的运算------向量和数到形
例2.如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE 、BF分别与AC交于R 、T两点，你能发现AR 、RT 、TC之间的关系吗？
六、达标检测：
1.平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

2.以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，M为BC的中点，
求证：AM⊥EF。
3.如右图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝1/3 BD，求证：M、N、C三点共线．
七、学习小结：
八、课后反思：
2.5.1平面几何的向量方法的答案
例1、已知：平行四边形ABCD，求证：.
分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设其它线段对应向量用它们表示。解：设，

∴
练习：分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。
解：设则，由此可得：
即，∠ACB=90°。
例2、解：设则
由于与共线，故设
又因为共线，所以设
因为所以
线，
，
故AT=RT=TC。
达标检测：
解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b.而||＝2，即|a－b|＝2，
∴(a－b)2＝4，a2－2a·b＋b2＝4.又a2＝1，b2＝4，∴2a·b＝1.
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝6，
∴||＝，即AC＝.
解：如下图，设＝a，＝b，＝c，＝d.则＝(a＋b).＝c－d，
因为a·c＝0，b·d＝0，|a|＝|c|，|b|＝|d|.
∴ ·＝(a＋b)·(c－d)＝(b·c－a·d)．
而a·d＝|a||d|cos∠EAB，
b·c＝|b||c|cos∠FAC，∠EAB＝∠FAC.
∴ ·＝0，即⊥，AM⊥EF.
3、分析：本题主要考查向量的线性运算及用向量法证明多点共线问题，欲证M、N、C三点共线，只需证明∥即可．
证明：＝－，∵＝，＝＝(＋)，
∴＝＋－＝－①，
＝－＝－②，
由①、②可知＝3，即∥，又∵MC、MN有公共点M，∴M、N、C三点共线．