高中数学人教A版必修2-1．2 空间几何体的三视图和直观图-教案

1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图
一、教材分析
本节课是高中数学必修二第一章的第二节的第一课时。在上一个部分学生认识了空间几何体的结构，在此基础上，本节课学习空间几何体的表示形式，能进一步提高对空间几何体结构特征的认识。主要内容有：投影的概念、空间几何体的三视图的读和画。画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力。本节课是立体几何的基础之一，教学中应当给以充分的重视。
教材从了解中心投影和平行投影出发，介绍了利用三个正投影来表示空间几何体的方法——三视图，并给出三视图的概念及作图规则。要求学生能画出简单空间图形的三视图，能识别给定三视图所表示的几何体。并在此基础上，学习画出与识别简单组合体的三视图。
通过本节知识的学习，为下一章点、直线、平面之间的位置关系学习打下基础，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，并了解数学在实际生产、生活中的应用。

二、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握平行投影和中心投影；
（2）能画出简单组合体的三视图；
（3）能识别三视图表示的简单组合体，从而进行几何体与其三视图之间的相互转化。
2．过程与方法
通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，培养学生的应用意识。
3．情感、态度与价值观
（1）体会三视图在生产、生活中的作用；
（2）提高学生识图和画图的能力，培养其探究精神和意识。

三、重点难点
重点：画出简单组合体的三视图，给出三视图能还原或想象出原实际图的结构特征。
难点：识别三视图所表示的几何体。

四、学情分析
本节首先简单介绍中心投影和平行投影，然后本节重点教学空间几何体的三视图的作图与识图。在日常生活中，中心投影和平行投影是最常见的两种投影形式，学生具有这方面的直接经验和基础，并且学生在初中和通用技术课已经对三视图有一定的了解，但对三视图与几何体之间的量关系还不清楚，对三视图的具体画法还处于模糊的感知阶段。学生在第一章已经学习和认识了柱、锥、台、球等几何体的概念和结构特征后，在空间想象能力方面有了 一定的提高，可以完成简单组合体与其三视图之间的相互转化。

五、教学与多媒体
（1）魔方（每个四人小组配一个，以帮助学生观察与操作）
（2）智慧课堂（平板电脑与局域网）
（3）软件：PPT，GeoGebra等
六、教学设计
（一）情境引入：（展示图片）
1. 猜猜图中他们的关系；








2. 看似还原的魔方是否真的还原；
教师旋转魔方进行演示：可能出现情况：照片上的三个面已还原，但看不到的三个面并没有完成。

3. 神奇的椅子（动图）。
教师结合内容讲解：看问题不能只看一个角度，应该要从多方面进行观察。而要解决观察事物的问题，我们首先要知道产生影像的原理——投影。（引出新课）


【设计意图】用有趣的图片，让学生能跟随教师的图片展示，通过观察展开思考，引起想象和实际情况的冲突，能在短时间内调动起学生的学习兴趣。

（二）中心投影与平行投影
1．投影的定义
由于光的照射，在不透明的物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面。

2．中心投影与平行投影 __________






__________ __________ __________
提问学生，让学生选择填空：①中心投影 ②斜投影 ③正投影 ④平行投影

【设计意图】学生在初中已经对投影的相关概念有所了解，因此本节课只要对概念进行明确，不需要花太多的时间，把重点放在后面的三视图。

教师：今天我们就利用正投影，来研究空间几何体的三视图问题。（引出三视图）


（三）三视图的概念及作图要求
三视图 概念
正视图 光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图.
侧视图 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图.
俯视图 光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.







我们将正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
教师：三视图依然在空间里，不便于观察。因此，我们要将侧视图的投影面向右边展开，俯视图的向下展开，把三个视图放到同一个平面里去。
问题1：三个视图的相对位置是如何的？
学生：首先将正视图定位，然后侧视图在正视图的正右边，俯视图在正视图的正下方。
问题2：相对于实际物体的照片，三视图有什么优势？
（教师展示相关图片，学生观察思考，自由回答）



.






学生1：比起立体图，三视图可以让我们更清楚地看到它的构造，展示更多的细节。
学生2：三视图是平面图形，比立体图更容易画出。
学生3：三视图可以在图中标注尺寸和细节。
……
教师总结：正因为有这些优势，我们在生产生活中经常会用到三视图，就要求同学们能读懂三视图，会画三视图。
问题3：三视图有怎样的作图原则？
通关观察长方体的三视图，提问学生进行归纳总结，教师板书。
问题4：如果在背后看不见的棱或轮廊是否需要画出？
教师举例：魔方背面拆掉一个棱块的例子。
相对位置 作图原则
正视图和侧视图长对正，正视图和俯视图高平齐，侧视图与俯视图宽相等；看得见的棱或轮廓线用实线表示，看不见的棱或轮廓线用虚线表示.



教师总结三视图的作图原则：
口诀：长对正、高平齐、宽相等，注意实线和虚线
【设计意图】
明确三视图的概念和作用，由教师给出。三视图的作图原则，由学生自主观察，思考总结，让学生参与其中，可以更好地让学生理解并掌握。

（四）三视图的作图与识图
题型一、画空间几何体的三视图（作图）
学生活动1：抢答：说出下列简单几何体的三视图各是怎样的图形？

学生用手中的平板电脑进行抢答。
抢答的学生回答后，教师用GeoGebra软件进行演示操作，验证答案。
引申：球的三视图是全等的三个圆，请问还有什么几何体的三视图是全都一样的呢？
众学生：正方体，是全等的三个正方形。
（让学生拿起手边的魔方，进行观察验证）
【设计意图】
1. 利用智慧课堂的抢答功能进行学生活动，调动学生参与的热情。
2. 学生在思考和抢答的过程中，锻炼学生的空间想象能力，能深化学生对三视图概念的理解、提高应用能力，并对简单几何体的结构有更充分的认知。
3. 用GeoGebra进行验证，及时反馈，并强化学生对三视图观察位置的感知。

例练1：画出正三棱柱的三视图，并注明长度（其中，三棱柱的底面边长为2，高为3.）
学生在纸上作图，并用平板电脑拍照上传。
教师用多媒体演示标准答案，并从学生作品中选取几幅有代表性的，进行点评。
【设计意图】
1. 学生通过画出正三棱柱的三视图，进一步巩固三视图的生成过程、作图的原则、图上尺寸的标注等。
2. 通过教师展示与点评，学生能根据自己的作品与标准答案的差异，发现不足，自我完善，并充分参与学习、发现、感悟、分享经验的过程。
3. 本题需要给予学生充分的时间进行操作，锻炼学生的空间想象能力和抽象能力，也让熟悉三视图的作图方法与作图规范。

题型二、由三视图还原空间几何体（识图）
例练2：说出三视图对应的几何体.
变式：







例练2相对容易，让学生快速还原几何体。
学生：三视图表示的是一个圆台。
教师小结：结合活动1的抢答，我们发现竖直放置的旋转体，它们的正视图和侧视图是全等的，并且都是轴对称图形。
变式难度有所提升，需要学生思考。
学生1：是一个正方体。
教师：是一个怎样的正方体？你可以用魔方给大家演示一下吗？
学生1：是一个棱长为2的正方体。
学生用魔方演示，将魔方的一条侧棱面对其他学生。

教师小结：我们要注意：1.除了整体要长对正之外，局部也需要保持对正。2. 同样是正方体，放置的方式不一样，三视图就可能不一样。

学生活动2：
小组合作：若正方体在某种摆放下的侧视图如图，
你能画出它的正视图和俯视图吗？

四人小组合作，利用魔方进行摆放探究，完成后上台演示，并说明这样摆放方式下，正方体的正视图和俯视图。

【设计意图】
1. 例练2让学生快速还原出几何体，锻炼学生逆向思维，从三视图还原空间几何体。
2. 变式加大了难度，打破学生思维定势，认识到几何体摆放的方式不同，则三视图可能是不同的。
3. 小组合作进一步探究正方体的三视图，利用手边的魔方进行观察，帮助学生想象，加强学生的几何直观和空间想象能力。
4. 变式体现局部也要满足三视图的作图原则，小组合作体现实线和虚线的应用。
5. 小组合作能让学生人人参与其中，展示成果让学生获得成功的体验。

例练3：如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是
一个几何体的三视图，则这个几何体是 (　　)
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱

利用智慧课堂选择题功能，学生自主完成选择后，教师根据统计数据进行适当的说明。

教师：你们是如何想到几何体是三棱柱呢？
学生1：从三视图可以看出底面是长方形，正面是直角三角形，可以搭建起这个几何体。
学生2：我想到，它是一个三明治。
教师：我有一种方法，想要分享给大家——切割法。（讲解并用GeoGebra进行演示）
观察网格，可以知道这个几何体应该是包含在一个6*6*4的长方体范围里的。侧视图和俯视图都已经是长方形，只有正视图，是个三角形，它的斜边代表的是正面对角线。
在对角线上方是空的，即需要切除对角线上方的部分，即从正面对角线切到背面。

小结：我们利用三视图还原多面体有两种方法：一种是根据三视图的位置关系去架构几何体；另一种是先确定几何体所在的一个长方体区域，然后根据三视图进行切割。

【设计意图】
1. 学生脱离实物，进一步锻炼空间想象能力。
2. 用不同的方法进行三视图的识图，提升学生的能力。
3. 用智慧课堂能及时统计学生的正确率，了解学生的掌握情况。
4. 用软件演示切割法，学生能直观地看到整个切割过程，理解切割法的操作步骤和原理，掌握这种方法。
5. 本题是2014年新课标I卷文科数学试题，让学生适当接触高考真题。

题型三、简单组合体的三视图
例练4：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的可以是 ( )

变式：某几何体的正视图如下左图所示，则该几何体的俯视图不可能是 （ ）

利用智慧课堂选择题功能，学生自主完成选择后，教师根据统计数据进行适当的说明。
针对变式，学生容易错选B，因为学生会忽略圆柱体横放的情况，此时的俯视图为方形。
变式解析：A项上面是球下面是圆柱；B项上面是圆柱（横放，底面向前）下面是正方体；C项上面球下面正方体；D项不可能是（圆形里面方形是实线，我们要注意到局部也需要做到长对正，而且正视图没有侧棱！）
教师：从以上两个问题，只看一个或者两个视图，能确定几何体的形状吗？
学生：不能。

小结：一般地，给出三视图可以得到一个确定的几何体。如果只给出一个或两个视图，就无法确定这个几何体的确切形状。

【设计意图】
1. 通过这两道题，培养学生识图能力，并强调视图是矩形的不一定是长方体，还可能是圆柱等几何体，即一个或两个视图一般无法确定物体的形状。
2. 在简单几何体的识图基础上，再研究组合体的三视图，层层递进，对学生是一个挑战，但没有超出学生接受的范畴，可以完成；
3. 充分利用智慧课堂的统计反馈功能，及时了解学生的掌握情况，调整教学方式。

【课堂活动】
小组合作 探究展示：
一个几何体由小立方体搭建而成（小立方体不能粘连或悬空），它的正视图和俯视图如图，这样的几何体是否只有一种呢？如果有多种可能，最少需要多少个小立方体？最多需要多少个呢？分别画出它们的侧视图.

学生以四人小组为单位，进行探究活动。可以利用手边的魔方进行模拟。
有小组完成后，教师请该小组成员上台，为全班学生进行演示与讲解。

小组1展示并讲解：最少需要6个，最多需要8个。
小组2补充：最少6个，但情况不唯一，可能有三种情况。

【设计意图】
1. 进一步探究，更深层次地锻炼学生的空间想象能力，让学生能将能力应用到实际问题中去；
2. 开展小组合作，激发学生的合作意识，群策群力，让学生的思维相互碰撞，在积极的氛围中深化与提升；
3. 利用魔方帮助学生观察和思考，几何直观感受能更容易想清楚问题；
4. 学生在实际操作过程中还能发现不同的摆放方式，进一步加强对三视图的识图和作图的掌握；
5. 通过活动，学生不仅能获得知识和能力，还能在实际操作和展示中培养解决问题的能力、团队合作意识，在体验成功后对自信心也有一定的提升。

（五）课堂总结
本节课学习了：
1. 中心投影和平行投影；
2. 三视图的画法及作图原则：长对正、高平齐、宽相等，注意实线和虚线
3. 三视图与原几何体的相互转化（作图与识图）。

（六）作业与拓展
作业：（略）
拓展1：画出如下摆放的魔方的三视图.


拓展2. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是
某多面体的三视图，则该多面体的形状是_____，
最长的棱的长为_____________.

【设计意图】
1. 通过适当的作业对本节课内容进行知识的梳理和巩固，扎实学生知识基础，做好三视图的作图和识图；
2. 课后的拓展提升，可以帮助学生解决更加复杂的三视图的作图和识图问题，能进一步锻炼学生的能力，对学有余力的学生也是一种挑战和提升。

六、教学反思
本节课主要从以下几个方面进行设计，并达到了预期的效果：
1. 利用多媒体与数学软件GeoGebra帮助学生直观感受几何体的三视图，帮助他们理解和掌握三视图的投影方式和特点；
2. 利用信息技术搭建智慧课堂，使用平板电脑辅助教学，让学生能通过平板电脑同步看到教师的多媒体内容，并能通过做题及时反馈，了解每个学生的掌握情况，并有针对性地改变教学策略；
3. 利用学生熟悉、喜欢的智力玩具——魔方，帮助学生进行观察和探究，从直观感受到抽象思维，让学生在玩中学，不仅在玩中掌握知识和技能，还能培养学生对学习数学的兴趣和热情；
4. 本节课用最简单的几何体之一——正方体（魔方）为主线贯穿整节课，从认识三视图，到学生活动2指出不同摆放的几何体三视图的不同，再到最后的课堂活动探究用小正方体搭建几何体，由浅入深，帮助学生提高空间想象能力。

本节课由于时间或技术的限制，还存在的一些不足：
1． 智慧课堂还有功能未能在课堂实现，如探究中学生可以利用摄像头进行拍摄讲解等；
2． 虽然利用软件对三视图的作图进行演示，但没有板书实际操作，可能学生还有疑问；
3． 如果能进一步处理三棱锥的三视图，重难点能突破得更加透彻。

4．