2019-2020学年高一数学人教A版必修5学案：第一章解三角形复习Word版含答案

第一章　解三角形
本章复习
学习目标
1.运用正弦定理、余弦定理,解决一些简单的三角形度量问题.
2.能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题.
3.培养分析问题、解决问题、自主探究的能力.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:以上我们学习了正弦定理、余弦定理及它们的应用,同学们回忆我们所学的基本知识,然后自己写出来.
二、信息交流,揭示规律
问题2:应用正弦定理、余弦定理我们可以解决三角形的哪几类问题?
【例1】在△ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是(　　)
A.b=20,A=45°,C=80°
B.a=30,c=28,B=60°
C.a=14,b=16,A=45°
D.a=12,c=15,A=120°
三、运用规律,解决问题
我们除了可以利用正弦定理、余弦定理直接解决解三角形之外,我们还可以解决判断三角形的形状的问题:
根据所给条件确定三角形的形状,主要有两条途径:(1)化边为角;(2)化角为边.
常见具体方法有:
(1)通过正弦定理实施边角转换;
(2)通过余弦定理实施边角转换;
(3)通过三角变换找出角之间的关系;
(4)通过三角函数值符号的判断及正弦定理、余弦函数有界性的讨论;另外要注意b2+c2-a2>0?A为锐角,b2+c2-a2=0?A为直角,b2+c2-a2<0?A为钝角.
【例2】已知方程x2-(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和,且a,b为△ABC的两边,A,B为两内角,试判定这个三角形的形状.
四、变式训练,深化提高
在我们掌握了基本的解三角形之外,我们还可以应用它来解决实际应用问题.
问题3:请同学们思考我们可以用正弦定理、余弦定理解决实际问题的哪几类?
我们一般的解题思路是:
(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得出所要求的解.
【例3】如图,测量人员沿直线MNP的方向测量,测得塔顶A的仰角分别是∠AMB=30°,∠ANB=45°,∠APB=60°,且MN=PN=500m,求塔高AB(结果精确到0.1m).
【例4】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin2B+sin2C=sin2A+sin Bsin C,且=4,求△ABC的面积S.
五、限时训练
(一)选择题
1.在△ABC中,a=6,B=30°,C=120°,则△ABC的面积是(　　)
A.9 B.18 C.9 D.18
2.在△ABC中,若,则B的值为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.在△ABC中,若b=2asin B,则这个三角形中角A的值是(　　)
A.30°或60° B.45°或60°
C.60°或120° D.30°或150°
4.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是(　　)
A.b=10,A=45°,C=70° B.a=60,c=48,B=60°
C.a=7,b=5,A=80° D.a=7,b=8,A=45°
5.已知三角形的两边长分别为4,5,它们夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根,则第三边长是(　　)
A. B. C. D.
6.在△ABC中,如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,那么角A等于(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
7.在△ABC中,若A=60°,b=16,此三角形面积S=220,则a的值是(　　)
A.20 B.75 C.51 D.49
8.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(　　)
A. B. C. D.3
9.在△ABC中,若b+c=+1,C=45°,B=30°,则(　　)
A.b=1,c= B.b=,c=1
C.b=,c=1+ D.b=1+,c=
10.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是(　　)
A.k=8 B.0C.k≥12 D.0(二)填空题
11.在△ABC中,若a∶b∶c=1∶2∶,则最大角的余弦值等于　　　　.?
12.在△ABC中,a=5,B=105°,C=15°,则此三角形的最大边的长为　　　　.?
13.在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,则a=　　　　.?
14.在△ABC中,a+b=12,A=60°,B=45°,则a=　　　　,b=　　　　.?
(三)解答题
15.在△ABC中,D在边BC上,且BD=2,DC=1,∠B=60°,∠ADC=150°,求AC的长及△ABC的面积.
16.在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos B+ccos C=acos A,试判断△ABC的形状.
17.如图,海中有一小岛,周围3.8海里内有暗礁.一军舰从A地出发由西向东航行,望见小岛B在北偏东75°,航行8海里到达C处,望见小岛B在北偏东60°.若此舰不改变舰行的方向继续前进,问此舰有没有触礁的危险?
18.如图,货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行.为了确定船的位置,在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后,货轮到达C点处,观测到灯塔A的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离.
19.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km/h,飞机先看到山顶的俯角为15°,经过420s后又看到山顶的俯角为45°,求山顶的海拔高度(取≈1.4,≈1.7,结果精确到1m).
20.如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方20km处和54km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8s后监测点A,20s后监测点C相继收到这一信号.在当时气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5km/s.
(1)设A到P的距离为x km,用x表示B,C到P的距离,并求x值;
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km).
六、反思小结,观点提炼
1.(1)两类正弦定理解三角形的问题:
(2)两类余弦定理解三角形的问题:
2.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.
3.解题中利用△ABC中A+B+C=π,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算,如:sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tanC,
sin=cos,cos=sin.
4.求解三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:
(2)建模:
(3)求解:
(4)检验:
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:1.正弦定理:在△ABC中,=2R.
注:①R表示△ABC外接圆的半径;②正弦定理可以变形成各种形式来使用.
2.余弦定理:在△ABC中,
a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C;
也可以写成第二种形式
cos A=,cos B=,cos C=.
3.△ABC的面积公式,S=absin C=bcsin A=acsin B.
二、信息交流,揭示规律
问题2:
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角
(如a,B,C)
正弦定理
由A+B+C=180°求出角A;由正弦定理求出b与c;
S△=acsin B.
在有解时只有一解.
两边和夹角
(如a,b,C)
余弦定理
由余弦定理求出第三边c;由正弦定理求出小边所对的角;再由A+B+C=180°求出另一角,S△=absin C.
在有解时只有一解.
三边
(a,b,c)
余弦定理
由余弦定理求出角A,B,再利用A+B+C=180°,求出角C,
S△=absin C.
在有解时只有一解.
两边和其中一边的对角
(如a,b,A)
正弦定理
由正弦定理求出角B,由A+B+C=180°,求出角C,再利用正弦定理求出c,S△=absin C.可有两解、一解或无解.
【例1】解析:方法一:A中已知两角及一边有唯一解;B中已知两边及夹角有唯一解;C中,bsin A=8<14有两解;D中,A是最大角,但a方法二:由a=14,b=16,A=45°及正弦定理得,,所以sin B=,因为a答案:C
三、运用规律,解决问题
【例2】解:方法一:设方程的两根为x1,x2,由韦达定理知x1+x2=bcos A,x1x2=acos B,
由题意得bcos A=acos B,根据余弦定理,得
b·=a·.
∴b2+c2-a2=a2+c2-b2,
化简得a=b,∴△ABC为等腰三角形.
方法二:同方法一得bcos A=acos B,
由正弦定理,得2Rsin Bcos A=2Rsin Acos B,
∴sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,
∵A,B为三角形的内角,
∴A=B,故△ABC为等腰三角形.
四、变式训练,深化提高
问题3:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题.
【例3】解:设AB=x,
∵AB垂直于地面,
∴△ABM,△ABN,△ABP均为直角三角形,
∴BM=x,BN==x,
BP=x.
在△MNB中,BM2=MN2+BN2-2MN·BN·cos∠MNB,
∴3x2=250000+x2-2×500x·cos∠MNB.　①
在△BNP中,BP2=NP2+BN2-2NP·BN·cos∠BNP,
∴=250000+x2-2×500x·cos∠BNP.　②
∵∠MNB+∠BNP=180°,
∴cos∠MNB=-cos∠BNP.　③
由①②③,得x2=,解得x≈612.4m.
∴塔高AB为612.4m.
【例4】解:由已知得b2+c2=a2+bc,
∴bc=b2+c2-a2=2bccos A,∴cos A=,sin A=.
由=4,得bccos A=4,∴bc=8.
∴S=bcsin A=2.
五、限时训练
1.C　2.B　3.D　4.D　5.B　6.B　7.D　8.B　9.A　10.D
11.-　12.　13.6或3　14.36-12　12-24
15.解:在△ABC中,∠BAD=150°-60°=90°,∴在Rt△ABD中,AD=2sin60°=,AB=2cos60°=1.
在△ACD中,AC2=()2+12-2××1×cos150°=7,∴AC=.
∴S△ABC=×1×3×sin60°=.
16.解:∵bcos B+ccos C=acos A,由正弦定理,得sin Bcos B+sin Ccos C=sin Acos A,
即sin2B+sin2C=2sin Acos A,
∴2sin(B+C)cos(B-C)=2sin Acos A.
∵A+B+C=π,
∴sin(B+C)=sin A.
而sin A≠0,∴cos(B-C)=cos A,即cos(B-C)+cos(B+C)=0,
∴2cos Bcos C=0.
∵0∴B=或C=,即△ABC是直角三角形.
17.解:过点B作BD⊥AE交AE于点D.
由题意,知AC=8海里,∠ABD=75°,∠CBD=60°.
在Rt△ABD中,
AD=BD·tan∠ABD=BD·tan75°.
在Rt△CBD中,
CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°.
∴AD-CD=BD(tan75°-tan 60°)=AC=8(海里),
∴BD==4(海里).
∵4>3.8,∴该军舰没有触礁的危险.
18.解:在△ABC中,∠B=152°-122°=30°,∠C=180°-152°+32°=60°,∠A=180°-30°-60°=90°,BC=n mile,则AC=sin30°=(n mile).
答:货轮与灯塔之间的距离为n mile.
19.解:如图,∵∠A=15°,∠DBC=45°,∴∠ACB=30°.
AB=180×=21(km)=21000(m),
在△ABC中,由正弦定理,得,
∴BC=·sin 15°=10500().
∵CD⊥AD,
∴CD=BCsin∠CBD=BCsin 45°
=10500()×
=10500(-1)≈10500×(1.7-1)
=7350(m).
∴山顶的海拔高度=10000-7350=2650(m).
20.解:(1)依题意,PA-PB=1.5×8=12(km),PC-PB=1.5×20=30(km).
因此PB=(x-12)km,PC=(18+x)km.
在△PAB中,AB=20km,
cos∠PAB=.
同理,在△PAC中,cos∠PAC=.
由于cos∠PAB=cos∠PAC,
即,解得x=.
(2)如图,作PD⊥a,垂足为D.在Rt△PDA中,
PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB=x·
≈17.71(km).
答:静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km.
六、反思小结,观点提炼
1.(1)①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.
(2)①已知三边求三角.
②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角.
4.求解三角形应用题的一般步骤:
(1)分析题意,弄清已知和所求;
(2)将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图;
(3)正确运用正弦定理、余弦定理求解;
(4)检验上述所求是否符合实际意义.