第六章 实数
6.1 平方根
第1课时 算术平方根
一、导学
1.导入课题：
学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你是怎样求的？这个问题就是我们今天要学习的内容：算术平方根（板书课题）.
2.学习目标
知道什么是算术平方根及其符号表示方法，会求一个数的算术平方根.
3.学习重、难点：
重点：算术平方根的意义及其符号表示.
难点：估计一个含有根号的数的大小.
4.自学指导：
（1）自学内容：课本P40的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：认真阅读课文，重要的地方做好圈点标记，并注意例1中算术平方根的求解方法与格式.
（4）自学参考提纲：
①完成课本上的填表.
②什么叫算术平方根？0的算术平方根是0.
③表示a的算术平方根,读作根号a，其中a叫被开方数，由算术平方根的定义知a≥0, ≥0.
④仿照例题求下列各数的算术平方根：
0.0025 81 32
答案：上面3个小题答案依次为：0.05，9，3
⑤求下列各式的值：
答案：上面3个小题答案依次为：1, ,2.
⑥观察例1及④、⑤中各题的结果可以发现：被开方数越大，相应的算术平方根越大，这个结论对所有正数都成立，即若a>b>0，则>
二.自学
同学们可结合自学指导进行学习.
三.助学
1师助生：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.
②差异指导：根据学情进行相应指导.
2生助生：小组内同学间互相交流、纠错.
四.强化
1算术平方根的概念及其表示方法.
2≥0（a≥0）.
3求一个数的算术平方根的方法.
4若a>b>0，则>;反过来也成立.
五、评价
1.学生的自我评价：学生代表交流学习目标的达成情况和学习感受等.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：教师对学生在本节课学习中的整体表现（态度、方法和效果等）进行总结和点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时采用观察、思考、讨论等探究活动归纳得出相应结论，使学生感受到算术平方根的概念与以前学过的求一个数的平方之间的联系.教学时应注意让学生通过探究活动经历一个由特殊到一般的认识过程，从而更好地接受新知识.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(15分)(1)式子 表示的意思是100的算术平方根，其值为10.
（2）式子表示的意思是0的算术平方根，其值为0.
（3）式子表示的意思是（-4）2的算术平方根，其值为4.
2.（10分）4的算术平方根是2，的算术平方根是3， =.
3.（10分）若=2.236，则=0.2236， =22.36.
4.（20分）求下列各数的算术平方根：
（1）81 （2） （3）0.04 （4）102
解：（1）∵92=81，∴81=9.
（2）∵()2=，∴=.
（3）∵0.22=0.04，∴=0.2.
（4）10.
5.（15分）求下列各式的值：
（1） （2） （2）
解：（1）=1.2. （2）=.
===
二、综合运用（20分）
6.（10分）小文房间的面积为10.8m2,房间地面恰巧由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖边长是多少？
解：设每块地砖的边长是xm.则120x2=10.8,x=0.3.
答：每块地砖的边长是0.3m.
7.（10分）国际足球比赛的足球场长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间，现有一个长方形足球场，其长是宽的1.5倍，面积是6337.5m2，问这个足球场是否能用作国际比赛球场？
解：设这个长方形足球场的宽为xm,则长为1.5xm，依题意得x·1.5x=6337.5，
x2=4225,解得x=65,
x=65,65×1.5=97.5（m）
答：这个足球场不能用作国际比赛球场.
三、拓展延伸（10分）
8.计算：= ，= ，= ，= ，= .
（1）根据计算结果，回答一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来.
（2）利用你总结的规律，计算：.
解：依次填：3，0.7，0，6，.
（1）不一定等于a，=|a|.
（2）原式=|3.14-π|=π-3.14.
第六章 实数
6.1 平方根
第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
一、新课导入
1.导入课题：
求一个正数的算术平方根，有些数可以直接得出结果，但有些数必须借助计算器,比如.那么如何借助计算器来求一个正数的算术平方根呢？这就是本堂课需要解决的问题.
2.学习目标
（1）会用计算器求一个正数的算术平方根，知道算术平方根的小数点移动规律.
（2）会估计一个含有根号的数的大小.
3.学习重、难点：
重点：知道算术平方根的小数点移动规律.
难点：会估计一个含有根号的数的大小.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学范围：课本P41至P42例2之前的内容.
（2）自学时间:6分钟.
（3）自学要求：认真阅读课文，必要时动手实验、计算，理解相关内容.
（4）自学参考提纲:
①根据P41的拼图，你知道大正方形的边长是多少吗？小正方形的对角线呢？
a.设大正方形边长为x dm,则依据其面积，可列出方程：x2=2.
b.由算术平方根的意义知：正数x就是，记作x=.
c.由①知大正方形的边长为dm,小正方形的对角线长为2dm.
②有多大？利用“被平方数越大，对应的算术平方根也越大”，结合相应的精确度要求，可以得到对应的的近似值：
a.只要明确2介于哪两个相邻的完全平方数之间，就可得到2的整数部分是多少.具体过程如下：
∵12=1，22=4，∴12<2<22，∴<<，即1<<2，∴的整数部分是1;
b.只要明确2介于哪两个含有一位小数的相邻的平方数之间，就可得到的第一位小数是多少,具体过程如下：
∵=1.96，1.52=2.25,∴1.42<2<1.52,∴<<,即1.4<<1.5，∴的第一位小数是4;
c.仿照上面的方法,求的第二位、每三位小数分别是多少,用计算器算一算.
③按照上面的方法继续进行下去，可以得到的更精确的近似值,事实上，=1.414213562373…，它是一个无限不循环小数（即小数位数无限，且小数部分不循环的小数),像这样的数还有很多，如、、等，请用上面的方法求出精确到0.01的近似值.
2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况，着重关注学生理解“估计2大小”的方法.
②差异指导：根据学情进行相应指导，必要时可集中讲解.
（2）生助生：小组内同学间相互交流研讨、互助解疑难.
4.强化：用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值.
1.自学指导：
（1）自学内容：课本P42例2至P44练习之前的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学要求：认真阅读课文，利用计算器计算得出算术平方根的小数点的位置移动规律，通过例3弄清楚含有根号的数的大小比较方法.
（4）自学参考提纲：
①小组合作完成P43“探究”.
②∵50>49,∴>,即>7，像这种比较形如和的大小的方法可称之为平方法：即比较这两个数的被开方数的大小，仿此方法比较下列各组数的大小：①与;②与8;③与0.5.
答案：<;<8;>0.5
2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.
②差异指导：根据学情进行相应指导.
（2）生助生：小组内同学间相互交流研讨、互助解疑难.
4.强化：
（1）被开方数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点的移动规律.
（2）含有根号的数的大小比较方法,评讲：比较与0.5的大小.
三、评价
1.学生的自我评价：学生代表交流学习目标的达成情况和学习感受等.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：教师对学生在本节课学习中的整体表现（态度、方法和效果等）进行总结和点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时采用实际操作以及观察、思考等活动让学生自主得出结论，使学生了解算术平方根的小数点移动规律，并通过平方法等方法来估计一个含有根号的数的大小，教学过程应注意转化的数学思想的渗透，从而让学生更好地理解所学内容.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（60分）
1.（10分）实数的值在（B）
A.0和1之间 B.1和2之间 C.2和3之间 D.3和4之间
2.（10分）与1+最接近的整数是（C）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(10分)用计算器计算,下列按键顺序正确的是（A）
4.(10分)的整部分是4.
5.（10分）若≤x≤，x为整数，则x的值是2.
6.（10分）比较下列各组数的大小：
（1）与2 （2）与1.41
解：（1）（）2=3<22=4， （2）（）2=2>1.412=1.9881,
∴<2. ∴>1.41.
二、综合运用（30分）
7.（15分）设a、b是两个连续的整数，若a<解：∵36<40<49，
∴<<，即6<<7，
∴a=6,b=7,∴a+b=6+7=13.
8.(15分)利用计算器求，，，，，的值.你从中能发现什么规律？（保留4个有效数字）［注：有效数字：从左边第一个不为0的数字数起到末尾数字为止的所有数字（包括0，科学记数法不计10的n次方）］
解：≈0.1414,≈0.4472,≈1.414,≈4.472,≈14.14,
≈44.72.
规律：被开方数的小数点向左或向右移动2n位时，算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动n位（n为正整数）.
三、拓展延伸（10分）
9.已知2+的小数部分为a，5-的小数部分为b，求a+b的值.
解：∵1<<2，
∴3<2+<4，
∴a=2+-3=-1，
∵1<<2，
∴3<5-<4，
∴b=5--3=2-，
∴a+b=-1+2-=1.
6.1 平方根
第3课时 平方根
一、新课导入
1.导入课题：
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？从前面我们知道，这个数可以是3，除了3以外，还有没有别的数的平方也等于9呢？这就是这节课要研究的问题：平方根（板书课题）.
2.学习目标：
（1）知道什么叫平方根？用符号如何表示它？有哪些性质？
（2）能利用开平方与平方互为逆运算求某些非负数的平方根.
3.学习重、难点：
重点：平方根的概念.
难点：平方根算术平方根的区别和联系.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：课本P44“思考”至P45“思考”之前的内容.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学要求：认真阅读课本、思考相关问题，注意平方根与算术平方根定义的区别.
（4）自学参考提纲：
①根据“导入课题”中问题的研究过程填表：
②一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x就叫做a的平方根.你能说说平方根与算术平方根的定义有什么不同吗？
③求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方运算与开平方运算有什么关系？
④根据平方与开平方运算的关系，可以求一个数的平方根，按例4的格式求下列各数的平方根：
64; 0.09; ; （-7）2; 0.
解：∵(±8)2=64,
∴64的平方根是±8.
∵(±0.3)2=0.09,
∴0.09的平方根是±0.3.
∵(±)2=,
∴的平方根是±.
∵(±7)2=(-7)2=49,
∴(-7)2的平方根是±7.
∵02=0,
∴0的平方根是0.
⑤判断下列说法是否正确：
a.49的平方根是7.(×) b.2是4的平方根.(√) c.-5是25的平方根.(√)
d.64的平方根是±8.(√) e.-16的平方根是-4.(×)
2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：教师巡视课堂,了解学生的自学情况.
②差异指导：根据学情进行相应的指导.
（2）生助生：小组内相互交流和纠错.
4.强化：
（1）平方根的概念（注意与算术平方根的概念相对照）.
（2）求下列各数的平方根：
25 0.64 （-2）4
上面4个小题的答案依次为：±5，±0.8，±4，±3
1.自学指导：
(1)自学内容：课本P45“思考”至P46“练习”之前的内容.
（2）自学时间:6分钟.
（3）自学要求：认真阅读课本，弄清楚平方根有什么性质，用符号如何表示它.
（4）自学参考提纲：
①请归纳出正数、0、负数的平方根的特征，并说说得出这些特征的理由.
②因为正数a的平方根有2个，它们互为相反数，其中正的平方根就是它的算术平方根，可表示为，那么它的负的平方根就可表示为-，故正数a的平方根就用符号±a表示，读作正、负根号a.
③式子a有意义时，a应满足条件a≥0，这是为什么呢？
④你能说说式子：;-;±表示的意义吗？其值分别为多少？
上述3小题的答案依次为3，-0.7，±
⑤判断下列各式计算是否正确？并说明理由：
=±2 ±=±2 -=±2
上面3小题的答案依次为：错误，正确，错误,理由略.
2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的学习情况，着重关注学生是否理解平方根的性质得出的理由及相应符号所表示的意义.
②差异指导：根据学情进行相应指导.
（2）生助生：小组内相互交流研讨，订正纠错，互助解疑难.
4.强化：
（1）平方根的性质.
（2）平方根的符号表示：±,其中a≥0
三、评价
1.学生的自我评价：学生代表交流学习目标的达成情况和学习感受等.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：教师对学生在本节课学习中的整体表现（态度、方法和效果等）进行总结和点评
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思):
本课时教学重在挖掘平方根与算术平方根间的区别与联系，通过实例训练引导学生认识新知识，形成计算能力.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.（10分）下列各式：①-;②;③;④中，有意义的有（C）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.（10分）下列各式中正确的是（C）
A. =-2 B. =-5 C. =5 D. =±4
3.（10分）下列说法中正确的有（A）
（1）0的平方根是0；（2）1的平方根是1；（3）-1的平方根是-1;（4）±0.01是0.1的平方根
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.（20分）求下列各数的平方根：
（1）49; （2）; （3）; （4）0.0016.
解：（1）∵（±7）2=49.∴49的平方根为±7;
（2）∵（±）2=,∴的平方根为± ;
（3）∵（±）2=,∴的平方根为±;
（4）∵（±0.04）2=0.0016,∴0.0016的平方根为±0.04.
5.(20分)求下列各式的值：
（1）; （2）±; （3）-; （4）-.
解：（1）=1.2;
（2）±=±;
（3）-=-2;
（4）-=-=-.
二、综合运用（20分）
6.（10分）求下列各式中x的值：
（1）x2=25; (2)x2-81=0; (3)25x2=36.
解：（1）∵(±5)2=25,∴x=±5;
（2）∵(±9)2=81,∴x=±9;
（3）x2=.
∵（±）2=.
∴x=±.
7.（10分）根据下表回答下列问题：
（1）268.96的平方根是±16.4;
（2）≈16.9;
（3）在表中哪两个相邻的数之间？为什么？
解：在表中16.4和16.5这两个相邻的数之间.
∵268.96<270<272.25,
∴16.4<<16.5.
三、拓展延伸（10分）
8.若一个数x的平方根是2a+3和1-4a，求a和x的值.
解：∵2a+3和1-4a是x的平方根,
∴2a+3+1-4a=0,
∴a=2,
∴2a+3=2×2+3=7.
∴x=(2a+3)2=72=49.
