2019-2020学年高一数学人教A版必修5学案：第二章数列复习（1）Word版含答案

第二章　数列
本章复习
本章复习(第1课时)
学习目标
掌握数列的概念及数列的通项公式;掌握等差数列、等比数列的基本概念及性质,掌握等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式.掌握特殊数列的求和方法,如:倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.利用数列中an与Sn之间的关系,求通项公式及解决其他数列问题.利用数列的递推关系,求通项公式,结合前n项和公式,解决数列的应用题.
利用方程的思想、根据公式列方程(组),解决等差数列、等比数列中的“知三求二”问题;利用函数的思想,根据函数的图象、单调性、值域等解决数列中项的最值及数列的前n项和Sn的最值问题;利用等价转化的思想把非等差数列、等比数列问题转化为等差数列、等比数列问题来解决;利用分类讨论的思想解决等比数列的公比q是否为1等问题.
合作学习
一、回顾本章所学知识和方法形成知识结构
本章知识结构:
二、通过再现题组和巩固题组进一步掌握本章所学知识和方法
(一)再现题组
1.已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10等于(　　)
A.64 B.100 C.110 D.120
2.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}的前7项的和为(　　)
A.63 B.64 C.127 D.128
3.数列1,3,5,7,…的通项公式是　　　　　.?
【变式与拓展】已知数列的前几项求通项.
(1)2,5,10,17,26;
(2)1,-1,1,-1,1;
(3)3,33,333,3333.
4.已知数列{an}满足a1=1,an=+1(n≥2),则a5=　　　　　　.?
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n2+n,则数列的通项公式an=　　　　　　　.?
6.已知an=-n2+25n(n∈N*),则数列{an}的最大项是　　　　　　.?
回顾:
1.数列的概念和通项公式.
2.等差数列
(1)定义:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*).
(2)通项公式:an=a1+(n-1)d,an=dn+(a1-d),an=pn+q,an=am+(n-m)d.
(3)前n项和公式:Sn=,Sn=na1+d,Sn=n2+n,Sn=An2+Bn.
(4)重要性质:
等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq,数列{an}中,2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*)?{an}是等差数列.
若a,A,b成等差数列,则称A为a与b的等差中项,且2A=a+b,A有唯一值.
等差数列{an}中,公差为d,则对任意的k∈N*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成等差数列,公差为k2d.
3.等比数列
(1)定义:=q(n∈N*)或=q(n≥2,n∈N*)(q≠0).
(2)通项公式:an=a1qn-1,an=amqn-m,an=aqn(a,q≠0).
(3)前n项和公式:Sn=
(4)重要性质:
等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则aman=apaq,特别地,若m+n=2p,则aman=.
数列{an}中,an≠0,n∈N*,=an-1an+1(n≥2,n∈N*)?{an}是等比数列.
若a,A,b成等比数列,则称A为a与b的等比中项,且A2=ab(ab>0),A=±.
等比数列{an}中,公比为q,Sn≠0,则对任意的k∈N*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成等比数列,公比为qk.
4.Sn与an的关系.
(二)巩固题组
【例1】已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=n,求通项公式an.
【例2】设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.
(1)若S5=5,求S6及a1;
(2)求d的取值范围.
【例3】设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,求S5.
【例4】已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和Sn.
【例5】已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和Sn.
三、反思小结,观点提炼
1.等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
2.熟练运用性质解决问题.
3.产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题,求利率、增长率等问题常归结为数列建模问题.
4.将实际问题转化为数列问题时应注意:
(1)分清是等差数列还是等比数列;
(2)分清是求an还是求Sn,特别要准确地确定项数n.
5.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.
参考答案
(一)再现题组
1.B　提示:设数列的公差为d,则故S10=10a1+d=100.
2.C　提示:因为a1=1,a5=16,所以q4==16.
因为q>0,所以q=2,从而S7==127.
3.an=2n-1　提示:数列的前4项1,3,5,7都是序号的2倍减1,所以通项公式为an=2n-1.
【变式与拓展】(1)an=n2+1;(2)an=(-1)n+1;(3)an=(10n-1).
4.
5.an=6n-2　提示:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n-2.当n=1时,a1=S1=4也适合公式.所以数列的通项公式为an=6n-2.
6.第12项或第13项　提示:an是关于n的二次函数,结合二次函数求最值,同时要考虑n∈N*这一条件.
(二)巩固题组
【例1】解:方法一:迭代法:an=an-1+(n-1)=an-2+(n-1)+(n-2)
=…=a1+(n-1)+(n-2)+…+1=1+.
方法二:累加法:由已知an+1-an=n,
∴a2-a1=1,a3-a2=2,…,an-an-1=n-1,
以上各式相加得an-a1=,∴an=.
【例2】【命题立意】本题主要考查等差数列的概念、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解即可.
解:(1)由题意知,S6==-3,a6=S6-S5=-8.所以
解得a1=7.所以S6=-3,a1=7.
(2)方法一:因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
即2+9da1+10d2+1=0.
故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8.故d的取值范围为d≤-2或d≥2.
方法二:因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0.
看成关于a1的一元二次方程,因为有实根,所以Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0,解得d≤-2或d≥2.
【例3】【命题立意】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式.
【思路点拨】列出关于a1,q的方程组,解出a1,q再利用前n项和公式求出S5.
解:设该等比数列的首项为a1,公比为q,由题意知,解得
∴S5=.
【例4】【命题立意】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查学生的运算求解能力.
解:(1)由题设知公差d≠0
由a1=1,a1,a3,a9成等比数列,得=a1a9,即(1+2d)2=1×(1+8d).
解得d=1,d=0(舍去d=0),
故{an}的通项公式为an=1+(n-1)×1=n.
(2)由(1)知=2n,
故Sn=2+22+23+…+2n==2n+1-2.
【例5】【命题立意】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式,熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键.
【思路点拨】(1)由a3=-6,a6=0可列方程组解出a1,d,从而可求出通项公式;(2)求出b2,再求出通项公式.代入等比数列的前n项和公式即可.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
因为a3=-6,a6=0,
所以
解得所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q,
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24,即q=3,
所以{bn}的前n项和为Sn==4×(1-3n),