2020年北师大版数学下册九年级《第3章 圆》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年北师大版数学下册九年级《第3章 圆》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 645.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-03 13:37:59 | ||
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文档简介
2020年北师大版数学下册九年级《第3章 圆》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
2．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2 B．4cm C． D．
3．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
4．形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（0，） C．（，0） D．（1，）
5．AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°，则弦AB所对的圆周角是（ ）
A．40° B．140°或40° C．20° D．20°或160°
6．如图，四边形ABCD内接于圆O，E为CD延长线上一点，若∠B＝110°，则∠ADE的度数为（ ）
A．115° B．110° C．90° D．80°
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O，则M、N、P、Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
9．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
10．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是弧AD的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q．则下列说法中正确的个数为（ ）
①CO⊥AD；②∠COB＝2∠GDC；③P是△ACQ的外心；④若tan∠ABC＝，CF＝8，则CQ＝；⑤（FP+PQ）2＝FP?FG；⑥PQ＝QD．
A．3 B．4 C．5 D．6
11．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．2 D．3
二．填空题（共8小题）
13．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝ ．
14．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值 ．
15．如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为 cm．
16．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 ．
17．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC形外一点，且AD＝AC，则∠BDC的度数为 ．
18．如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝ ．
19．如图，在⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE＝3，AE＝4，DE＝2，则⊙O的半径是 ．
20．P为⊙O内一点，OP＝3cm，⊙O的半径为5cm，则经过P点的最短弦长为 cm，最长弦长为 cm．
三．解答题（共8小题）
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？
22．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
23．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？
24．如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，＝，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC＝BD．
25．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．
（1）求直径AB的长；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
26．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD?DC＝PA?BC．
27．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
28．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．
2020年北师大版数学下册九年级《第3章 圆》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断．
【解答】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项错误；
D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．
2．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2 B．4cm C． D．
【分析】连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB于点E，根据折叠的性质可知OE＝DE，再根据垂径定理可知AE＝BE，在Rt△AOE中利用勾股定理即可求出AE的长，进而可求出AB的长．
【解答】解：如图所示，
连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB于点E，
∵折叠后恰好经过圆心，
∴OE＝DE，
∵⊙O的半径为4，
∴OE＝OD＝×4＝2，
∵OD⊥AB，
∴AE＝AB，
在Rt△AOE中，
AE＝＝＝2．
∴AB＝2AE＝4．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用及翻折变换的性质，根据题意画出图形，作出辅助线利用数形结合解答．
3．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．
连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD＝6
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5
故选：A．
【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．
4．形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（0，） C．（，0） D．（1，）
【分析】连接OQ、OP，求出∠POQ的度数，得出等边三角形POQ，得出PQ＝OQ＝OP＝2，∠OPQ＝∠OQP＝60°，求出∠AOQ度数，根据三角形的内角和定理求出∠QAO，求出AQ、OA，即可得出答案．
【解答】解：连接OQ、PO，
则∠POQ＝120°﹣60°＝60，
∵PO＝OQ，
∴△POQ是等边三角形，
∴PQ＝OP＝OQ＝×4cm＝2cm，∠OPQ＝∠OQP＝60°，
∵∠AOQ＝90°﹣60°＝30°，
∴∠QAO＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AQ＝OQ＝1cm，
∵在Rt△AOQ中，由勾股定理得：OA＝＝，
∴A的坐标是（0，），
故选B．
方法二：由于是选择题，只有B选项在y轴上，
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是构造三角形后求出OA的长，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．
5．AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°，则弦AB所对的圆周角是（ ）
A．40° B．140°或40° C．20° D．20°或160°
【分析】此题要分两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，从而得到答案．
【解答】解：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角：
∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°；
当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角：
∠ADB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣40°＝140°；
所以弦AB所对的圆周角是40°或140°．
故选：B．
【点评】注意：弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的关系．
6．如图，四边形ABCD内接于圆O，E为CD延长线上一点，若∠B＝110°，则∠ADE的度数为（ ）
A．115° B．110° C．90° D．80°
【分析】由四边形ABCD内接于圆O，E为CD延长线上一点，若∠B＝110°，根据圆的内接四边形的性质，即可求得∠ADC的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，∠B＝110°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ADC＝110°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质．注意圆的内接四边形的对角互补．
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．
【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，
QA＝r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA?QC＝QP?QD．
即（r﹣m）（r+m）＝m?QD，所以QD＝．
连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选：D．
【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．
8．如图，小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O，则M、N、P、Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】连接OM，ON，OQ，OP，由线段垂直平分线的性质可得出OM＝ON＝OQ，据此可得出结论．
【解答】解：连接OM，ON，OQ，OP，
∵MN、MQ的垂直平分线交于点O，
∴OM＝ON＝OQ，
∴M、N、Q再以点O为圆心的圆上，OP与ON的大小不能确定，
∴点P不一定在圆上．
故选：C．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
9．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
10．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是弧AD的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q．则下列说法中正确的个数为（ ）
①CO⊥AD；②∠COB＝2∠GDC；③P是△ACQ的外心；④若tan∠ABC＝，CF＝8，则CQ＝；⑤（FP+PQ）2＝FP?FG；⑥PQ＝QD．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】①由于C是弧AD的中点，根据垂径定理即可证明CO⊥AD；
②根据圆内接四边形的性质可得∠GDC＝∠BAC，根据圆周角等量可得∠COB＝2∠BAC，等量代换可得∠COB＝2∠GDC；
③由于AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，只需证明P是Rt△ACQ斜边AQ的中点即可；由垂径定理易知弧AC＝弧AE，而C是弧AD的中点，那么弧CD＝弧AE，即∠PAC＝∠PCA，根据等角的余角相等，还可得到∠AQC＝∠PCQ，由此可证得AP＝PC＝PQ，即P是△ACQ的外心；
④由③的相等弧可知：∠ABC＝∠ACE＝∠CAQ，那么它们的正切值也相等；在Rt△CAF中，根据CF的长及∠ACF的正切值，通过解直角三角形可求得AC的长，进而可在Rt△CAQ中，根据∠CAQ的正切值求出CQ的长；
⑤由③知：PQ＝CP，则所求的乘积式可化为：CF2＝FP?FG；在Rt△ACB中，由射影定理得：CF2＝AF?FB，因此只需证明AF?FB＝FG?FP即可，将上式化成比例式，证线段所在的三角形相似即可，即证Rt△AFP∽Rt△GFB；
⑥根据题目已知无法证明PQ＝QD，依此即可作出判断．
【解答】①证明∵C是弧AD的中点，
∴∴弧AC＝弧CD，
∴CO⊥AD；
②∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠GDC＝∠BAC，
∵∠COB＝2∠BAC，
∴∠COB＝2∠GDC；
③证明：∵C是弧AD的中点，
∴弧AC＝弧CD，
∴∠CAD＝∠ABC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠CAD+∠AQC＝90°
又∵CE⊥AB，
∴∠ABC+∠PCQ＝90°
∴∠AQC＝∠PCQ
∴在△PCQ中，PC＝PQ，
∵CE⊥直径AB，
∴弧AC＝弧AE，
∴弧AE＝弧CD，
∴∠CAD＝∠ACE．
∴在△APC中，有PA＝PC，
∴PA＝PC＝PQ
∴P是△ACQ的外心．
④解：∵CE⊥直径AB于F，
∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC＝＝，CF＝8，
得BF＝．
∴由勾股定理，得BC＝＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC＝＝，BC＝，
∴AC＝10，
易知Rt△ACB∽Rt△QCA，
∴AC2＝CQ?BC，
∴CQ＝＝；
⑤证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
又∵CF⊥AB，
∴∠ABG+∠G＝90°，
∴∠DAB＝∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
∴＝，即AF?BF＝FP?FG
易知Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴CF2＝AF?BF（或由射影定理得）
∴FC2＝PF?FG，
由③，知PC＝PQ，
∴FP+PQ＝FP+PC＝FC
∴（FP+PQ）2＝FP?FG；
⑥由题目条件无法得到PQ＝QD．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，涉及的知识点有：圆心角、弧的关系，垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，有一定的难度．
11．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
【解答】解：∵d＝3＜半径＝4
∴直线与圆相交
∴直线m与⊙O公共点的个数为2个
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交?d＜r②直线l和⊙O相切?d＝r，③直线l和⊙O相离?d＞r．
12．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．2 D．3
【分析】首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，
∴AB＝OA＝6，
∴OP＝＝3，
∴PQ＝＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．
二．填空题（共8小题）
13．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝ 50° ．
【分析】如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE＝25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．
【解答】解：如图，连接BE．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝∠AEB＝90°，
∵∠A＝65°，
∴∠ABE＝25°，
∴∠DOE＝2∠ABE＝50°，（圆周角定理）
故答案为：50°．
【点评】本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大．
14．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值 ．
【分析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB＝A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，
又∵OA＝OA′＝1，
∴A′B＝．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝．
故答案为：．
【点评】本题结合图形的性质，考查轴对称﹣﹣最短路线问题．其中求出∠BOA′的度数是解题的关键．
15．如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为 cm．
【分析】连接OC，利用垂径定理解答即可．
【解答】解：连接OC，
∵直尺一边与量角器相切于点C，
∴OC⊥AD，
∵AD＝10，∠DOB＝60°，
∴∠DAO＝30°，
∴OE＝，OA＝，
∴CE＝OC﹣OE＝OA﹣OE＝，
故答案为：
【点评】此题考查垂径定理，关键是利用垂径定理解答．
16．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 150° ．
【分析】作辅助线，证明△AGO是等边三角形，则∠AOG＝60°，同理∠BOG＝60°，所以∠BOC＝90°+60°＝150°，根据圆心角的度数等于弧的度数可以得出结论．
【解答】解：如图，
过O作OG⊥AB，交⊙O于G，交AB于H，连接AG、AO，
由折叠得：GH＝OH，
∴AG＝AO，
∵AO＝OG，
∴AO＝OG＝AG，
∴△AGO是等边三角形，
∴∠AOG＝60°，
同理∠BOG＝60°，
∴∠BOC＝90°+60°＝150°，
则弧的度数是150°；
故答案为：150°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的性质、垂径定理、等腰三角形的三线合一的性质、翻折变换，明确翻折前后的边相等，熟练掌握垂径定理、等腰三角形的三线合一的性质是关键．
17．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC形外一点，且AD＝AC，则∠BDC的度数为 45°或135° ．
【分析】首先根据题意画出图形，由AB＝AC，AD＝AC，可得点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理与圆的内接四边形的性质，求得∠BDC的度数．
【解答】解：如图，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠BDC＝∠BAC＝×90°＝45°，
∠BD′C＝180°﹣∠BDC＝135°．
∴∠BDC的度数为45°或135°．
故答案为：45°或135°．
【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意根据题意画出图形，得到点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上是关键．
18．如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝ 60° ．
【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．
【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC＝∠AOC；
∵∠ADC＝β，∠AOC＝α；而α+β＝180°，
∴，
解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，
故答案为：60°．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
19．如图，在⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE＝3，AE＝4，DE＝2，则⊙O的半径是 4 ．
【分析】利用相交弦定理，可以求出CE的长，从而知道CD的长，就可求出⊙O的半径．
【解答】解：根据相交弦定理，AE?BE＝CE?DE，
又∵BE＝3，AE＝4，DE＝2，
∴CE＝6
∴CD＝CE+DE＝8
那么圆的半径等于4．
故此题应该填4．
【点评】此题考查了相交弦定理，先求出直径，再得出半径．
20．P为⊙O内一点，OP＝3cm，⊙O的半径为5cm，则经过P点的最短弦长为 8 cm，最长弦长为 10 cm．
【分析】当弦与OP垂直时，弦最短，过P点经过圆心的弦最长．
【解答】解：当弦与OP垂直时，弦最短，最短弦为8cm，
过P点经过圆心的弦最长为直径，最长弦为10cm．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
三．解答题（共8小题）
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？
【分析】连结OC、OD，由OA＝OB，AE＝BF，得到OE＝OF，由CE⊥AB，DF⊥AB得到∠OEC＝∠OFD＝90°，再根据“HL”可判断Rt△OEC≌Rt△OFD，则∠COE＝∠DOF，所以AC弧＝BD弧，AC＝BD．
【解答】解：AC与BD相等．理由如下：
连结OC、OD，如图，
∵OA＝OB，AE＝BF，
∴OE＝OF，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠OEC＝∠OFD＝90°，
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），
∴∠COE＝∠DOF，
∴＝，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
22．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
【分析】过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD＝2DF即可求出CD的长．
【解答】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF＝DF，
∵AE＝2，EB＝6，
∴AB＝AE+EB＝2+6＝8，
∴OA＝4，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，
在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，
∴OF＝OE＝1，
在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，
根据勾股定理得：DF＝＝，
则CD＝2DF＝2．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握定理是解本题的关键．
23．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？
【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
【点评】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
24．如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，＝，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC＝BD．
【分析】连接OA、OB，根据半径相等得到∠A＝∠B，根据等弧所对的圆周角相等得到∠AOC＝∠BOD，根据三角形全等的判定定理证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系以及三角形全等的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
25．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．
（1）求直径AB的长；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB＝90°，然后在直角三角形ABC中利用边角关系、勾股定理来求直径AB的长度；
（2）连接OD．利用（1）中求得AB＝4可以推知OA＝OD＝2；然后由角平分线的性质求得∠AOD＝90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得
阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，…（1分）
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC，…（3分）
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AB2+62，…（5分）
∴AB＝4． …（6分）
（2）连接OD．
∵AB＝4，∴OA＝OD＝2，…（8分）
∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，…（9分）
∴S△AOD＝OA?OD＝?2?2＝6，…（10分）
∴S扇形△AOD＝?π?OD2＝?π?（2）2＝3π，…（11分）
∴阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD＝3π﹣6． …（12分）
【点评】本题综合考查了圆周角定理、含30度角的直角三角形以及扇形面积公式．解答（2）题时，采用了“数形结合”的数学思想．
26．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD?DC＝PA?BC．
【分析】要证AD?DC＝PA?BC，需证△PAD∽△DCB；由DP∥AC，可得∠ADP＝∠DAC＝∠DBC；由于∠DAP是圆内接四边形ABCD的一个外角，故有∠DAP＝∠DCB；从而△PAD∽△DCB成立，由此得证．
【解答】证明：如图，连接AC，连接BD．
∵DP∥AC，
∴∠PDA＝∠DAC．
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠PDA＝∠DBC．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAP＝∠DCB．
∴△PAD∽△DCB．
得PA：DC＝AD：BC，
即AD?DC＝PA?BC．
【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识．
27．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 （2，0） ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
【分析】（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；
（2）根据图形即可得出点M的坐标
（3）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
【解答】解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM＝＝2．
线段MD＝＝＜2，
所以点D在⊙M内．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐标是解题的关键．
28．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．
【分析】（1）根据题意画出图形，再作出辅助线构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质进行证明；
（2）注意要分二种情况讨论：即B、D在AC两侧和B、D在AC同侧．
【解答】解：（1）线段MN与BD垂直．
连接MB与MD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可以知道
MB＝，MD＝，所以MB＝MD．
三角形MBD中，N是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：
MN垂直BD．
（2）如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，
∵M是AC的中点，
∴MD⊥AC，△BCM是等边三角形，
∴在Rt△BEM中，∠EMB＝30°，
∵AC＝4，∴BM＝2，
∴BE＝1，EM＝，MD＝2，
从而可知
BD＝＝2
∴BN＝．
由Rt△BMN可得：
MN＝＝．
如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD＝AC，MBAC，
∴MD＝MB，
∵∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，
∴∠BMC＝60°，∠DMC＝90°，
∴∠BMD＝30°，
∴∠BDM＝＝75°，
∵∠MDA＝45°
∴∠EDB＝180°﹣∠BDM﹣∠MDA＝60°，
令ED＝x，则BE＝x，AD＝2，AB＝2，
∴由Rt△ABE可得：（2）2＝（x）2+（x+2）2，
解得x＝，则BD＝2，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD＝2 DN＝．
由Rt△MND可得：
MN＝＝．
【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质和解直角三角形的方法，同时考查了分类讨论思想．
一．选择题（共12小题）
1．下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
2．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2 B．4cm C． D．
3．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
4．形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（0，） C．（，0） D．（1，）
5．AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°，则弦AB所对的圆周角是（ ）
A．40° B．140°或40° C．20° D．20°或160°
6．如图，四边形ABCD内接于圆O，E为CD延长线上一点，若∠B＝110°，则∠ADE的度数为（ ）
A．115° B．110° C．90° D．80°
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O，则M、N、P、Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
9．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
10．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是弧AD的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q．则下列说法中正确的个数为（ ）
①CO⊥AD；②∠COB＝2∠GDC；③P是△ACQ的外心；④若tan∠ABC＝，CF＝8，则CQ＝；⑤（FP+PQ）2＝FP?FG；⑥PQ＝QD．
A．3 B．4 C．5 D．6
11．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．2 D．3
二．填空题（共8小题）
13．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝ ．
14．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值 ．
15．如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为 cm．
16．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 ．
17．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC形外一点，且AD＝AC，则∠BDC的度数为 ．
18．如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝ ．
19．如图，在⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE＝3，AE＝4，DE＝2，则⊙O的半径是 ．
20．P为⊙O内一点，OP＝3cm，⊙O的半径为5cm，则经过P点的最短弦长为 cm，最长弦长为 cm．
三．解答题（共8小题）
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？
22．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
23．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？
24．如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，＝，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC＝BD．
25．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．
（1）求直径AB的长；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
26．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD?DC＝PA?BC．
27．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
28．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．
2020年北师大版数学下册九年级《第3章 圆》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断．
【解答】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项错误；
D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．
2．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2 B．4cm C． D．
【分析】连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB于点E，根据折叠的性质可知OE＝DE，再根据垂径定理可知AE＝BE，在Rt△AOE中利用勾股定理即可求出AE的长，进而可求出AB的长．
【解答】解：如图所示，
连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB于点E，
∵折叠后恰好经过圆心，
∴OE＝DE，
∵⊙O的半径为4，
∴OE＝OD＝×4＝2，
∵OD⊥AB，
∴AE＝AB，
在Rt△AOE中，
AE＝＝＝2．
∴AB＝2AE＝4．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用及翻折变换的性质，根据题意画出图形，作出辅助线利用数形结合解答．
3．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．
连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD＝6
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5
故选：A．
【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．
4．形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（0，） C．（，0） D．（1，）
【分析】连接OQ、OP，求出∠POQ的度数，得出等边三角形POQ，得出PQ＝OQ＝OP＝2，∠OPQ＝∠OQP＝60°，求出∠AOQ度数，根据三角形的内角和定理求出∠QAO，求出AQ、OA，即可得出答案．
【解答】解：连接OQ、PO，
则∠POQ＝120°﹣60°＝60，
∵PO＝OQ，
∴△POQ是等边三角形，
∴PQ＝OP＝OQ＝×4cm＝2cm，∠OPQ＝∠OQP＝60°，
∵∠AOQ＝90°﹣60°＝30°，
∴∠QAO＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AQ＝OQ＝1cm，
∵在Rt△AOQ中，由勾股定理得：OA＝＝，
∴A的坐标是（0，），
故选B．
方法二：由于是选择题，只有B选项在y轴上，
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是构造三角形后求出OA的长，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．
5．AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°，则弦AB所对的圆周角是（ ）
A．40° B．140°或40° C．20° D．20°或160°
【分析】此题要分两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，从而得到答案．
【解答】解：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角：
∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°；
当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角：
∠ADB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣40°＝140°；
所以弦AB所对的圆周角是40°或140°．
故选：B．
【点评】注意：弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的关系．
6．如图，四边形ABCD内接于圆O，E为CD延长线上一点，若∠B＝110°，则∠ADE的度数为（ ）
A．115° B．110° C．90° D．80°
【分析】由四边形ABCD内接于圆O，E为CD延长线上一点，若∠B＝110°，根据圆的内接四边形的性质，即可求得∠ADC的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，∠B＝110°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ADC＝110°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质．注意圆的内接四边形的对角互补．
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．
【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，
QA＝r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA?QC＝QP?QD．
即（r﹣m）（r+m）＝m?QD，所以QD＝．
连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选：D．
【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．
8．如图，小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O，则M、N、P、Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】连接OM，ON，OQ，OP，由线段垂直平分线的性质可得出OM＝ON＝OQ，据此可得出结论．
【解答】解：连接OM，ON，OQ，OP，
∵MN、MQ的垂直平分线交于点O，
∴OM＝ON＝OQ，
∴M、N、Q再以点O为圆心的圆上，OP与ON的大小不能确定，
∴点P不一定在圆上．
故选：C．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
9．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
10．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是弧AD的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q．则下列说法中正确的个数为（ ）
①CO⊥AD；②∠COB＝2∠GDC；③P是△ACQ的外心；④若tan∠ABC＝，CF＝8，则CQ＝；⑤（FP+PQ）2＝FP?FG；⑥PQ＝QD．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】①由于C是弧AD的中点，根据垂径定理即可证明CO⊥AD；
②根据圆内接四边形的性质可得∠GDC＝∠BAC，根据圆周角等量可得∠COB＝2∠BAC，等量代换可得∠COB＝2∠GDC；
③由于AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，只需证明P是Rt△ACQ斜边AQ的中点即可；由垂径定理易知弧AC＝弧AE，而C是弧AD的中点，那么弧CD＝弧AE，即∠PAC＝∠PCA，根据等角的余角相等，还可得到∠AQC＝∠PCQ，由此可证得AP＝PC＝PQ，即P是△ACQ的外心；
④由③的相等弧可知：∠ABC＝∠ACE＝∠CAQ，那么它们的正切值也相等；在Rt△CAF中，根据CF的长及∠ACF的正切值，通过解直角三角形可求得AC的长，进而可在Rt△CAQ中，根据∠CAQ的正切值求出CQ的长；
⑤由③知：PQ＝CP，则所求的乘积式可化为：CF2＝FP?FG；在Rt△ACB中，由射影定理得：CF2＝AF?FB，因此只需证明AF?FB＝FG?FP即可，将上式化成比例式，证线段所在的三角形相似即可，即证Rt△AFP∽Rt△GFB；
⑥根据题目已知无法证明PQ＝QD，依此即可作出判断．
【解答】①证明∵C是弧AD的中点，
∴∴弧AC＝弧CD，
∴CO⊥AD；
②∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠GDC＝∠BAC，
∵∠COB＝2∠BAC，
∴∠COB＝2∠GDC；
③证明：∵C是弧AD的中点，
∴弧AC＝弧CD，
∴∠CAD＝∠ABC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠CAD+∠AQC＝90°
又∵CE⊥AB，
∴∠ABC+∠PCQ＝90°
∴∠AQC＝∠PCQ
∴在△PCQ中，PC＝PQ，
∵CE⊥直径AB，
∴弧AC＝弧AE，
∴弧AE＝弧CD，
∴∠CAD＝∠ACE．
∴在△APC中，有PA＝PC，
∴PA＝PC＝PQ
∴P是△ACQ的外心．
④解：∵CE⊥直径AB于F，
∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC＝＝，CF＝8，
得BF＝．
∴由勾股定理，得BC＝＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC＝＝，BC＝，
∴AC＝10，
易知Rt△ACB∽Rt△QCA，
∴AC2＝CQ?BC，
∴CQ＝＝；
⑤证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
又∵CF⊥AB，
∴∠ABG+∠G＝90°，
∴∠DAB＝∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
∴＝，即AF?BF＝FP?FG
易知Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴CF2＝AF?BF（或由射影定理得）
∴FC2＝PF?FG，
由③，知PC＝PQ，
∴FP+PQ＝FP+PC＝FC
∴（FP+PQ）2＝FP?FG；
⑥由题目条件无法得到PQ＝QD．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，涉及的知识点有：圆心角、弧的关系，垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，有一定的难度．
11．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
【解答】解：∵d＝3＜半径＝4
∴直线与圆相交
∴直线m与⊙O公共点的个数为2个
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交?d＜r②直线l和⊙O相切?d＝r，③直线l和⊙O相离?d＞r．
12．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．2 D．3
【分析】首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，
∴AB＝OA＝6，
∴OP＝＝3，
∴PQ＝＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．
二．填空题（共8小题）
13．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝ 50° ．
【分析】如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE＝25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．
【解答】解：如图，连接BE．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝∠AEB＝90°，
∵∠A＝65°，
∴∠ABE＝25°，
∴∠DOE＝2∠ABE＝50°，（圆周角定理）
故答案为：50°．
【点评】本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大．
14．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值 ．
【分析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB＝A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，
又∵OA＝OA′＝1，
∴A′B＝．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝．
故答案为：．
【点评】本题结合图形的性质，考查轴对称﹣﹣最短路线问题．其中求出∠BOA′的度数是解题的关键．
15．如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为 cm．
【分析】连接OC，利用垂径定理解答即可．
【解答】解：连接OC，
∵直尺一边与量角器相切于点C，
∴OC⊥AD，
∵AD＝10，∠DOB＝60°，
∴∠DAO＝30°，
∴OE＝，OA＝，
∴CE＝OC﹣OE＝OA﹣OE＝，
故答案为：
【点评】此题考查垂径定理，关键是利用垂径定理解答．
16．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 150° ．
【分析】作辅助线，证明△AGO是等边三角形，则∠AOG＝60°，同理∠BOG＝60°，所以∠BOC＝90°+60°＝150°，根据圆心角的度数等于弧的度数可以得出结论．
【解答】解：如图，
过O作OG⊥AB，交⊙O于G，交AB于H，连接AG、AO，
由折叠得：GH＝OH，
∴AG＝AO，
∵AO＝OG，
∴AO＝OG＝AG，
∴△AGO是等边三角形，
∴∠AOG＝60°，
同理∠BOG＝60°，
∴∠BOC＝90°+60°＝150°，
则弧的度数是150°；
故答案为：150°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的性质、垂径定理、等腰三角形的三线合一的性质、翻折变换，明确翻折前后的边相等，熟练掌握垂径定理、等腰三角形的三线合一的性质是关键．
17．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC形外一点，且AD＝AC，则∠BDC的度数为 45°或135° ．
【分析】首先根据题意画出图形，由AB＝AC，AD＝AC，可得点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理与圆的内接四边形的性质，求得∠BDC的度数．
【解答】解：如图，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠BDC＝∠BAC＝×90°＝45°，
∠BD′C＝180°﹣∠BDC＝135°．
∴∠BDC的度数为45°或135°．
故答案为：45°或135°．
【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意根据题意画出图形，得到点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上是关键．
18．如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝ 60° ．
【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．
【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC＝∠AOC；
∵∠ADC＝β，∠AOC＝α；而α+β＝180°，
∴，
解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，
故答案为：60°．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
19．如图，在⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE＝3，AE＝4，DE＝2，则⊙O的半径是 4 ．
【分析】利用相交弦定理，可以求出CE的长，从而知道CD的长，就可求出⊙O的半径．
【解答】解：根据相交弦定理，AE?BE＝CE?DE，
又∵BE＝3，AE＝4，DE＝2，
∴CE＝6
∴CD＝CE+DE＝8
那么圆的半径等于4．
故此题应该填4．
【点评】此题考查了相交弦定理，先求出直径，再得出半径．
20．P为⊙O内一点，OP＝3cm，⊙O的半径为5cm，则经过P点的最短弦长为 8 cm，最长弦长为 10 cm．
【分析】当弦与OP垂直时，弦最短，过P点经过圆心的弦最长．
【解答】解：当弦与OP垂直时，弦最短，最短弦为8cm，
过P点经过圆心的弦最长为直径，最长弦为10cm．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
三．解答题（共8小题）
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？
【分析】连结OC、OD，由OA＝OB，AE＝BF，得到OE＝OF，由CE⊥AB，DF⊥AB得到∠OEC＝∠OFD＝90°，再根据“HL”可判断Rt△OEC≌Rt△OFD，则∠COE＝∠DOF，所以AC弧＝BD弧，AC＝BD．
【解答】解：AC与BD相等．理由如下：
连结OC、OD，如图，
∵OA＝OB，AE＝BF，
∴OE＝OF，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠OEC＝∠OFD＝90°，
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），
∴∠COE＝∠DOF，
∴＝，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
22．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
【分析】过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD＝2DF即可求出CD的长．
【解答】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF＝DF，
∵AE＝2，EB＝6，
∴AB＝AE+EB＝2+6＝8，
∴OA＝4，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，
在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，
∴OF＝OE＝1，
在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，
根据勾股定理得：DF＝＝，
则CD＝2DF＝2．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握定理是解本题的关键．
23．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？
【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
【点评】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
24．如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，＝，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC＝BD．
【分析】连接OA、OB，根据半径相等得到∠A＝∠B，根据等弧所对的圆周角相等得到∠AOC＝∠BOD，根据三角形全等的判定定理证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系以及三角形全等的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
25．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．
（1）求直径AB的长；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB＝90°，然后在直角三角形ABC中利用边角关系、勾股定理来求直径AB的长度；
（2）连接OD．利用（1）中求得AB＝4可以推知OA＝OD＝2；然后由角平分线的性质求得∠AOD＝90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得
阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，…（1分）
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC，…（3分）
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AB2+62，…（5分）
∴AB＝4． …（6分）
（2）连接OD．
∵AB＝4，∴OA＝OD＝2，…（8分）
∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，…（9分）
∴S△AOD＝OA?OD＝?2?2＝6，…（10分）
∴S扇形△AOD＝?π?OD2＝?π?（2）2＝3π，…（11分）
∴阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD＝3π﹣6． …（12分）
【点评】本题综合考查了圆周角定理、含30度角的直角三角形以及扇形面积公式．解答（2）题时，采用了“数形结合”的数学思想．
26．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD?DC＝PA?BC．
【分析】要证AD?DC＝PA?BC，需证△PAD∽△DCB；由DP∥AC，可得∠ADP＝∠DAC＝∠DBC；由于∠DAP是圆内接四边形ABCD的一个外角，故有∠DAP＝∠DCB；从而△PAD∽△DCB成立，由此得证．
【解答】证明：如图，连接AC，连接BD．
∵DP∥AC，
∴∠PDA＝∠DAC．
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠PDA＝∠DBC．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAP＝∠DCB．
∴△PAD∽△DCB．
得PA：DC＝AD：BC，
即AD?DC＝PA?BC．
【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识．
27．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 （2，0） ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
【分析】（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；
（2）根据图形即可得出点M的坐标
（3）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
【解答】解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM＝＝2．
线段MD＝＝＜2，
所以点D在⊙M内．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐标是解题的关键．
28．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．
【分析】（1）根据题意画出图形，再作出辅助线构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质进行证明；
（2）注意要分二种情况讨论：即B、D在AC两侧和B、D在AC同侧．
【解答】解：（1）线段MN与BD垂直．
连接MB与MD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可以知道
MB＝，MD＝，所以MB＝MD．
三角形MBD中，N是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：
MN垂直BD．
（2）如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，
∵M是AC的中点，
∴MD⊥AC，△BCM是等边三角形，
∴在Rt△BEM中，∠EMB＝30°，
∵AC＝4，∴BM＝2，
∴BE＝1，EM＝，MD＝2，
从而可知
BD＝＝2
∴BN＝．
由Rt△BMN可得：
MN＝＝．
如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD＝AC，MBAC，
∴MD＝MB，
∵∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，
∴∠BMC＝60°，∠DMC＝90°，
∴∠BMD＝30°，
∴∠BDM＝＝75°，
∵∠MDA＝45°
∴∠EDB＝180°﹣∠BDM﹣∠MDA＝60°，
令ED＝x，则BE＝x，AD＝2，AB＝2，
∴由Rt△ABE可得：（2）2＝（x）2+（x+2）2，
解得x＝，则BD＝2，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD＝2 DN＝．
由Rt△MND可得：
MN＝＝．
【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质和解直角三角形的方法，同时考查了分类讨论思想．