2020年北师大版数学下册八年级《第4章 因式分解》单元测试卷（解析版）

2020年北师大版数学下册八年级《第4章 因式分解》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列各式变形中，是因式分解的是（　　）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1）
C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z
D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2
3．把多项式﹣8a2b3c+16a2b2c2﹣24a3bc3分解因式，应提的公因式是（　　）
A．﹣8a2bc B．2a2b2c3 C．﹣4abc D．24a3b3c3
4．下列多项式中，含有因式（y+1）的多项式是（　　）
A．y2﹣2xy﹣3x2 B．（y+1）2﹣（y﹣1）2
C．（y+1）2﹣（y2﹣1） D．（y+1）2+2（y+1）+1
5．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（　　）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
6．若a+b＝6，ab＝3，则3a2b+3ab2的值是（　　）
A．9 B．27 C．19 D．54
7．若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a﹣b）2﹣c2的值是（　　）
A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定
8．下列多项式能用完全平方公式分解因式的有（　　）
A．m2﹣mn+n2 B．x2+4x﹣4 C．x2﹣4x+4 D．4x2﹣4x+4
9．多项式2x2﹣2y2分解因式的结果是（　　）
A．2（x+y）2 B．2（x﹣y）2
C．2（x+y）（x﹣y） D．2（y+x）（y﹣x）
10．下列各因式分解正确的是（　　）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 B．﹣x2+（﹣2）2＝（x﹣2）（x+2）
C．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2） D．（x+1）2＝x2+2x+1
11．因式分解：1﹣4x2﹣4y2+8xy，正确的分组是（　　）
A．（1﹣4x2）+（8xy﹣4y2） B．（1﹣4x2﹣4y2）+8xy
C．（1+8xy）﹣（4x2+4y2） D．1﹣（4x2+4y2﹣8xy）
12．分解因式：x2﹣2xy+y2+x﹣y的结果是（　　）
A．（x﹣y）（x﹣y+1） B．（x﹣y）（x﹣y﹣1）
C．（x+y）（x﹣y+1） D．（x+y）（x﹣y﹣1）
二．填空题（共8小题）
13．将xn﹣yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x﹣y），则n的值为　 　．
14．多项式3x﹣6与x2﹣4x+4有相同的因式是　 　．
15．因式分解：ax﹣ay＝　 　．
16．因式分解：9x2﹣4＝　 　．
17．分解因式：3x3﹣27x＝　 　．
18．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为　 　．
19．因式分解：x2﹣x﹣12＝　 　．
20．在实数范围内分解因式x3﹣4x的结果为　 　．
三．解答题（共8小题）
21．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．
22．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是　 　，共应用了　 　次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法　 　次，结果是　 　．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
23．分解因式：（a2+1）2﹣4a2．
24．分解因式：
（1）5x2+10x+5
（2）（a+4）（a﹣4）+3（a+2）
25．分解因式：
（1）a3﹣a；（2）x2﹣2xy+y2﹣1．
26．因式分解：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12．
27．在实数范围内分解因式：x4﹣4．
28．已知ab2＝﹣2，求﹣ab（a2b5﹣ab3﹣b）的值．



2020年北师大版数学下册八年级《第4章 因式分解》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列各式变形中，是因式分解的是（　　）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B 2x2+2x＝2x2（1+）中不是整式，故B错误；
C （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C错误；
Dx4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意B不是整式的积，A、C不是积的形式．
2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1）
C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z
D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2
【分析】分别利用因式分解的定义分析得出答案．
【解答】解：A、（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2，是整式的乘法运算，故此选项错误；
B、（y+1）（y﹣3）≠（3﹣y）（y+1），不符合因式分解的定义，故此选项错误；
C、4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
D、﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的定义，正确把握定义是解题关键．
3．把多项式﹣8a2b3c+16a2b2c2﹣24a3bc3分解因式，应提的公因式是（　　）
A．﹣8a2bc B．2a2b2c3 C．﹣4abc D．24a3b3c3
【分析】考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，在做题时首先要准确确定公因式，然后做出选择．
【解答】解：﹣8a2b3c+16a2b2c2﹣24a3bc3，
＝﹣8a2bc（ab2﹣2bc+3ac2），
公因式是﹣8a2bc．
故选：A．
【点评】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
4．下列多项式中，含有因式（y+1）的多项式是（　　）
A．y2﹣2xy﹣3x2 B．（y+1）2﹣（y﹣1）2
C．（y+1）2﹣（y2﹣1） D．（y+1）2+2（y+1）+1
【分析】应先对所给的多项式进行因式分解，根据分解的结果，然后进行判断．
【解答】解：A、y2﹣2xy﹣3x2＝（y﹣3x）（y+x），故不含因式（y+1）．
B、（y+1）2﹣（y﹣1）2＝[（y+1）﹣（y﹣1）][（y+1）+（y﹣1）]＝4y，故不含因式（y+1）．
C、（y+1）2﹣（y2﹣1）＝（y+1）2﹣（y+1）（y﹣1）＝2（y+1），故含因式（y+1）．
D、（y+1）2+2（y+1）+1＝（y+2）2，故不含因式（y+1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查公因式的确定，先因式分解，再做判断，在解题时，仅看多项式的表面形式，不能做出判断．
5．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（　　）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
【分析】直接提取公因式a即可．
【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4），
故选：A．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
6．若a+b＝6，ab＝3，则3a2b+3ab2的值是（　　）
A．9 B．27 C．19 D．54
【分析】首先提取公因式3ab，进而代入求出即可．
【解答】解：∵a+b＝6，ab＝3，
∴3a2b+3ab2＝3ab（a+b）＝3×3×6＝54．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
7．若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a﹣b）2﹣c2的值是（　　）
A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
故选：B．
【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
8．下列多项式能用完全平方公式分解因式的有（　　）
A．m2﹣mn+n2 B．x2+4x﹣4 C．x2﹣4x+4 D．4x2﹣4x+4
【分析】能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项；两项平方项的符号必须相同；有两数乘积的2倍．
【解答】解：A、m2﹣mn+n2不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点；
B、x2+4x﹣4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点；
C、x2﹣4x+4能用完全平方公式分解因式；
D、4x2﹣4x+4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点．
故选：C．
【点评】本题考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
9．多项式2x2﹣2y2分解因式的结果是（　　）
A．2（x+y）2 B．2（x﹣y）2
C．2（x+y）（x﹣y） D．2（y+x）（y﹣x）
【分析】首先提公因式2，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y），
故选：C．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10．下列各因式分解正确的是（　　）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 B．﹣x2+（﹣2）2＝（x﹣2）（x+2）
C．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2） D．（x+1）2＝x2+2x+1
【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．
【解答】解：A、x2+2x﹣1无法因式分解，故A错误；
B、﹣x2+（﹣2）2＝（2+x）（2﹣x），故B错误；
C、x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），故C正确；
D、（x+1）2＝x2+2x+1，是多项式的乘法，不是因式分解，故D错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌握相关公式是解题关键．
11．因式分解：1﹣4x2﹣4y2+8xy，正确的分组是（　　）
A．（1﹣4x2）+（8xy﹣4y2） B．（1﹣4x2﹣4y2）+8xy
C．（1+8xy）﹣（4x2+4y2） D．1﹣（4x2+4y2﹣8xy）
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中﹣4x2﹣4y2+8xy正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．
【解答】解：1﹣4x2﹣4y2+8xy＝1﹣（4x2+4y2﹣8xy）．
故选：D．
【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一、三分组．由于2，3，4项符合完全平方式，故采取一三分组．
12．分解因式：x2﹣2xy+y2+x﹣y的结果是（　　）
A．（x﹣y）（x﹣y+1） B．（x﹣y）（x﹣y﹣1）
C．（x+y）（x﹣y+1） D．（x+y）（x﹣y﹣1）
【分析】当被分解的式子是四，五项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中x2﹣2xy+y2正好符合完全平方公式，应考虑1，2，3项为一组，x﹣y为一组．
【解答】解：x2﹣2xy+y2+x﹣y，
＝（x2﹣2xy+y2）+（x﹣y），
＝（x﹣y）2+（x﹣y），
＝（x﹣y）（x﹣y+1）．
故选：A．
【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用什么方法分组，本题中本题中x2﹣2xy+y2正好符合完全平方公式，应考虑1，2，3项为一组．x﹣y为一项．需要同学们熟知完全平方式公式，即（a±b）2＝a2±2ab+b2．
二．填空题（共8小题）
13．将xn﹣yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x﹣y），则n的值为　4　．
【分析】因式分解与整式乘法是互逆运算，可以将分解的结果进行乘法运算，得到原多项式．
【解答】解：（x2+y2）（x+y）（x﹣y）＝（x2+y2）（x2﹣y2）＝x4﹣y4．
故应填4．
【点评】本题考查了平方差公式，两次利用平方差公式计算后根据指数相等求解即可．
14．多项式3x﹣6与x2﹣4x+4有相同的因式是　x﹣2　．
【分析】首先将各多项式分解因式进而找出公因式得出答案．
【解答】解：∵3x﹣6＝3（x﹣2），x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴多项式3x﹣6与x2﹣4x+4有相同的因式是：x﹣2．
故答案为：x﹣2．
【点评】此题主要考查了因式分解以及公因式的概念，正确分解因式是解题关键．
15．因式分解：ax﹣ay＝　a（x﹣y）　．
【分析】通过提取公因式a进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝a（x﹣y）．
故答案是：a（x﹣y）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
16．因式分解：9x2﹣4＝　（3x﹣2）（3x+2）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：9x2﹣4＝（3x﹣2）（3x+2）．
故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．
17．分解因式：3x3﹣27x＝　3x（x+3）（x﹣3）　．
【分析】首先提取公因式3x，再进一步运用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：3x3﹣27x
＝3x（x2﹣9）
＝3x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．
一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
18．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为　（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）　．
【分析】将﹣11x2分为﹣6x2和﹣5x2两部分，原式可化为6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，6x3﹣6x2可提公因式，分为一组，﹣5x2+x+4可用十字相乘法分解，分为一组．
【解答】解：6x3﹣11x2+x+4，
＝6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，
＝6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），
＝6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），
＝（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），
＝（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．
【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解，要考虑分组后还能进行下一步分解，把﹣11x2分成﹣6x2和﹣5x2两部分是解题的关键，也是难点．
19．因式分解：x2﹣x﹣12＝　（x﹣4）（x+3）　．
【分析】根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．
【解答】解：x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x+3）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．
20．在实数范围内分解因式x3﹣4x的结果为　x（x+2）（x﹣2）　．
【分析】首先提取公因式，然后利用平方差公式即可分解．
【解答】解：x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题主要考查了因式分解的方法，正确运用各种方法是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
21．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．
【分析】由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2（x﹣1）（x﹣9）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将2（x﹣2）（x﹣4）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案．
【解答】解：设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）．
∵2（x﹣1）（x﹣9）＝2（x2﹣10x+9）＝2x2﹣20x+18，
∴a＝2，c＝18；
又∵2（x﹣2）（x﹣4）＝2（x2﹣6x+8）＝2x2﹣12x+16，
∴b＝﹣12．
∴原多项式为2x2﹣12x+18，将它分解因式，得
2x2﹣12x+18＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2．
【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．本题中注意：如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错．
22．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是　提公因式法　，共应用了　2　次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法　2004　次，结果是　（1+x）2005　．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．
【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．

（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．

（3）解：原式＝（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
＝（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
＝（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
＝（x+1）n+x（x+1）n，
＝（x+1）n+1．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．
23．分解因式：（a2+1）2﹣4a2．
【分析】原式利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
24．分解因式：
（1）5x2+10x+5
（2）（a+4）（a﹣4）+3（a+2）
【分析】（1）原式提取5，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式整理后，利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：（1）原式＝5（x2+2x+1）＝5（x+1）2；
（2）原式＝a2﹣16+3a+6＝a2+3a﹣10＝（a﹣2）（a+5）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
25．分解因式：
（1）a3﹣a；（2）x2﹣2xy+y2﹣1．
【分析】（1）先提公因式再运用平方差公式．
（2）分组后利用公式分解．
【解答】解：（1）a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．

（2）x2﹣2xy+y2﹣1，
＝（x2﹣2xy+y2）﹣1，
＝（x﹣y）2﹣1，
＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．
【点评】（1）考查了提公因式法和运用平方差公式法因式分解，提取公因式后利用平方差公式进行两次分解，注意要分解完全；
（2）考查了分组分解法．
26．因式分解：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12．
【分析】先把x2+x看做一个整体，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．
【解答】解：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12，
＝（x2+x﹣2）（x2+x﹣6），
＝（x﹣1）（x+2）（x﹣2）（x+3）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，难点在于要二次利用十字相乘法分解因式，整体思想的利用也比较关键．
27．在实数范围内分解因式：x4﹣4．
【分析】实数包括有理数和无理数，先运用平方差公式得出（x2+2）（x2﹣2），后一个括号还能运用平方差公式进行分解．
【解答】解：原式＝（x2+2）（x2﹣2），
＝（x2+2）（x+）（x﹣）．
【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
28．已知ab2＝﹣2，求﹣ab（a2b5﹣ab3﹣b）的值．
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，变形后将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵ab2＝﹣2，
∴原式＝﹣a3b6+a2b4+ab2＝﹣（ab2）3+（ab2）2+ab2＝8+4﹣2＝10．
【点评】此题考查了因式分解的应用，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．