(共45张PPT)
第3课时 平方根
学习目标：
（1）知道什么叫平方根？用符号如何表示它？有哪些性质？
（2）能利用开平方与平方互为逆运算求某些非负数的平方根.
学习重、难点：
重点：平方根的概念.
难点：平方根与算术平方根的区别和联系.
情景导入
思考
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
探究新知
知识点1
平方根的概念
3的平方是9. 除了3之外，还有没有别的数的平方也等于9呢？
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
（ –3 ）2 = 9
这个数也可以是 – 3.
因此这个数是3或– 3.
x2 1 16 36 49
x
完成下列表格
1或– 1
4或– 4
6或– 6
7或– 7
或
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.
这就是说x2 = a，那么x叫做a的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
例如 ±3的平方等于9
3和 – 3是9的平方根，简记为±3是9的平方根.
我们看到，±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算.
– 1
+ 1
+ 2
– 2
+ 3
– 3
1
4
9
– 1
+ 1
+ 2
– 2
+ 3
– 3
1
4
9
平方
开平方
两图中的运算有什么关系？
互为逆运算
例4 求下列各数的平方根：
（1）100 （2） （3）0.25
解：（1）因为（±10）2 = 100，
所以100的平方根是 ±10；
（2）因为（± ）2 = ，
所以 的平方根是 ± ；
（3）因为（±0.5）2 = 0.25，
所以0.25的平方根是 ±0.5；
练习
1.求下列各数的平方根.
25
0.64
（– 2）4
±5
±0.8
±4
±3
2.填表.
x 8 – 8
x2 16 0.36
64
4
– 4
– 0.6
0.6
知识点2
平方根的性质
思考
正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根.
因为02 = 0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0.
正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方也是正数，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根.
结
论
正数有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根.
正数a的算术平方根可以用 表示；
正数a的负的平方根，可以用符号 表示;
正数a的平方根用符号 表示．读作“正、负根号a ”．
符号 只有当a ≥ 0 时才有意义。a < 0 时无意义.
例5 求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
解：（1）因为62 = 36，所以 = 6；
（2）因为0.92 = 0.81，所以 = – 0.9；
（3）因为（ ）2 = ，所以 = .
如果知道一个数的算术平方根就可以立即写出它的负的平方根，为什么？
因为正数的两个平方根互为相反数.
练习
1.判断下列说法是否正确.
（1）0的平方根是0； （ ）
（2）1的平方根是1； （ ）
（3）– 1的平方根是– 1； （ ）
（4）0.1是0.01的一个平方根. （ ）
√
√
×
×
2.计算下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
= 3
= – 0.7
3.平方根概念的起源与几何中的正方形有关. 如果一个正方形的面积为A ，那么这个正方形的边长是多少？
解：边长为
误
区
诊
断
误区：对± ， ，– 辨识不清而致错
例1 求下列各式的值：（1） （2）–
错解：（1）因为（±4）2=16，所以 =±4；
（2）因为（±5）2=25，所以– =±5；
正解：（1）因为 表示16的算术平方根，所以 =4.
（2）因为– 表示25的负算术平方根，所以
– = –5.
错因分析：此题错解在于没有弄清± ，
，– 的意义 ，他们分别表示a的平方根，a的算术平方根，a的负的平方根，解题时，
“ ”的前面是什么符号，对计算结果是有影响的.
基础巩固
随堂演练
1. 下列各式：① ；② ；③ ;④ 中，有意义的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
2. 下列各式中正确的是（ ）
A. = – 2 B. = – 5
C. =5 D. =±4
C
3. 下列说法中正确的有（ ）
（1）0的平方根是0；（2）1的平方根是1；
（3）– 1的平方根是– 1;（4）±0.01是0.1的平方根
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
综合运用
4. 求下列各式中x的值：
（1）x2 = 25；（2）x2 – 81 = 0；（3）25x2 = 36.
解：（1）∵（±5）2 = 25，∴x = ±5;
（2）∵（±9）2 = 81，∴x = ±9;
（3）x2 = .∵（ ± ）2 = .
∴x = ± .
5.根据下表回答下列问题：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5
x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25
x 16.6 16.7 16.8 16.9 17
x2 275.56 278.89 282.24 285.61 289
（1）268.96的平方根是________;
（2） ≈______;
（3） 在表中哪两个相邻的数之间？为什么？
解： 在表中16.4和16.5这两个相邻的数之间.
∵268.96 < 270 < 272.25,
∴16.4 < < 16.5.
±16.4
16.9
课堂小结
结
论
正数有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根.
伸
延
展
拓
若一个数x的平方根是2a+3和1 – 4a，求a和x的值.
解：∵2a+3和1 – 4a是x的平方根,
∴2a+3+1 – 4a=0,
∴a = 2,
∴2a+3 = 2×2+3 = 7.
∴x =（2a+3）2 = 72 = 49.
1. 从课后习题中选取；
2. 完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时教学重在挖掘平方根与算术平方根间的区别与联系，通过实例训练引导学生认识新知识，形成计算能力.
习题6.1
复习巩固
综合运用
拓广探索
(共21张PPT)
第六章 实数
6.1 平方根
第1课时 算术平方根
学习目标：
知道什么是算术平方根及其符号表示方法，会求一个数的算术平方根.
学习重、难点：
重点：算术平方根的意义及其符号表示.
难点：求稍复杂数的算术平方根.
情景导入
问
题
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
探究新知
知识点
算术平方根
你算出来的正方形的边长是多少？
问
5dm
你是怎样算出来的？
问
因为52=25，所以这个正方形画布的边长应取5dm.
完成下表
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
正方形的边长/dm
1
3
4
6
实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.
一般地，如果一个正数x的平方等于a， 即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为 ，读作“根号a ”, a叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0.
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100 （2） （3）0.0001
解：（1）因为102=100，
所以100的算术平方根是10，
即 =10.
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100 （2） （3）0.0001
解：（2）因为 = ，
所以 的算术平方根是 ，
即 = .
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100 （2） （3）0.0001
解：（3）因为0.012=0.0001，
所以0.0001的算术平方根是0.01，
即 =0.01.
小
结
从上面的例题可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 这个结论对所有正数都成立.
练习
1.求下列各数的算术平方根：
（1）0.0025 （2）81 （3）32
解：（1）
（2）
（3）
=0.05
=9
=3
2.求下列各式的值：
（1） （2） （3）
=1
=
=2
误
区
诊
断
误区：忽视算术平方根的意义导致错解
例1 求 的算术平方根.
错解： 的算术平方根是9.
正解：∵ =9，而32=9，∴ 算术平方根是3.
错因分析：本题错把 和81混淆， 和81是两个不同的数， 是81的算术平方根，也就是9，再求9的算术平方根即为3.
基础巩固
随堂演练
1.（1）式子 表示的意思是_________
______________，其值为______.
（2）式子 表示的意思是_________
______________，其值为______.
100的算
术平方根
（–4）2的
算术平方根
10
4
2.求下列各数的算术平方根：
（1）
（2）
= 1.2
=
（3）
=
=
=
综合运用
3. 小文房间的面积为10.8m2,房间地面恰巧由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖边长是多少？
解：设每块地砖的边长是xm.
则120x2 = 10.8，x = 0.3.
答：每块地砖的边长是0.3m.
4. 国际足球比赛的足球场长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间，现有一个长方形足球场，其长是宽的1.5倍，面积是6337.5m2，问这个足球场是否能用作国际比赛球场？
解：设这个长方形足球场的宽为xm，则长为1.5xm，依题意得x·1.5x=6337.5，
x2=4225，解得x=65，
x=65，65×1.5=97.5（m）
答：这个足球场不能用作国际比赛球场.
课堂小结
= x
被开方数
a的算术平方根
0的算术平方根是0.
伸
延
展
拓
5.计算： =____， =____， =____，
=____， =____.
3
0.7
0
6
（1）根据计算结果，回答 一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来.
（2）利用你总结的规律，计算： .
（1） 不一定等于a， =|a|.
（2）原式=|3.14 – π|= π – 3.14.
1. 从课后习题中选取；
2. 完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时采用观察、思考、讨论等探究活动归纳得出相应结论，使学生感受到算术平方根的概念与以前学过的求一个数的平方之间的联系.教学时应注意让学生通过探究活动经历一个由特殊到一般的认识过程，从而更好地接受新知识.
(共30张PPT)
第2课时 用计算器求一个正数的算术平方根
学习目标：
（1）会用计算器求一个正数的算术平方根，知道算术平方根的小数点移动规律.
（2）会估计一个含有根号的数的大小.
学习重、难点：
重点：知道算术平方根的小数点移动规律.
难点：会估计一个含有根号的数的大小.
情景导入
求一个正数的算术平方根，有些数可以直接得出结果，但有些数必须借助计算器，比如0.46254. 那么如何借助计算器来求一个正数的算术平方根呢？这就是本堂课需要解决的问题.
探究新知
知识点1
用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值
探究
能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起. 就得到一个面积为2dm2的大正方形.
问
题
你知道这个大正方形的边长是多少吗？
小正方形的对角线是多长呢？
设大正方形的边长为 x dm，则
x2 = 2
由算术平方根的意义可知
x =
所以大正方形的边长是 dm
探究
有多大呢？
大于1而小于2
想
你是怎样判断出 大于1而小于2的？
因为12 = 1，22 = 4，
而 1 < 2 < 4，
所以 1 < < 2．
你能不能得到 的更精确的范围？
问
题
因为1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，而 1.96 < 2 < 2.25，
所以 1.4 < < 1.5．
因为1.412 = 1.9881，1.422 = 2.0164，
而 1.9881 < 2 < 2.0164，
所以 1.41 < < 1.42．
因为1.4142 = 1.999396，1.4152 = 2.002225，
而 1.999396 < 2 < 2.002225，
所以 1.414 < < 1.415．
如此进行下去，可以得到 的更精确的近似值. 事实上 =1.414 213 562 373 …，它是一个无限不循环小数.
无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 你以前见过这种数吗？
1.实数 的值在（ ）
A.0和1之间 B.1和2之间
C.2和3之间 D.3和4之间
练习
2.与1 + 最接近的整数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
B
C
知识点2
用计算器求一个数的算术平方根
例2 用计算器求下列各式的值：
大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根（或近似值）.
（1）
（2） （精确到0.001）
解：（1）依次按键 3136 ，
显示：56. ∴ =56 .
＝
（2）依次按键 2 ，
显示：1.414 213 562. ∴ ≈1.414 .
＝
下面我们来看引言中提出的问题：
v12 = gR ,
v22 = 2gR，
得 ,
，其中g≈9.8，R≈6.4×106.
用计算器求v1和v2（用科学计数法把结果写成a×10n的形式，其中a保留小数点后一位），得
因此，第一宇宙速度v1大约是7.9×103m/s，第二宇宙速度v2大约是1.1×104m/s.
练习
1.用计算器计算 ，下列按键顺序正确的是（ ）
A. 0.012345
B. 0.012345
C. 0.012345
D. 0.012345
ON
＝
ON
＝
ON
＝
ON
＝
A
2.用计算器求下列各式的值：
（1）
（2）
（3） （精确到0.01）
= 37
= 10.06
≈ 2.24
探究
（1）利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？
… …
… …
0.25
2.5
25
250
知识点3
估算一个数的大小
被开方数的小数点向左或向右移动2n位时立方根的小数点就相应的向左或向右移动n位（n为正整数）.
小
结
探究
（2）用计算器计算 （精确到0.001），并利用上面（1）中发现的规律说出 ，
， 的近似值，你能根据 的值说出 是多少吗？
≈ 1.732
依次按键
3
=
显示：1.732 050 808
≈ 0.1732
≈ 17.32
≈ 173.2
不能根据 的值说出 的值.
例3 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能
用这块纸片裁出符合要求的纸
片吗？
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm，根据边长与面积的关系得
3x ? 2x = 300 ，
6x2 = 300 ，
x2 = 50，
x= ，
故长方形纸片的长为 3 ，宽为2 .
因为50 > 49，所以 > 7.
由上可知3 > 21，即长方形纸片的长应该大于21cm.
因为 = 20，所以正方形纸片的边长只有20cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
练习
1.比较下列各组数的大小：
（1） 与
（2） 与 8
因为8 < 10
所以 <
因为65 > 64
所以 > 8
（3） 与 0.5
（4） 与 1
基础巩固
随堂演练
1. 的整部分是______.
4
2. 若 ≤ x ≤ ，x为整数，则x的值是____.
2
3.比较下列各组数的大小：
（1） 与2 （2） 与1.41
（ ）2 = 3 < 22 = 4
< 2
（ ）2 = 2 > 1.412 = 1.9881
> 1.41
综合运用
解：∵36 < 40 < 49，
∴ < < ，即6 < < 7，
∴a = 6，b = 7,∴a + b = 6 + 7 = 13.
4. 设a、b是两个连续的整数，若a < < b，求a + b的值.
课堂小结
估算大小
用计算器求值
ON
＝
2
∵1 < 2 < 4
∴1 < < 2
伸
延
展
拓
已知2+ 的小数部分为a，5 – 的小数部分为b，求a+b的值.
解：∵1 < < 2，∴3 <2+ < 4，
∴a = 2 + – 3 = – 1，
∵1 < < 2，∴3 < 5 – < 4，
∴b = 5 – – 3 = 2 – ，
∴a + b = – 1 + 2 – = 1.
1. 从课后习题中选取；
2. 完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时采用实际操作以及观察、思考等活动让学生自主得出结论，使学生了解算术平方根的小数点移动规律，并通过平方法等方法来估计一个含有根号的数的大小，教学过程应注意转化的数学思想的渗透，从而让学生更好地理解所学内容.
