6.1 平方根(1)
【学习目标】
1．理解并掌握算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根．
2．了解算术平方根的非负性，会求一个非负数的算术平方根．
【学习重点】
算术平方根的概念．
【学习难点】
根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根．
行为提示：点然学生的学习的激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题要认真探究，教会学生落实重点．
情景导入 生成问题
情景导入
请同学欣赏本节导图，并回答问题．
学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果这块画布的面积是12 dm2呢？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题．
这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容．这本节课我们先学习有关算术平方根的概念．
自学互研 生成能力
【自主探究】
认真阅读教材P40的内容，并尝试完成下面问题：
1．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0．
2．对于所有正数，被开方数越大，对应的算术平方根也越大．
3．负数有算术平方根吗？
答：负数没有算术平方根．
【合作探究】
活动1：填表：
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
正方形的边长/dm
思考：上述问题可以看作已知什么，求什么问题．
学生讨论展示：是已知一个正数的平方，求这个正数的问题．也就是，在等式x2＝a(x≥0)中，已知a，求x的值．
归纳结论：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.
对应练习：试一试：你能根据等式122＝144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．学习笔记：(1)一个正数只有一个算术平方根；(2)求算术平方根时，若遇带分数应将其化为假分数，若遇带根号的式子，则应先将含根号的式子化简，然后再求其算术平方根，平方开不尽的用根号表示；(3)具有双重非负性：一是被开方数a是非负数，二是算术平方根的值为非负数．
行为提示：教会学生怎么交流，充分在小组内展示自己，提出疑惑，共同解决．
【自主探究】
解答下面各题：
1．求下列各数的算术平方根：
(1)100；(2)1；(3)；(4)196；(5)10－6.
解：(1)＝10；(2)＝1；(3)＝；(4)＝14；＝10－3.
2．求下列各式的值：
＝1； ＝； (3)＝2．
【合作探究】
活动2：思考：(1)什么样的数有算术平方根？正数和0．
(2)一个数的算术平方根可能为负数吗？不可能．
(3)≥0，其中a≥0.(填不等号)
(4)当非负数a逐渐变大时，发生怎样的变化？变大．
学生讨论交流展示：
归纳总结：1.由算术平方根的定义知：a≥0，≥0，即算术平方根的被开方数为非负数．
2．被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有正数都成立．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 算术平方根的概念
知识模块二 算术平方根的性质
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
1．下列各式中无意义的是( D )
A．－ B. C. D.
2．(－2)2的算术平方根是( A )
A．2 B．±2 C．－2 D.
3．下列各数没有算术平方根的是( B )
A．0 B．－1 C．10 D．102
4．求下列各数的算术平方根：
(1)144；(2)1；(3)；(4)0.008 1；(5)0.
解：(1)12；(2)1；(3)；(4)0.09；(5)0.
5．兴华的书房面积为10.8 m2，她数了一下地面所铺的正方形地砖正好是120块，请问每块地砖的边长是多少？
解：设每块地砖的边长是x m，则有120x2＝10.8.
因为x＞0，所以x＝0.3.
答：每块地砖的边长为0.3 m.
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
6.1 平方根(2)
【学习目标】
1．会用计算器求一个数的算术平方根．
2．能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值．
3．体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数．
【学习重点】
夹值法估计一个(无理)数的大小．
【学习难点】
夹值法估计一个数的算术平方根的大小．
,行为提示：引导学生认真阅读课本，用红色笔将自学中无法解决的问题作标注，带入讨论中解决．,,,,,,,,知识链接：最常见的无限不循环小数，除了今天学习的\r(2)，还有\r(3)，\r(5)……非完全平方数的算术平方根及早就接触到的π.,,,,方法指导：1.关于\r(2)是一个“无限不循环小数”要向学生详细说明，为无理数的概念的提出打下基础．,2.估计某个数的算术平方根的大小，通常利用被开方数两边最接近的完全平方数的算术平方根估计．,,,行为提示：(1)依次按键,\r( ))3 136，
显示：56.
∴＝56.
(2)依次按键2，
显示：1.414 213 562.
∴≈1.414.Ｋ情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．若x2＝a，则非负数x叫a的算术平方根．
2．0的算术平方根是0．
3．当a≥0时，a的值越大，对应的算术平方根也越大．
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P41－44的内容，尝试完成下面的问题：
1．面积为2dm2的正方形的边长应为__dm.
2．怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2大正方形，画出拼接方案：
3．你对无限不循环小数有怎样的认识？
答：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．
【合作探究】
问题1：究竟有多大？
让学生思考、讨论，并估计大概有多大．由直观可知道大于1而小于2，那么是1点几呢？(接下来由试验可得到平方数最接近2的1位小数是1.4，而平方数大于2且最接近2的1位小数是1.5，所以，大于1.4而小于1.5.)
问题2：你对正数a的算术平方根的结果有怎样的认识？
的结果有两种情况：①当a是完全平方数时，是一个有限数；②当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数．
归纳总结：实际上，许多正有理数的算术平方根(例如，，等)都是无限不循环小数．
对应练习：一个正方形的面积为15，估计它的边长大约在( B )
A．2和3之间 B．3与4之间
C．4与5之间 D．5与6之间
【自主探究】
完成下面问题：
1．用计算器求下列各式的值：
(1)＝56；(2)≈1.414(精确到0.001)．
2．利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中.
… …
… 0.25 0.791 2.5 7.91 25 79.1 250 …
规律：被开方数的小数点每向左或向右移动两位，算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动一位．
3．用计算器计算：≈1.732(精确到0.001)，并利用你在2中发现的规律填空：≈0.173__2，≈17.32，≈173.2．
学习笔记：
方法指导：
比较两个数的大小，常用的方法有：
①作差比较法．
②求值比较法．
③将根号外因式移入根号内，再比较大小．
比较无理数与有理数的大小时要先估算无理数的近似值，再比较它与有理数的大小．
学习笔记：
实际问题中涉及开平方通常取算术平方根．
【合作探究】
典例讲解：
小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.根据边长与面积的关系得3x·2x＝300，6x2＝300，x2＝50，x＝.因此长方形纸片的长为3 cm.因为50＞49，所以＞7.由上可知3＞21，即长方形纸片的长应该大于21 cm.因为＝20，所以正方形纸片的边长只有20 cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长．所以不能同意小明的说法，小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 夹值法估计无理数大小
知识模块二 用计算器求算术平方根
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
1．下列各数与最接近的是( B )
A．2.5 B．2.6 C．2.7 D．2.8
2．(安徽中考)设a＝－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是( C )
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
3．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为( D )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．若＝1.732，＝5.477，则＝( B )
A．0.017 32 B．0.173 2 C．0.054 77 D．0.547 7
5．2016里约奥运会国际比赛的足球场要求长在100 m到110 m之间，宽在64 m到75 m之间，现有一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7 560 m2，问这个足球场是否达到要求．
解：设足球场长为x m，则宽为x m.
x2＝7 560，x2＝11 340.
∵1002＜11 340＜1102，
∴100＜x＜110.
设足球场宽为y m，则长y m.
∴y2＝7 560，y2＝5 040.
∵642＜5 040＜752，∴64＜y＜75.
∴这个足球场达到要求．
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
6.1 平方根(3)
【学习目标】
1．掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别．
2．能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方根运算和乘方运算之间的互逆关系．
【学习重点】
平方根的概念和求数的平方根．
【学习难点】
平方根和算术平方根的联系与区别．
行为提示：创设情景，引导学生探究新知．
行为提示：让学生认真阅读课本，在理解的基础上完成相应问题．
方法指导：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，它们的和为0.
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．9的算术平方根为3；若一个数的算术平方根等于16，则这个数是256．
2．算术平方根具有非负性，即(a≥0)≥0.
3．5的算术平方根是．
自学互研 生成能力
【自主探究】
认真阅读教材P44－46的内容，完成下面问题：
1．什么叫一个数的平方根和开平方？
答：一般的，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或二次方根．
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
2．求下列各数的平方根．
(1)100；(2)；(3)0.25.
解：(1)因为(±10)2＝100，所以100的平方根为±10；
(2)因为(±)2＝，所以的平方根为±；
(3)因为(±0.5)2＝0.25，所以0.25的平方根是±0.5.
【合作探究】
活动1：讨论：
问题1：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
问题2：若x2＝，则x等于多少呢？
归纳总结：(1)平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．
(2)求一个数的平方根的运算，叫做开平方．
活动2：观察：教材P45的图
思考：从图中你能归纳出平方与开平方的关系吗？
归纳结论：图中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．
学习笔记：
行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，提出问题，共同解决．
学习笔记：算术平方根与平方根的联系：(1)平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个．因此，求一个正数a的平方根，只要先求出它的算术平方根，就可以求出它的平方根±；(2)在平方根±、算术平方根中，被开方数a都是非负数，即a≥0.也就是说，只有非负数(正数和0)才有算术平方根和平方根；(3)0的平方根、算术平方根都为0.
【自主探究】
解答下列各题：
1．(资阳中考)16的平方根是( B )
A．4 B．±4 C．8 D．±8
2．下面说法中不正确的是( D )
A．6是36的平方根 B．－6是36的平方根
C．36的平方根是±6 D．36的平方根是6
3．正数a的算术平方根可以用表示；正数a的负的平方根可以用－表示，正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”．
4．正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
答：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算．
【合作探究】
典例讲解：
求下列各式的值：
(1)；(2)－；(3)±.
解：(1)因为62＝36，所以＝6；
(2)因为0.92＝0.81，所以－＝－0.9；
(3)因为()2＝，所以±＝±.
对应练习：下列说法不正确的是( B )
A．21的平方根是± B.的平方根是
C．0.01的算术平方根是0.1 D．－5是25的一个平方根
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 平方根的概念
知识模块二 平方根的性质
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
1．下列各式正确的是( B )
A．±＝3 B.＝4 C．±＝±4 D.＝5
2．下列说法：①是5的算术平方根；②是的平方根；③(－4)2的平方根是－4；④0的平方根与算术平方根都是0.其中正确的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知下列各数：π，0，－4，－32，－|3|，3.14－π，a2＋b2，－，其中有平方根的有( B )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4.的平方根是±5．
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
