5.6 向心力-学案

向心力


【学习目标】
（1）知道什么是向心力，理解它是一种效果力。
（2）理解向心力公式的确切含义，并能用来进行简单的计算。
（3）知道变速圆周运动中向心力是合外力的一个分力，知道合外力的作用效果。
【学习重难点】
明确向心力的意义、作用、公式及其变形。
【学习过程】
1．本节主要学习向心力概念、向心力的大小和方向，以及变速圆周运动特点、一般曲线运动及其研究方法等。其中，向心力概念，向心力的大小和方向是本节重点，变速圆周运动特点及研究方法则是本节难点。
2．做匀速圆周运动的物体受到的合外力方向总指向，这个合力叫做向心力。
向心力是产生的原因，它使物体速度的不断改变，但不能改变速度的。向心力是按命名的力，它可由重力、弹力、摩擦力等提供，也可以是这些力的合力或它们的分力来提供。
3．向心力的大小：Fn＝man＝＝＝mvω
向心力的方向总是沿半径指向圆心，方向时刻改变，所以向心力是变力。
4．当物体沿圆周运动，不仅速度方向不断变化，其大小也在不断变化，这样的圆周运动称为变速圆周运动。物体做变速圆周运动的原因是所受合外力的方向不是始终指向圆心，这时合外力的作用效果是：使物体产生向心加速度的同时，产生切向加速度。匀速圆周运动可看作变速圆周运动的一个特例。
5．一般曲线运动及研究方法：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可称为一般曲线运动。研究时，可将曲线分割为许多极短的小段，每一段均可看作圆弧，这样即可采用圆周运动的分析方法进行处理了。
【范例精析】
例1．如图6．8－1所示，将一质量为m的摆球用长为L的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，则关于摆球A的受力情况，下列说法中正确的是（）
A．摆球受重力、拉力和向心力的作用B．摆球受拉力和向心力的作用
C．摆球受重力和拉力的作用D．摆球受重力和向心力的作用






解析：我们在进行受力分析时，“物体受到哪几个力的作用”中的力是指按照性质命名的力，显然，物体只受重力G和拉力FT的作用，而向心力F是重力和拉力的合力，如图6．8－2所示。也可以认为向心力就是FT沿水平方向的分力FT2，显然，FT沿竖直方向的分力FT1与重力G平衡。所以，本题正确选项为C．
拓展：常有同学错误选择A，即认为摆球除了受到重力G、拉力FT外，还受到一个大小等于m的向心力F的作用。其错误在于忘了向心力是物体做匀速圆周运动时受到的合力，是按效果命名的力，而不是按性质命名的力，可想而知，如果把向心力当作一个额外的力，认为小球受三个力的作用，显然与物体的实际受力情况相矛盾，即相当于把物体受到的力都计算了两遍，是完全错误的。
例2．如图6．8－3所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（）
A．A球的线速度必定大于B球的线速度
B．A球的角速度必定小于B球的线速度
C．A球的运动周期必定小于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力






解析：小球A和B的受力情况如图6．8－4所示，由图可知，两球的向心力都来源于重力G和支持力FN的合力，建立如图6．8－4所示的坐标系，则有：
FN1＝FNsinθ＝mg
FN2＝FNcosθ＝F
所以F＝mgcotθ。
也就是说FN在指向圆心方向的分力即合力F＝mgcotθ提供小球做圆周运动所需的向心力，可见A、B两球的向心力大小相等。
比较两者线速度大小时，由F＝m可知：r越大，v一定较大，因此选项A正确。
比较两者角速度大小时，由F＝mrω2可知：r越大，ω一定较小，因此选项B正确。
比较两者的运动周期时，由F＝mr（）2可知：r越大，T一定较大，因此选项C不正确。
由受力分析图可知，小球A和B受到的支持力FN都等于，因此选项D不正确。
拓展：应用向心力公式解题的基本原则是：首先明确向心力的来源，即哪些力提供向心力；其次要确定物体做圆周运动的轨迹平面，确定向心力的方向；当然，要正确解决问题，我们须熟记向心力的各种表达式，并注意在不同的情况下灵活选用。
例3．（提高题）如图6．8－5所示，在光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，两者相距l0＝0.1m，长l＝1m的轻质柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球，小球的初始位置在AB连线上钉子A的一侧，把细线拉直，再给小球垂直细线方向的2m/s的水平速度，使它做匀速圆周运动，由于钉子B的存在，使细线逐步缠在钉子A、B上，若细线能承受的最大拉力为Fm＝7N，则从开始运动到细线断裂历时多长时间？




解析：小球每转半周，细线就会碰到另一枚钉子，小球便以这枚钉子为圆心做圆周运动，运动的半径就相应减小了0.1m，但由于细线对小球的拉力只改变速度方向，因此，小球的速度大小将保持不变，根据F＝m可知，细线每一次碰钉子后，细线的拉力（大小等于小球圆周运动所需的向心力）都要增大，当细线的拉力增大到7N时，小球做圆周运动的半径最小，这样就可以求出相应所需的时间。
小球交替地绕钉子A、B做匀速圆周运动，细线碰钉子的瞬间，细线的拉力和速度的方向仍然垂直，小球的速度大小不变，而细线的拉力随半径的突然减小而突然增大，当然，每转半圈所用的时间不断减小。
在第一个半圆内
F1＝m，
又T＝，t1＝，即t1＝
同理，在第二个半圆内
F2＝，t2＝。
在第三个半圆内
F3＝，t2＝。
则在第n个半圆内
Fn＝，tn＝
令Fn＝Fm＝7N，即＝7N，
解之可得：n＝8．
因此经历的时间为t＝t1＋t2＋t3＋……＋tn
＝｛nl－〔1＋2＋3＋……＋（n－1）〕l0｝
＝×〔8×1－×0.1〕s＝8．2s。
拓展：圆周运动的显著特点是它的周期性，通过对运动规律的研究，用递推法得出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义。
运用递推规律写出通式及对数列求和都是物理解题中常用的数学方法。数学和物理是紧密联系的，应用数学处理物理问题的能力是高考要求的能力之一，因此，在平时的学习中，应注意数学知识和物理知识的结合，能在正确分析、清楚理解试题所给的物理现象、物理过程的基础上，运用数学知识列式、推导和求解。
【能力训练】
1．下列关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力的说法中，正确的是（　　）
A．物体除其他的力外还要受到一个向心力
B．物体所受的合外力提供向心力
C．向心力是一个恒力
D．向心力的大小一直在变化
2．用长短不同、材料相同的同样粗细的细绳，各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，则两个小球（　　）
A．以相同的线速度运动时，长绳易断
B．以相同的角速度运动时，短绳易断
C．以相同的转速运动时，长绳易断
D．无论怎样，都是短绳易断
3．如图6．8－6所示，水平转台上放着一枚硬币，当转台匀速转动时，硬币没有滑动，关于这种情况下硬币的受力情况，下列说法正确的是： （ ）
A．受重力和台面的持力
B．受重力、台面的支持力和向心力
C．受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力
D．受重力、台面的支持力和静摩擦力
4．在光滑的水平桌面上，用细线系一个小球，球在桌面上做匀速圆周运动，当系球的线突然断了，关于球的运动，下列说法中正确的是（　　　　）
A．向圆心运动 B．背离圆心沿半径向外运动
C．沿切线方向匀速运动 D．做半径逐渐变大的曲线运动
5．一个小球在竖直放置的光滑圆环的内侧槽内做圆周运动，如图6．8－7所示，则关于小球加速度的方向正确的是（）
A．一定指向圆心
B．一定不指向圆心
C．只有在最高点和最低点时指向圆心
D．不能确定是否指向圆心
6．一质量为m的物体，用长为L的细线悬挂于O点，在O点正下方L/2处钉有一根长钉，把悬线沿水平方向拉直后无初速释放，当细线碰到钉子瞬间（　　）
A．小球的线速度突然增大
B．小球的角速度突然增大
C．小球的向心加速度突然增大
D．悬线拉力突然增大
7．设地球质量为M＝6．0×1024kg，公转周期T＝365天，地球中心到太阳中心间的距离为r＝1．5×1011m，试根据以上数据计算地球绕太阳做匀速圆周运动的向心加速度和所需的向心力。
8．如图6．8－10所示，线段OA＝2AB，A、B两球质量相等。当它们绕O点在光滑的水平桌面上以相同的角速度转动时，两线段AB与OA的拉力之比为多少？



素质提高
9．如图6．8－11所示，沿半球形碗的光滑内表面，一质量为m的小球正以角速度ω在水平面内做匀速圆周运动。若碗的半径为R，则该球做匀速圆周运动的水平面离碗底的距离是多少？




10.有一水平放置的圆盘，上面放一劲度系数为k的弹簧，如图6．8－12所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端系一质量为m的物体A，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，开始时弹簧未发生形变，长度为R。求：
（1）盘的转速n0多大时，物体A开始滑动？
（2）当转速缓慢增大到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多少？

答案
1．B 2．C 3．D 4．C 5．C 6．BCD
7．5．95×10－3 m/s2；3．57×1022N。 8．3 ： 5 9．H＝R－g/ω2
10.（1）当n0＝时，物体A开始滑动；（2）Δx＝。

图6.8－1

L

m

θ

图6.8－2

m

θ

G

O

F

FT

FT1

FT21

图6.8－3

A

B

θ

图6.8－4

A

B

θ

mg

FN

FN1

FN2

x

图6.8－5

l0

l

B

A

图6.8－6

图6.8－7

v

O

A　B

图6.8－10

图6.8－11

R

H

图6.8－12

ω

R

O

A