2020年北师大版数学下册七年级《第3章 变量之间的关系》单元测试卷（解析版）

2020年北师大版数学下册七年级《第3章 变量之间的关系》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．对于圆的周长公式C＝2πR，下列说法正确的是（　　）
A．π、R是变量，2是常量 B．R是变量，π是常量
C．C是变量，π、R是常量 D．C、R是变量，2、π是常量
2．明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（　　）
A．明明 B．电话费 C．时间 D．爷爷
3．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量 Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　）
A．Q＝0.2t B．Q＝20﹣0.2t C．t＝0.2Q D．t＝20﹣0.2Q
4．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是
（　　）
A．y＝0.05x B．y＝5x
C．y＝100x D．y＝0.05x+100
5．早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途的时间为x，两人之间的距离为y，则下列选项中的图象能大致反映y与x之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
6．端午节三天假期的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离S（千米）与时间t（小时）的关系如图所示．根据图象提供的有关信息，下列说法中错误的是（　　）

A．景点离小明家180千米
B．小明到家的时间为17点
C．返程的速度为60千米每小时
D．10点至14点，汽车匀速行驶
7．如图，点M为?ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与?ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
9．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（　　）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm
D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
10．下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b与下降高度d的关系，下面能表示这种关系的式子是（　　）
d 50 80 100 150
b 25 40 50 75
A．b＝d2 B．b＝2d C．b＝ D．b＝d+25
11．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
12．为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算（未超过部分仍按每度电0.50元计算）．
现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题）
13．在圆的周长公式C＝2πr中，变量是　 　，　 　，常量是　 　．
14．某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中　 　是自变量，　 　是因变量．
15．蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度y厘米与燃烧时间x小时（0≤x≤4）的关系式可以表示为　 　．
16．从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若时间t≥3（分）时，电话费y（元）与t（分）之间的函数关系式是　 　．
17．甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面100米处，同时出发去距离甲1300米的目的地，其中甲的速度比乙的速度快．设甲、乙之间的距离为y米，乙行驶的时间为x秒，y与x之间的关系如图所示．则甲的速度为每秒　 　米．

18．园林队在公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S与时间t的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队绿化面积为　 　平方米．

19．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是　 　．

20．如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的长度是　 　cm．

三．解答题（共8小题）
21．希望中学学生从2014年12月份开始每周喝营养牛奶，单价为2元/盒，总价y元随营养牛奶盒数x变化．指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出表示函数与自变量关系的式子．
22．下面是三种化合物的结构式及分子式，

（1）请按其规律，写出后一种化合物的分子式　 　；
（2）试写出每一种化合物的分子式中H的个数m与C的个数n的函数之间的关系式　 　．
23．一辆小车由静止开始从光滑的斜面上向下滑动，通过观察记录小车滑动的距离S（m）与时间t（s）的数据如下表：
时间t（s） 1 2 3 4
距离s（m） 2 8 18 32 …
（1）写出这一变化过程中的自变量，因变量．
（2）写出用t表示s的关系式．
24．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式；
（2）当x＝280（千米）时，求剩余油量Q的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
25．“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）小明家到学校的路程是多少米？
（2）小明在书店停留了多少分钟？
（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
（4）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？
26．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中　 　的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中　 　的路程与时间的关系．赛跑的全程是　 　米．
（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
（3）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？
（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？

27．如图1，两个全等的△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE，其中点B和点D重合，点F在BC上，将△DEF沿射线BC平移，设平移的距离为x，平移后的图形与△ABC重合部分的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示（其中0≤x≤m，m＜x≤3，3＜x≤4时，函数的解析式不同）
（1）填空：BC的长为　 　；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

28．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0），
（1）在AC上是否存在点P使得PA＝PB？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（2）若点P恰好在△ABC的角平分线上，请直接写出t的值．




2020年北师大版数学下册七年级《第3章 变量之间的关系》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．对于圆的周长公式C＝2πR，下列说法正确的是（　　）
A．π、R是变量，2是常量 B．R是变量，π是常量
C．C是变量，π、R是常量 D．C、R是变量，2、π是常量
【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．
【解答】解：R是变量，2、π是常量．
故选：D．
【点评】本题主要考查了常量，变量的定义，是需要识记的内容．
2．明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（　　）
A．明明 B．电话费 C．时间 D．爷爷
【分析】根据函数的定义：对于函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应．
【解答】解：∵电话费随着时间的变化而变化，
∴自变量是时间，因变量是电话费；
故选：B．
【点评】函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，其中x叫自变量，y叫x的函数．
3．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量 Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　）
A．Q＝0.2t B．Q＝20﹣0.2t C．t＝0.2Q D．t＝20﹣0.2Q
【分析】利用油箱中存油量20升﹣流出油量＝剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意得：流出油量是0.2t，
则剩余油量：Q＝20﹣0.2t，
故选：B．
【点评】此题主要考查了列函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
4．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是
（　　）
A．y＝0.05x B．y＝5x
C．y＝100x D．y＝0.05x+100
【分析】每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升，则x分钟可滴100×0.05x毫升，据此即可求解．
【解答】解：y＝100×0.05x，
即y＝5x．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确表示出一分钟滴的水的体积是解题的关键．
5．早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途的时间为x，两人之间的距离为y，则下列选项中的图象能大致反映y与x之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以得到各段时间段内y随x的变化情况，从而可以判断哪个选项中的函数图象符合题意，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
小明从家出发到妈妈发现小明的作业本落在家里这段时间，y随x的增大而增大，
小明的妈妈开始给你小明送作业到追上小明这段时间，y随x的增大而减小，
小明妈妈追上小明到各自继续行走这段时间，y随x的增大不变，
小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，y随x的增大而增大，
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．端午节三天假期的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离S（千米）与时间t（小时）的关系如图所示．根据图象提供的有关信息，下列说法中错误的是（　　）

A．景点离小明家180千米
B．小明到家的时间为17点
C．返程的速度为60千米每小时
D．10点至14点，汽车匀速行驶
【分析】根据函数图象的纵坐标，可判断A；根据待定系数法，可得返回的函数解析式，根据函数值与自变量的对应关系，可判断B；根据函数图象的纵坐标，可得返回的路程，根据函数图象的横坐标，可得返回的时间，根据路程与时间的关系，可判断C；根据函数图象的纵坐标，可判断D．
【解答】解：A、由纵坐标看出景点离小明家180千米，故A正确；
B、由纵坐标看出返回时1小时行驶了180﹣120＝60千米，180÷60＝3，由横坐标看出14+3＝17，故B正确；
C、由纵坐标看出返回时1小时行驶了180﹣120＝60千米，故C正确；
D、由纵坐标看出10点至14点，路程不变，汽车没行驶，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间是解题关键．
7．如图，点M为?ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与?ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】当点N在AD上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N在DC上时，MN长度不变，可得后半段函数图象为一条线段．
【解答】解：设∠A＝α，点M运动的速度为a，则AM＝at，
当点N在AD上时，MN＝tanα×AM＝tanα?at，
此时S＝×at×tanα?at＝tanα×a2t2，
∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
当点N在DC上时，MN长度不变，
此时S＝×at×MN＝a×MN×t，
∴后半段函数图象为一条线段，
故选：C．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】要找出准确反映s与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中s随x变化的情况．
【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则
当0＜x≤2，s＝，
当2＜x≤3，s＝1，
由以上分析可知，这个分段函数的图象开始直线一部分，最后为水平直线的一部分．
故选：C．
【点评】本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性．
9．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（　　）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm
D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
【分析】根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案．
【解答】解：A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，故A正确；
B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm，故B正确；
C．弹簧不挂重物时的长度为10cm，故C错误；
D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查的是函数的表示方法，理解一次函数的表示方法是解题的关键．
10．下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b与下降高度d的关系，下面能表示这种关系的式子是（　　）
d 50 80 100 150
b 25 40 50 75
A．b＝d2 B．b＝2d C．b＝ D．b＝d+25
【分析】这是一个用图表表示的函数，可以看出d是b的2倍，即可得关系式．
【解答】解：由统计数据可知：
d是b的2倍，
所以，b＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数的表示方法，利用表格数据得出b，d关系是解题关键．
11．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算，
【解答】解：当x+3≥﹣x+1，
即：x≥﹣1时，y＝x+3，
∴当x＝﹣1时，ymin＝2，
当x+3＜﹣x+1，
即：x＜﹣1时，y＝﹣x+1，
∵x＜﹣1，
∴﹣x＞1，
∴﹣x+1＞2，
∴y＞2，
∴ymin＝2，
故选：B．
【点评】此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是分段．
12．为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算（未超过部分仍按每度电0.50元计算）．
现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得解．
【解答】解：根据题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x，
当x＞100时，y＝100×0.5+0.8（x﹣100），
＝50+0.8x﹣80，
＝0.8x﹣30，
所以，y与x的函数关系为y＝，
纵观各选项，只有C选项图形符合．
故选：C．
【点评】本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．在圆的周长公式C＝2πr中，变量是　C　，　r　，常量是　2π　．
【分析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．
【解答】解：∵在圆的周长公式C＝2πr中，C与r是改变的，π是不变的；
∴变量是C，r，常量是2π．
【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
14．某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中　销售量　是自变量，　销售收入　是因变量．
【分析】函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量，会变动的数为自变量．
【解答】解：根据题意知，公司的销售收入随销售量的变化而变化，
所以销售量是自变量，收入数为因变量．
故答案为：销售量，销售收入．
【点评】本题考查的是对函数定义中自变量和因变量的判定和对定义的理解．
15．蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度y厘米与燃烧时间x小时（0≤x≤4）的关系式可以表示为　y＝20﹣5x（0≤x≤4）　．
【分析】根据题意燃烧时剩下的高度＝总长﹣燃烧的长度，列出函数关系式．
【解答】解：y＝20﹣5x（0≤x≤4）．
故答案为：y＝20﹣5x（0≤x≤4）．
【点评】本题主要考查了函数关系式，解题的关键是明确题意列出函数关系式
16．从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若时间t≥3（分）时，电话费y（元）与t（分）之间的函数关系式是　y＝t﹣0.6　．
【分析】根据题意可得需付电话费＝3分内收费+3分以外的收费，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：3分钟内收费2.4元，3分以外的收费为（t﹣3）×1＝t﹣3，
则电话费y（元）与t（分）之间的函数关系式是：y＝2.4+t﹣3＝t﹣0.6．
故答案为：y＝t﹣0.6．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，解决本题的关键是得到超过3分钟的电话付费的等量关系．
17．甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面100米处，同时出发去距离甲1300米的目的地，其中甲的速度比乙的速度快．设甲、乙之间的距离为y米，乙行驶的时间为x秒，y与x之间的关系如图所示．则甲的速度为每秒　6　米．

【分析】设甲的速度为x米/秒，根据50秒时，甲追上乙列方程求出甲的速度．
【解答】解：由图可知：①50秒时，甲追上乙，②300秒时，乙到达目的地，
∴乙的速度为：＝4，
设甲的速度为x米/秒，
则50x﹣50×4＝100，
x＝6，
故答案为：6
【点评】本题是函数图象的信息题，又是行程问题，首先要明确三个量：路程、时间和速度，题中有三人：甲、乙、丙，正确读出图形中甲、乙相遇及到达目的地的时间是本题的关键；重点理解图象中x与y所表示的含义，也是本题的难点．
18．园林队在公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S与时间t的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队绿化面积为　100　平方米．

【分析】根据函数图象的纵坐标，可得答案．
【解答】解：由纵坐标看出：休息前绿化面积是60平方米，休息后绿化面积是160﹣60＝100平方米，
故答案为：100．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出绿化面积是解题关键．
19．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是　12　．

【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．
【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，
即BC＝5，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，
即BP⊥AC，BP＝4，
∴由勾股定理可知：PC＝3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∵图象右端点函数值为5，
∴AB＝BC＝5
∴PA＝3，AP＝PC＝3，
∴AC＝6，
∴△ABC的面积为：×4×6＝12
故答案为：12
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，本题属于中等题型．
20．如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的长度是　3　cm．

【分析】根据运动速度乘以时间，可得P的位置，根据线段的和差，可得CP的长，最好根据勾股定理，可得PQ的长度．
【解答】解：由题可得：点P运动2.5秒时，P点运动了5cm，
此时，点P在BC上，
∴CP＝8﹣5＝3cm，
Rt△PCQ中，由勾股定理，得
PQ＝＝3cm，
故答案为：．
【点评】本题考查了动点函数图象，依据点P的位置，利用勾股定理进行计算是解题关键．
三．解答题（共8小题）
21．希望中学学生从2014年12月份开始每周喝营养牛奶，单价为2元/盒，总价y元随营养牛奶盒数x变化．指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出表示函数与自变量关系的式子．
【分析】根据总价＝单价×数量，可得函数关系式．
【解答】解：由题意得：
y＝2x，
常量是2，变量是x、y，
x是自变量，y是x的函数．
【点评】主要考查了常量与变量．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
22．下面是三种化合物的结构式及分子式，

（1）请按其规律，写出后一种化合物的分子式　C4H10　；
（2）试写出每一种化合物的分子式中H的个数m与C的个数n的函数之间的关系式　m＝2n+2　．
【分析】（1）由图可知：每增加一个C原子，必然增加2个H原子，故下一种化合物分子式为C4H10；
（2）第一种有化合物的分子式CH4，即一个C，3个H；故即可求得每一种化合物的分子式中H的个数m与C的个数n的函数之间的关系式．
【解答】解：∵每增加一个C原子，必然增加2个H原子，
∴下一种化合物分子式为C4H10；
∵第一种有化合物的分子式CH4，即一个C，3个H；
∴每一种化合物的分子式中H的个数m与C的个数n的函数之间的关系式m＝2n+2．
【点评】主要考查了函数的解析式的求法，首先审清题意，发现变量间的关系；再列出关系式或通过计算得到关系式．
23．一辆小车由静止开始从光滑的斜面上向下滑动，通过观察记录小车滑动的距离S（m）与时间t（s）的数据如下表：
时间t（s） 1 2 3 4
距离s（m） 2 8 18 32 …
（1）写出这一变化过程中的自变量，因变量．
（2）写出用t表示s的关系式．
【分析】（1）根据距离随时间的变化而变化，确定自变量与因变量；
（2）根据物理知识列出函数表达式s＝at2，代入数据计算即可得到关系式．
【解答】解：（1）根据图表可得，距离随时间的变化而变化，
所以自变量是时间t，因变量是距离s；

（2）设t表示s的关系式为s＝at2，
则s＝a×12＝2，
解得a＝2，
∴s＝2t2．
故t表示s的关系式为：s＝2t2．
【点评】本题考查了函数自变量与因变量的确定，以及函数关系式的求解，是基础题，难度不大．
24．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式；
（2）当x＝280（千米）时，求剩余油量Q的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
【分析】（1）根据平均每千米的耗油量＝总耗油量÷行驶路程即可得出该车平均每千米的耗油量，再根据剩余油量＝总油量﹣平均每千米的耗油量×行驶路程即可得出Q关于x的函数关系式；
（2）代入x＝280求出Q值即可；
（3）根据行驶的路程＝耗油量÷平均每千米的耗油量即可求出报警前能行驶的路程，与景点的往返路程比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）该车平均每千米的耗油量为（45﹣30）÷150＝0.1（升/千米），
行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝45﹣0.1x；
（2）当x＝280时，Q＝45﹣0.1×280＝17（L）．
答：当x＝280（千米）时，剩余油量Q的值为17L．
（3）（45﹣3）÷0.1＝420（千米），
∵420＞400，
∴他们能在汽车报警前回到家．
【点评】本题考查了函数的关系式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据数量关系列出函数关系式是解题的关键．
25．“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）小明家到学校的路程是多少米？
（2）小明在书店停留了多少分钟？
（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
（4）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？
【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；
（2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，克的答案；
（3）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
（4）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度．
【解答】解：（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，
故小明家到学校的路程是1500米；
（2）根据题意，小明在书店停留的时间为从（8分）到（12分），
故小明在书店停留了4分钟．
（3）一共行驶的总路程＝1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）
＝1200+600+900＝2700米；
共用了14分钟．
（4）由图象可知：0～6分钟时，平均速度＝＝200米/分，
6～8分钟时，平均速度＝＝300米/分，
12～14分钟时，平均速度＝＝450米/分，
所以，12～14分钟时速度最快，不在安全限度内．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系．
26．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中　兔子　的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中　乌龟　的路程与时间的关系．赛跑的全程是　1500　米．
（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
（3）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？
（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？

【分析】此题要数形结合，根据兔子与乌龟的奔跑路程和时间的图象来求解．
【解答】解：（1）∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻；
∴折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系；
线段OD表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系；
由图象可知：赛跑的路程为1500米；
故答案为：兔子、乌龟、1500；

（2）结合图象得出：兔子在起初每分钟跑700米．
1500÷30＝50（米）
乌龟每分钟爬50米．

（3）700÷50＝14（分钟）
乌龟用了14分钟追上了正在睡觉的兔子．

（4）∵48千米＝48000米
∴48000÷60＝800（米/分）
（1500﹣700）÷800＝1（分钟）
30+0.5﹣1×2＝28.5（分钟）
兔子中间停下睡觉用了28.5分钟．
【点评】本题主要考查动点问题的函数的图象，结合图形进行求解．
27．如图1，两个全等的△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE，其中点B和点D重合，点F在BC上，将△DEF沿射线BC平移，设平移的距离为x，平移后的图形与△ABC重合部分的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示（其中0≤x≤m，m＜x≤3，3＜x≤4时，函数的解析式不同）
（1）填空：BC的长为　4　；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

【分析】（1）通过图2观察可知y＝0时x＝4，即D点从B运动到C平移的距离为4；
（2）当△DEF在平移过程中，与△ABC的重合部分有三种情况，将三种图形分别画出，通过作辅助线构造相似三角形，通过相似三角形对应边的关系，将各边用x表示出来，即可以列出y与x的函数关系式．
【解答】解：（1）由图2得当x＝4时，y＝0，说明此时△DEF与△ABC无重合部分，
则点D从B到C运动的距离为4，即BC＝4；
故答案为：4．
（2）当DE经过点A时（如图1），BD＝3，CD＝1，

∵△ABC≌△DEF．
∴∠EDF＝∠BAC．
∵∠ACD＝∠BCA
∴△ADC∽△BAC．
∴，即．AC＝2
∴n＝2
当0≤x≤2时（如图2），

设ED、EF与AB分别相交于点M，G，作MN⊥BC，垂足为N．
则∠MNB＝90°＝∠EFD＝∠C．
∵∠MDN＝∠EDF．
∴△DMN∽△DEF．
∴，即．
∴MN＝2DN．
设DN＝n，则MN＝2n．
同理△BMN∽△BAC．
∴．即，
∴BN＝4n，即x+n＝4n．
∴n＝x．
∴S△BDM＝?BD?MN＝2
同理△BGF∽△BAC
∴，即．
∴GF＝，
∴y＝S△BGF﹣S△BDM＝2＝﹣x2+x+1．
当2＜x≤3时（如图3），

由①知，S△BDM＝x2．
∴y＝S△ABC﹣S△BDM＝2＝﹣x2+4
当3＜x≤4时（如图4），

设DE与AB相交于点H．
同理△DHC∽△DEF．
∴，即
∴HC＝2（4﹣x）．
∴y＝＝x2﹣8x+16
∴y＝．
【点评】本题考查了平移的性质、相似三角形性质，解题的关键是要找到△DEF运动过程中与△ABC重叠面积的不同情况，通过辅助线构造相似三角形，要注意分类讨论画出对应的图象．
28．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0），
（1）在AC上是否存在点P使得PA＝PB？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（2）若点P恰好在△ABC的角平分线上，请直接写出t的值．

【分析】（1）根据角平分线的性质得到PA＝PB，从而分别表示出PC、BC、BP的长，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）当点P在顶点处时就是在角平分线上，然后再分点P在AC和∠ABC的角平分线的交点处和点P在BC和∠BAC的角平分线的交点处利用相似三角形列式求得t值即可．
【解答】解：（1）如图1，设存在点P，使得PA＝PB，
此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，
在Rt△PCB中，
PC2+CB2＝PB2，
即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，
解得：t＝，
∴当t＝时，PA＝PB；

（2）当点P在点C或点B处时，一定在△ABC的角平分线上，
此时t＝2或t＝3.5秒；
当点P在∠ABC的角平分线上时，作PM⊥AB于点M，如图2，
此时AP＝2t，PC＝PM＝4﹣2t，
∵△APM∽△ABC，
∴AP：AB＝PM：BC，
即：2t：5＝（4﹣2t）：3，
解得：t＝；
当点P在∠CAB的平分线上时，作PN⊥AB，如图3，
此时BP＝7﹣2t，PN＝PC＝（2t﹣4），
∵△BPN∽△BAC，
∴BP：BA＝PN：AC，
即：（7﹣2t）：5＝（2t﹣4）：4，
解得：t＝．
综上，当t＝2、3.5、、秒时，点P在△ABC的角平分线上．



【点评】本题考查了动点问题的函数图象，特别是题目的第二问，采用了分类讨论的数学思想，特别是点P与点C和点B重合时的情况很容易遗漏，应该注意．