利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
教学目标
【知识与技能】
1.会识别由“三线八角”构成的内错角和同旁内角.
2.经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决一些问题.
【过程与方法】
经历观察、操作、想象、图例、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力.
【情感态度】
使学生在参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切联系.
【教学重点】
弄清内错角和同旁内角的意义，会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的结论.
【教学难点】
会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的结论.
教学过程
一、情景导入，初步认知
小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB（如图所示）.他只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣.
二、合作探究
探究点一：内错角与同旁内角
【类型一】 判断内错角、同旁内角
如图，下列说法错误的是( )
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠1与∠2是同位角
解析：根据同位角、内错角、同旁内角的基本模型判断．A中∠A与∠B形成“U”型，是同旁内角；B中∠3与∠1形成“U”型，是同旁内角；C中∠2与∠3形成“Z”型，是内错角；D中∠1与∠2是邻补角，该选项说法错误．故选D.
方法总结：在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”型，内错角的边构成“Z”型，同旁内角的边构成“U”型．
【类型二】 一个角的内错角、同旁内角不唯一的图形问题
如图所示，直线DE与∠O的两边相交，则∠O的内错角是________，∠8的同旁内角是________．
解析：直线DE与∠O的两边相交，则∠O的内错角是∠4和∠7，∠8的同旁内角是∠1和∠O.故答案为∠4和∠7，∠1和∠O.
易错点拨：找某角的内错角、同旁内角时，应从各个方位观察，避免漏数．
探究点二：利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
【类型一】 内错角相等，两直线平行
如图所示，若∠ACE＝∠BDF，那么CE∥DF吗？
解析：要判定CE∥DF，需满足∠ECB＝∠FDA，利用“内错角相等，两直线平行”即可判定．
解：CE∥DF.理由如下：因为∠ACE＝∠BDF，又因为∠ACE＋∠ECB＝180°，∠BDF＋∠FDA＝180°，所以∠ECB＝∠FDA(等角的补角相等)，所以CE∥DF(内错角相等，两直线平行)．
方法总结：综合运用补角的性质及等量代换，将已知条件转换为内错角相等来判定两条直线平行，充分运用转化思想．
【类型二】 同旁内角互补，两直线平行
如图，已知点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，且∠DEC＝90°，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
解析：先根据三角形内角和定理得出∠EDC＋∠ECD＋∠DEC＝180°.再由∠DEC＝90°得出∠EDC＋∠ECD＝90°.由CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，可知∠ADC＋∠BCD＝2(∠EDC＋∠ECD)＝180°，由此可得出结论．
解：AD∥BC.理由如下：∵∠EDC＋∠ECD＋∠DEC＝180°，∠DEC＝90°，∴∠EDC＋∠ECD＝90°.∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴∠ADC＋∠BCD＝2(∠EDC＋∠ECD)＝180°，∴AD∥BC.
方法总结：本题考查的是平行线的判定，熟知“同旁内角互补，两直线平行”是解答此题的关键．
【类型三】 灵活运用判定方法判定平行
如图，有以下四个条件：①∠B＋∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝5.其中能判定AB∥CD的条件有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
①∵∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD；②∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；④∵∠B＝∠5，∴AB∥CD.∴能得到AB∥CD的条件是①③④.故选C.
方法总结：要判定两直线是否平行，首先要将题目给出的角转化为这两条直线被第三条直线所截得的同位角、内错角或同旁内角，再看这些角是否满足平行线的判定方法．
【类型四】 平行线的判定的应用
一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为( )
A．第一次右拐60°，第二次右拐120°
B．第一次右拐60°，第二次右拐60°
C．第一次右拐60°，第二次左拐120°
D．第一次右拐60°，第二次左拐60°
解析：汽车两次拐弯后，行驶的路线与原路线一定不在同一直线上，但方向相同，说明这前后路线应该是平行的．如图，如果第一次向右拐，那么第二次应左拐，两次拐的方向是相反且角度相等的，两次拐的角度是同位角，所以前后路线平行且行驶方向不变．故选D.
方法总结：利用数学知识解决实际问题，关键是将实际问题正确地转化为数学问题，即画出示意图或列式表示等，然后再解决数学问题，最后回归实际．
课堂检测
1.如图所示，∠1与∠2是内错角的是（D）
2.如图所示，与∠C互为同旁内角的角有（C）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示，下列条件中不能判定DE∥BC的是（C）
A.∠1=∠C B.∠2=∠3 C.∠1=∠2 D.∠2+∠4=180°
4.如图所示，∠DCB和∠ABC是直线 和 被直线 所截而成的 角.
答案：AB；CD；BC；同旁内.
5.如图所示，∠1=∠2，则 ∥ ，理由是 .
答案：AB；CD；内错角相等，两直线平行.
6.如图所示，AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，∠1=∠2，那么EB∥CF吗？为什么？
解：EB∥CF.理由如下：
∵AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C,
∴∠ABC=∠BCD=90°,
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,
∵∠1=∠2,
∴∠3=∠4,
∴EB∥CF（内错角相等，两直线平行）.
7.如图所示，AB与CD相交于点O，∠A+∠1=110°，∠B+∠2=110°，判断AC与DB的位置关系，并说明理由.
解：AC∥DB.
理由如下：
∵AB与CD相交于点O,
∴∠1=∠2,
∵∠A+∠1=110°，
∠B+∠2=110°
∴∠A=∠B,
∴AC∥DB.（内错角相等，两直线平行）.
8.如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，且∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由.
解：AB∥CD.理由如下：
∵BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线,
∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2,
又∵∠1+∠2=90°,
∴∠ABD+∠BDC=180°,
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
三、板书设计
1．内错角和同旁内角的概念
2．利用内错角、同旁内角判定两直线平行：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
教学反思
平行线的判定是平行线内容的进一步拓展，是进一步学习平行线的有力工具，为学习平行线的性质、三角形、四边形等知识打下坚实的基础，在整个初中几何中占有非常重要的作用，是本章的重难点之一，更在整个初中教学的数学学习中占有举足轻重的作用．学生已经学了平行线的定义、平行公理，具备了探究直线平行的条件的基础，但学生在文字语言、符号语言和图形语言之间的转换能力比较薄弱，在逻辑思维和合作交流的意识方面发展不够均衡
2 探索直线平行的条件
第1课时 利用同位角判定两条直线平行
教学目标
【知识与技能】
1.会识别由“三线八角”所成的同位角.
2.掌握直线平行的条件，并能解决一些问题.
【过程与方法】
经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题.
【情感态度】
进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力.
【教学重点】
会识别各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”.
【教学难点】
判断两直线平行的说理过程.
教学过程
一、情境导入
数学来源于生活，生活中处处有数学，观察下面的图片，你发现了什么？
以上的图片中都有直线平行，这将是我们这节课学习的内容．
二、合作探究
探究点一：同位角
【类型一】 判断同位角
下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是( )
解析：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方向，是同位角，即在图中可找到形如“F”的模型；选项C中，∠1与∠2没有公共直线，不是同位角．故选C.
方法总结：判断两个角是否是同位角的有效方法——描图法：①把两个角在图中“描画”出来；②找到两个角的公共直线；③观察所描的角，判断所属“字母”类型是否为“F”型．
【类型二】 数同位角的个数
如图，直线l1，l2被l3所截，则同位角共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：图中同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8共4对．故选D.
方法总结：数同位角的个数时，应从各个方向逐一观察，避免重复或漏数．
探究点二：利用同位角判定两直线平行
如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD.
解析：要说明AB∥CD，可转化为说明∠1与其同位角相等，这由∠2的对顶角容易证出．
解：因为∠2＝∠EHD(对顶角相等)，又因为∠2＝70°，所以∠EHD＝70°.因为∠1＝70°，所以∠EHD＝∠1，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
方法总结：本题考查的是平行线的判定，熟知“同位角相等，两直线平行”是解答此题的关键．
探究点三：平行公理及其推论
【类型一】 应用平行公理及其推论进行判断
有下列四种说法：
(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(2)同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；(4)平行于同一条直线的两条直线平行．其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：根据平行公理、垂线的性质进行判断．(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；(2)同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确；(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；(4)平行于同一条直线的两条直线平行，正确．正确的有4个．故答案为D.
方法总结：平行线公理和垂线的性质两者比较相近，特别注意，对于平行公理中，必须是过直线外一点可以作已知直线的平行线，过直线上一点不能做已知直线的平行线．但垂线的性质中，无论点在平面内何处都能作出已知直线的唯一垂线．
【类型二】 应用平行公理进行推论论证
四条直线a，b，c，d互不重合，如果a∥b，b∥c，c∥d，那么直线a，d的位置关系为________．
解析：由于a∥b，b∥c，根据平行公理的推论得到a∥c，而c∥d，所以a∥d.故答案为a∥d.
方法总结：平行公理的推论是证明两条直线相互平行的理论依据．
【类型三】 平行公理推论的实际应用
将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开，折痕为EF，把长方形ABEF平摊在桌面上，另一面CDFE无论怎样改变位置，总有CD∥AB存在，为什么？
解析：根据平行公理的推论得出答案即可．
解：∵CD∥EF，EF∥AB，∴CD∥AB.
方法总结：利用平行公理的推论进行证明时，关键是找到与要证两条直线都平行的第三条直线进行说明．
课堂检测
1.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行.
2.如图所示，FE⊥CD，∠2＝26°，当∠1＝64°时，AB∥CD.
3.如图，当∠1=∠D时，可以得到AD∥BC，其理由是同位角相等，两直线平行.
4.如图，已知∠1=∠2,试说明AB与CD的关系.
解：AB∥CD.理由：∵∠1=∠2（已知）
∠2=∠3（对顶角相等）
∴∠1=∠3（等量代换）
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
5.如图，若∠1=∠4，∠1+∠2=180°，则AB、CD、EF的位置关系如何？
解：∵∠1+∠2=180°，
∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD.
又∵∠1=∠4，
∴AB∥EF，
∴AB∥CD∥EF.
6.如图，∠B＝∠C，B、A、D三点在同一直线上，∠DAC＝∠B+∠C，AE是∠DAC的平分线，则AE与BC平行吗？为什么？
解：AE∥BC.理由：∵∠DAC＝∠B+∠C，
∠B＝∠C,
∴∠DAC＝2∠B.
∵AE是∠DAC的平分线,
∴∠DAC＝2∠1,
∴∠B＝∠1,
∴AE∥BC.
7.如图，BE平分∠FBD，∠ABC=∠C，那么直线FB与AC平行吗？试说明理由.
解：FB∥AC.
理由如下：
∵BE平分∠FBD，
∴∠DBE=∠FBE，
∵∠DBE=∠ABC，
∴∠FBE=∠ABC，
∵∠ABC=∠C,
∴∠FBE=∠C，
∴FB∥AC.
三、板书设计
1．同位角的概念
2．运用同位角判定两条直线平行：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
3．平行公理及其推论：
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
教学反思
解决几何题时，重在分析，应结合图形熟识题目给出的已知条件．本节课的易错点是学生对同位角的识别，对同位角个数的计算，应多加强练习，在不断纠错中提高
