人教版八年级数学 下册 18.1.2 平行四边形的判定 课件（3课时，共53张PPT）

(共53张PPT)
无所求则无所获。


——华罗庚
18.1.2　平等四边形的判定
人教版八年级数学 下册




目标导航
1．探究平行四边形的判定方法及三角形中位线的概念、定理。
2. 能利用平行四边形的判定方
法及三角形中位线概念和定理解决一些实际问题。
目标导航一
平形四边形的判定
　　平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫
做平行四边形．
　　平行四边形的性质：对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．
？
判定
性质
定义

D
A
B
C
复习回顾
判定
性质
定义

D
A
B
C
　　问题　如何寻找平行四边形的判定方法？ 　　
　　
复习回顾


两组对边分别相等的
四边形是平行四边形　
















平行四边形的性质　
猜想　
对边相等　
对角相等　
对角线互相平分　
两组对角分别相等的
四边形是平行四边形　　
对角线互相平分的四
边形是平行四边形　　
思考：这些猜想正确吗？
提出猜想
认真阅读课本第45至46页的内容，完成下面的练习并体验知识点的形成过程.
平行四边形的判定定理
自主研学
1、平行四边形的性质：
(1)从边看：两组对边_______；
两组对边_______；
(2)从角看：两组对角_______；
四组邻角_______；
(3)从对角线看：对角线_______
相互平分
互补
相等
相等
平行
合作探究
2、平行四边形性质的逆命题：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)两组对边分别相等的四边形是_______；
(3)两组对角_______的四边形是_______；
(4)对角线________的四边形是_________。
平行四边形
平行四边形
平行四边形
分别相等
相互平分
猜想：这些逆命题成立吗？
可否成为平行四边形的判别方法？
成立
可以
合作探究
　　证明：连接BD．
∵　AB=CD，AD=BC，
BD= BD ，
∴　△ABD≌△CDB (sss)．
∴　∠1=∠2，∠3=∠4．
∴　AB∥DC，AD∥BC．
∴　四边形ABCD是平行四边形．
　　如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
　　求证：四边形ABCD是平行四边形．
　　 　 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．　　
判定定理1
猜想1

D
A
B
C

1
2
3
4




证明猜想
　　证明：∵　多边形ABCD是四边形，
∴　∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
又∵　∠A=∠C，∠B=∠D，
∴　∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°．
∴　AD∥BC，AB∥DC．
∴　四边形ABCD是平行四边形．
　　如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．
　　求证：四边形ABCD是平行四边形．
　　 　两组对角分别相等的四边形是平行四边形．　　
判定定理2
猜想2

D
A
B
C
证明猜想
　　如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且
OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
　　 　对角线互相平分的四边形是平行四边形．　　
判定定理3

D
A
B
C


O
猜想3
　　证明：∵　OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，
∴　△AOD≌△COB（SAS)．
∴　∠OAD=∠OCB．
∴　AD∥BC．
同理　AB∥DC．
∴　四边形ABCD是平行四边形．
证明猜想
　　现在，我们一共有哪些判定平行四边形的方法呢？
　　定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
　　判定定理：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
归纳小结
例1 如图，口ABCD的对角线AC、BD
相交于点O，E、F是AC上的两点，且
AE=CF。求证：四边形
BFDE是平行四边形。
应用提升
证明：∵ABCD是平行四边形
O是对角线AC、BD交点
∴OA=OC OB=OD
又∵AE=CF ∴OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
应用提升
思考 你还有其它证明方法吗？写出过程.
证明：∵ABCD是平行四边形
O是对角线AC、BD交点
∴AD=CD ∠DAE=∠BCF
又∵AE=CF ∴△DAE≌△BCF
∴DE=BC
同理△BAE≌△DCF
∴BE=DC
∴四边形BFDE是平行四边形
应用提升
　　证明：∵　AB=DC，AD=BC，
∴　四边形ABCD是平行四边形．
∴　AB∥DC．
又∵　DC=EF，DE=CF，
∴　四边形DCFE也是平行四边形．
∴　DC∥EF．
∴　AB∥EF．
　1、如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．求证：
AB∥EF．


A　
B　
C　
D　
E　
F　
即学即练
2、如图，口ABCD的对角线AC、BD相交
于点O，E、F分别是OA，OC
的中点。求证：BE=DF。
即学即练
证明：∵ABCD是平行四边形
∴OA=OC
　OB=OD
又∵E、F分别是OA、OC的中点。
∴
又∠BOE=∠DOF
∴△BOE≌△DOF
∴BE=DF
即学即练
知识的角度：
平行四边形的判定定理：
定义；
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
课堂小结
过程与方法的角度：
研究图形的一般思路．
解题策略的角度：
证明平行四边形有多种方法，应根据条件灵活应用．　
性质
定义
判定



逆向猜想
课堂小结
目标导航二
平形四边形判定的应用
　　如图，在下列各题中，再添上一个条件使结论成立：
（1）∵　AB∥CD，　　　　　　　，
∴　四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵　AB=CD，　　　　　　　，
∴　四边形ABCD是平行四边形．
　　如果只考虑一组对边，
它们满足什么条件时，这
个四边形能成为平行四边
形？
AD∥BC　
AD=BC　

A
B
C
D
反思延伸
认真阅读课本第46页至47页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
平行四边形的判定定理
平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是 .
平行四边形
自主研学
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.


A

D

B

C

1

2

图一



A

D

B

C

1

2


O

图二

合作探究
证法一：如图一，连接AC，
∵AB∥CD,
∴∠1=∠ .
又AB=CD,AC=CA,
∴△ABC≌ ( )
∴BC= ( )

∴四边形ABCD有两组对边相等，它是平行四边形 。

2
△CDA
SAS
DA
全等三角形的对应边相等


A

D

B

C

1

2

图一

合作探究
证法二：如图二，连接AC,BD交于点O.
∵AB∥CD,
∴∠1=∠ .
又∠AOB=∠COD,AB=CD,
∴△AOB≌ ( )
∴AO= ,BO= .
∴四边形ABCD是平行四边形.
( ）


A

D

B

C

1

2


O

图二

2
△COD
ASA
对角线互相平分的四边形是平行四边形
CO
DO
合作探究
1、判断题
⑴相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形
( )
⑵两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （ ）
⑶一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； (　 )
⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (　 )
⑸对角线相等的四边形是平行四边形 (　 )
⑹对角线互相平分的四边形是平行四边形（ ）

X

X


即学即练
2、为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗？
能，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
即学即练
3、如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.图中互相平行的线段有：____________________________ _____.


A

C

D

E

F

B

AB∥CD∥EF;
AD∥BC;
DE∥CF
即学即练
例2 已知：如图， ABCD中，
E、F分别是AD、BC的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
分析：证明四边形EBFD的一组对边平行且相等.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥ ，AD= ．
∵ E、F分别是AD、BC的中点，
∴ DE∥BF，且DE=___AD，BF=___BC．
∴ DE= ．
∴四边形BEDF是平行四边形（ 的四边形是平行四边形）．
BC
BC
BF
一组对边平行且相等
应用提升
如图， ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD．E、F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形．


A

F

E

D

C

B

即学即练

A

F

E

D

C

B

证明：
AE∥CF（垂直于同一直线的两直线平行）
∵四边形ABCD是平行四边形
≌
（一组对边平行且相等的四
边形是平行四边形）．
即学即练
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
从角考虑　两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
从对角线考虑　对角线互相平分的四边形是平行四边形．
从边
考虑　

　　判定一个四边形是平行四边形可从哪些角度思考？
具体有哪些方法？
归纳小结
目标导航三
三角形中位线定理
　　如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点，
连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做
三角形的中位线．
　　看一看，量一量，猜一猜：
　　DE与BC之间有什么位置关
系和数量关系？
　　我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形
转化为三角形的问题，能否用平行四边形研究三角形呢？

A　
B　
C　
D　
E　
反思猜想
认真阅读课本第47页至49页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
知识点一： 三角形中位线的定义
连接___________________
叫做三角形的中位线 .




A
B
C
D
E

三角形两边中点的线段
自主研学
（1）一个三角形的中位线共有几条？
（2）三角形的中位线与中线有什么区别？
答：（1）一个三角形的中位线共有__条；
（2）三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是____点与____点的连线；中线是_____点与对边_____点的连线．

3
中
中
中
顶
即学即练
知识点二： 三角形的中位线定理

三角形的中位线_____于三角形的第三边，并且等于第三边的_________．
几何叙述：如上图，
∵在△ABC中，AD=BD，AE=CE，
∴DE___BC且DE=_______．





A
B
C
D
E

平行
一半
∥
合作探究
三角形的中位线定理的证明：
如图，点D、E、分别为△ABC的边AB、AC的中点.
求证：DE∥BC且DE= BC．

合作探究
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，
∵AE=_____，DE=_____，
∴四边形ADCF是平行四边形（ ）
∴CF∥ DA ,又∵AD=BD
∴CF∥ ____ ,



EC
EF
对角线互相平分的四边形是平行四边形
BD
合作探究
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴DF∥BC ,

又∵DE= DF，

∴ ∥ 且DE= BC．

温馨提示： “∥”表示平行且相等




DE BC
合作探究
1、在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？

A
D
C
B
F
E

解：3个
平行四边形DFCE
平行四边形DFEB
平行四边形DEFA
即学即练
2、如下图，△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，BC=10cm，则DE=______.
3、如右图， △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°, ∠B=70°,
则∠AED=_____.

5cm
60°
即学即练
4、已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、OB、OC、AC的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
即学即练

证明：∵E、F、G、H分别是
AB、OB、OC、AC的中点，?
∴ED∥BC，ED= BC；
FG∥BC，FG= BC?
∴ED∥FG，ED=FG
∴四边形EFGH是平行四边形。
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
即学即练
5、如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.怎样测出A、B两点间的距离？根据是什么？


A
B
C
解：分别取CA和CB的中点M，N，连接MN，
然后测出MN的长度，则AB=2MN。
理由：三角形的中位线等于第三边的一半。
即学即练
1、三角形中位线的定义:
______________________叫做三角形的中位线 .
2、三角形的中位线与中线的区别：中位线是__________的连线；中线是_________的连线.
3、三角形的中位线定理：三角形的中位线____于三角形的第三边，并且等于第三边的____．
连接三角形两边中点的线段
中点与中点
顶点与中点
平行
一半
归纳小结
我们已经站在了人生的起跑线上，为了实现心中的远大目标，我们正努力拼搏着。成功属于不畏困难、勇往直前的人。相信自己！
教师寄语

通过本课学习，你收获了什么？
课后作业：

完成教科书中相关练习题。