5.3.2 命题、定理、证明课件
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(共22张PPT)
人教版 七年级数学下
5.3.2命题、定理、证明
学习目标
1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论；（重点）
2. 了解真命题和假命题的概念，会判断一个命题的真假性，会对命题举反例（重点、难点）
情境导入---引出命题概念
下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有？
1. 对顶角相等；
2. 画一个角等于已知角；
3. 两直线平行，同位角相等；
4. a、b两条直线平行吗？
5. 温柔的小莉；
6. 玫瑰花是动物；
7. 若a2＝4，求a的值；
8. 若a2＝b2，则a＝b.
没有
有
没有
没有
有
没有
有
有
概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
小试牛刀
判断下列语句是不是命题？
（1）两点之间，线段最短；( )
（2）同角的补角相等； ( )
（3）过直线外一点作已知直线的垂线；( )
（4）如果两个角的和是90?，那么这两个角互余.( )
是
是
不是
是
你能举出一些命题的例子吗？
方法总结： ①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定或者否定的判断，疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题； ②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果…那么…”。
合作探究---命题的结构
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流.
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
命题是由几部分组成的？
命题由题设和结论两部分组成.
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
数学命题表达：
如果……那么……
题设
结论
说一说下面命题的题设和结论？
小试牛刀
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的题设和结论.
1.对顶角相等；2.内错角相等；
3.两直线被第三条直线所截，同位角相等；
4.平行于同一直线的两直线平行；
5.等角的补角相等.
解：（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；（2）如果两个角是内错角，那么这两个角相等。（3）两条直线被第三条 所截，如果两个角是同位角，那么它们相等。（4）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线也平行。（5）如果这两个角是相等的两个角的补角，那么这两个角相等。
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.
情境再现---引出真、假命题
下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有？
1. 对顶角相等；
2. 画一个角等于已知角；
3. 两直线平行，同位角相等；
4. a、b两条直线平行吗？
5. 温柔的小莉；
6. 玫瑰花是动物；
7. 若a2＝4，求a的值；
8. 若a2＝b2，则a＝b.
没有
有
没有
没有
有
没有
有
有
概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？
正确的
正确的
错误的
错误的
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．
假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．
你能再举出真命题和假命题的例子吗？
小试牛刀
判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；
（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；
（3）如果 |a|=|b|，那么a=b；
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两点确定一条直线．
（6）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.
（7）一个角的补角大于这个角.
真命题
假命题
假命题
真命题
真命题
真命题
假命题
新知讲解---定理、证明
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.
两点确定一条直线.
两点间线段最短.
经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.
直线公理：
线段公理：
平行线公理：
公理的概念：
有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
同角或等角的补角相等.
2.余角的性质：
同角或等角的余角相等.
4.垂线的性质：
在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
1.补角的性质：
3.对顶角的性质：
对顶角相等.
学过的定理：
新知讲解---定理、证明
定理的概念：
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”！！！
这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等。
新知讲解---定理、证明
证明的概念：
注意：
下面我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行
线中的一条，那么它也垂直于另一条.”为例来说明什么是证明。
典例精析
如图，已知直线b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知）
∴ ∠1=90°（垂直的定义）
又 b ∥ c（已知）
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
判断一个命题是真命题需要严格的推理证明，然而判断一个命题是假命题只需找出一个反例即可。
判断一个命题是假命题，也可举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
举反例说明：“相等的角是对顶角”是假命题。
解：如图所示，
OC是∠AOB的平分线
∴ ∠1＝∠2
但∠1和∠2不是对顶角
∴“相等的角是对顶角”是假命题
新知讲解---定理、证明
小试牛刀
命题：“同位角相等”是真命题吗？如果是，请说明理由；如果不是，请用反例说明.
解：假命题，理由如下：
如图所示，
∵∠1、∠2是直线a、b被直线c所截形成的同位角
且∠1≠∠2
∴“同位角相等”是假命题
课堂总结
真命题
假命题
公理
定理
（只需举一个反例）
（不需证明）
（由推理证实）
1.命题的定义:
2.命题的组成:
3.命题的分类：
判断一件事情的句子
题设和结论
综合演练
1.下列语句中，不是命题的是( )
A.两点之间线段最短 B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等 D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线
D
2.下列命题中，是真命题的是( )
A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C.若a·b＝0，则a＝0且b＝0 D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
D
知识点拨：画图过程的描述不属于命题。
知识点拨：A选项中的题设能判断出a、b同号，结果应是两种情况；B选项中的题设能判断出a、b异号，结果应是两种情况；C的关联词出错。
综合演练
3.判断下列语句是不是命题？如果是命题，请判断其真假.
（1）两点之间，线段最短；
答：是命题，真命题
（2）请画出两条互相平行的直线；
答：不是命题
（3）过直线外一点作已知直线的垂线；
答：不是命题
（4）如果两个角的和是90?，那么这两个角互余．
答：是命题，真命题
（5）内错角相等
答：是命题，假命题
基本事实
作图过程的描述不是命题
同上
定义
前提是两直线平行
综合演练
4、在下面的括号里，填上推理的依据.
已知：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，
求证：EG∥FH．
证明：∵∠1=∠2（已知），∠AEF=∠1 （ ）；
∴∠AEF=∠2 （ ）．
∴AB∥CD （ ）．
∴∠BEF=∠CFE （ ）．
∵∠3=∠4（已知）
∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3．
即∠GEF=∠HFE（ ）．
∴EG∥FH （ ）．
对顶角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
等式性质
内错角相等，两直线平行
综合演练
5.举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若a b＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不
是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，a b＝0，但a＋b≠0.
综合演练
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝ ∠BPQ,∠HQP＝ ∠CQP(角平
分线的定义)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
6.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截， 交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，
求证PG∥HQ.
A
B
C
D
M
N
P
Q
H
G
课后作业
课本教材第24页：6、12、13题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
人教版 七年级数学下
5.3.2命题、定理、证明
学习目标
1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论；（重点）
2. 了解真命题和假命题的概念，会判断一个命题的真假性，会对命题举反例（重点、难点）
情境导入---引出命题概念
下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有？
1. 对顶角相等；
2. 画一个角等于已知角；
3. 两直线平行，同位角相等；
4. a、b两条直线平行吗？
5. 温柔的小莉；
6. 玫瑰花是动物；
7. 若a2＝4，求a的值；
8. 若a2＝b2，则a＝b.
没有
有
没有
没有
有
没有
有
有
概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
小试牛刀
判断下列语句是不是命题？
（1）两点之间，线段最短；( )
（2）同角的补角相等； ( )
（3）过直线外一点作已知直线的垂线；( )
（4）如果两个角的和是90?，那么这两个角互余.( )
是
是
不是
是
你能举出一些命题的例子吗？
方法总结： ①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定或者否定的判断，疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题； ②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果…那么…”。
合作探究---命题的结构
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流.
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
命题是由几部分组成的？
命题由题设和结论两部分组成.
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
数学命题表达：
如果……那么……
题设
结论
说一说下面命题的题设和结论？
小试牛刀
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的题设和结论.
1.对顶角相等；2.内错角相等；
3.两直线被第三条直线所截，同位角相等；
4.平行于同一直线的两直线平行；
5.等角的补角相等.
解：（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；（2）如果两个角是内错角，那么这两个角相等。（3）两条直线被第三条 所截，如果两个角是同位角，那么它们相等。（4）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线也平行。（5）如果这两个角是相等的两个角的补角，那么这两个角相等。
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.
情境再现---引出真、假命题
下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有？
1. 对顶角相等；
2. 画一个角等于已知角；
3. 两直线平行，同位角相等；
4. a、b两条直线平行吗？
5. 温柔的小莉；
6. 玫瑰花是动物；
7. 若a2＝4，求a的值；
8. 若a2＝b2，则a＝b.
没有
有
没有
没有
有
没有
有
有
概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？
正确的
正确的
错误的
错误的
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．
假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．
你能再举出真命题和假命题的例子吗？
小试牛刀
判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；
（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；
（3）如果 |a|=|b|，那么a=b；
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两点确定一条直线．
（6）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.
（7）一个角的补角大于这个角.
真命题
假命题
假命题
真命题
真命题
真命题
假命题
新知讲解---定理、证明
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.
两点确定一条直线.
两点间线段最短.
经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.
直线公理：
线段公理：
平行线公理：
公理的概念：
有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
同角或等角的补角相等.
2.余角的性质：
同角或等角的余角相等.
4.垂线的性质：
在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
1.补角的性质：
3.对顶角的性质：
对顶角相等.
学过的定理：
新知讲解---定理、证明
定理的概念：
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”！！！
这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等。
新知讲解---定理、证明
证明的概念：
注意：
下面我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行
线中的一条，那么它也垂直于另一条.”为例来说明什么是证明。
典例精析
如图，已知直线b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知）
∴ ∠1=90°（垂直的定义）
又 b ∥ c（已知）
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
判断一个命题是真命题需要严格的推理证明，然而判断一个命题是假命题只需找出一个反例即可。
判断一个命题是假命题，也可举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
举反例说明：“相等的角是对顶角”是假命题。
解：如图所示，
OC是∠AOB的平分线
∴ ∠1＝∠2
但∠1和∠2不是对顶角
∴“相等的角是对顶角”是假命题
新知讲解---定理、证明
小试牛刀
命题：“同位角相等”是真命题吗？如果是，请说明理由；如果不是，请用反例说明.
解：假命题，理由如下：
如图所示，
∵∠1、∠2是直线a、b被直线c所截形成的同位角
且∠1≠∠2
∴“同位角相等”是假命题
课堂总结
真命题
假命题
公理
定理
（只需举一个反例）
（不需证明）
（由推理证实）
1.命题的定义:
2.命题的组成:
3.命题的分类：
判断一件事情的句子
题设和结论
综合演练
1.下列语句中，不是命题的是( )
A.两点之间线段最短 B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等 D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线
D
2.下列命题中，是真命题的是( )
A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C.若a·b＝0，则a＝0且b＝0 D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
D
知识点拨：画图过程的描述不属于命题。
知识点拨：A选项中的题设能判断出a、b同号，结果应是两种情况；B选项中的题设能判断出a、b异号，结果应是两种情况；C的关联词出错。
综合演练
3.判断下列语句是不是命题？如果是命题，请判断其真假.
（1）两点之间，线段最短；
答：是命题，真命题
（2）请画出两条互相平行的直线；
答：不是命题
（3）过直线外一点作已知直线的垂线；
答：不是命题
（4）如果两个角的和是90?，那么这两个角互余．
答：是命题，真命题
（5）内错角相等
答：是命题，假命题
基本事实
作图过程的描述不是命题
同上
定义
前提是两直线平行
综合演练
4、在下面的括号里，填上推理的依据.
已知：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，
求证：EG∥FH．
证明：∵∠1=∠2（已知），∠AEF=∠1 （ ）；
∴∠AEF=∠2 （ ）．
∴AB∥CD （ ）．
∴∠BEF=∠CFE （ ）．
∵∠3=∠4（已知）
∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3．
即∠GEF=∠HFE（ ）．
∴EG∥FH （ ）．
对顶角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
等式性质
内错角相等，两直线平行
综合演练
5.举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若a b＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不
是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，a b＝0，但a＋b≠0.
综合演练
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝ ∠BPQ,∠HQP＝ ∠CQP(角平
分线的定义)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
6.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截， 交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，
求证PG∥HQ.
A
B
C
D
M
N
P
Q
H
G
课后作业
课本教材第24页：6、12、13题
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