人教版八年级数学 下册 19.1.1 变量与函数 课件（2课时，共43张PPT）

(共43张PPT)
人生最终的价值在于觉醒和思考的能力，而不只在于生存。


—— 亚里士多德?
19.1.1　变量与函数
人教版八年级数学 下册




目标导航
1．探究变量与常量、自变量、函数、
函数值的概念。
2．会初步分析简单实际问题中函数关系，讨论变量的变化情况。
3.会用解析式法和列表法，表示简单实际问题中的函数关系。
目标导航一
变 量 与 常 量
万物皆变
观察现象
y
x





s
　　如图，小球在斜坡上滚动，请观察这一运动变化过
程，你注意到了什么变化？
万物皆变
关注其中数量的变化，用数量变化描述变化规律

从数学角度 研究变化过程
观察现象
　　变化的量：
　　小球在斜坡上滚动的路程s，小球离起点的水平距离
x；小球离水平面的高度y．
　　不变的量：
　　斜坡高度，斜坡长度，斜坡水平长度等．
　　如图，小球在斜坡上滚动，请观察这一运动变化过
程，你注意到了什么变化？
y
x





s
观察现象
认真阅读课本第71页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
知识点 变量与常量
1、汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h，填写表19-1，
s的值随t 的值的变化而变化吗？



(１)请同学们根据题意填写上表：
(２)在以上这个过程中，变化的是 ,不变化的量是 .
(３)试用含t的式子表示s 是 .
t /h 1 2 3 4 5
s /km
60
120
180
240
300
时间
速度
s=60t
合作探究



2、每张电影票的售价为10元,如果第一场售出票150张,第二场售出票205张,第三场售出票310 张,(１)第一电影的票房收入 元;第二电影的票房收入 元;第三电影的票房收入 元 。?
(２)在以上这个过程中,变化的是 ,
,不变化的量是 .
(３)设一场电影售出票x张,票房收入为y元,怎样用含x的式子表示y？
(4)y的值随x的值的变化而变化吗？
1500
2050
3100
售出票数x
票价
解:(3)y=10x；
票房收入y
（4)y的值随x的值的变化而变化
合作探究
3、你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大。在这一过程中，当圆的半径分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积s分别为多少？s的值随r的值的变化而变化吗？
?

解：
当圆的半径为10cm时,面积为s=100πcm2
当圆的半径为20cm时,面积为s=400πcm2
当圆的半径为30cm时,面积为s=900πcm2
s的值随r的值的变化而变化
合作探究

4、用10 m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？

解：当x为3m时，y为2m;
当x为3.5m时，y为1.5m;
当x为4m时，y为1m;
当x为4.5m时，y为0.5m;
y的值随x的值得变化而变化。
合作探究
思考
上面的问题，你能说出哪些量的数值是变化的？哪些量的数值是始终不变的？

?
?



解：
变化的量:时间t,路程s;售出票数x,票房收入y;圆的半径r,圆的面积s;矩形的一边长x,矩形的邻边长y。
始终不变的量:速度、票价、π、矩形的周长。
合作探究
数值发生
变化的量

变量
数值始终
不变的量
常量
　　上述材料出现的数量，你认为可以怎样分类？

合作探究
以上问题反映了不同事物的变化过程。在这些过程中,我们称 是变量，数值始终不变的量是 。

数值发生变化的量
常量
合作探究


1、若矩形的宽为 x cm，面积36cm2，则这个矩形的长 y 随 x 的变化而变化，其中常量是 ，变量是 .

x ，y
36
即学即练
2、指出下列问题中的变量和常量：
（1）某市的自来水价为4元/ t.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为 x t ，月应交水费为 y 元.

（2）某地手机通话费为0.2元/ .李明在手机话费卡中存入30元,记此后他的手机通话时间为 t min,话费卡中的余额为w 元.
解：变量：x ， y ；常量：4
解：变量：t , w ； 常量：0.2, 30
即学即练
2、指出下列问题中的变量和常量：
（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径的比）为π.

（4）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入 x 本，第二个抽屉放入 y 本.
解：变量：r，C; 常量：π
解：变量：x, y；常量：10
即学即练
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为 ，数值始终不变的量是 。
?




变量
常量
归纳小结
目标导航二
变 量 与 函 数
行驶时间 t/h 1 3 3.4 4 9 …
行驶里程s/km …
60
180
204
240
540
　　问题1　下面变化过程中的变量之间有什么联系？
　 （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间
为t h，行驶的路程为s km；
观察思考
　　问题1　下面变化过程中的变量之间有什么联系？
　 （2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出 x 　　
张票，票房收入为 y 元；
（3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半
径为 r ，面积为 S ；
（4）用10 m 长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长
为 x，它的邻边长为 y．
观察思考
问题2　这些变化过程中，变量之间关系有什么共同特点？
观察思考
知识点一 两变量之间的关系
认真阅读课本第73至74页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
思考 下列式子S=60t，y=10x,S=πr2，C=5-x中存在几个变量？在同一个式子中的变量之间有什么联系？
答：两个变量
归纳 每个问题中的 变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有 确定的值 。
两个
唯一
与其对应
自主研学
思考（1）在心电图中，对于横坐标表示时间x的每一个确定的值，纵坐标表示心脏部位的生物电流y都有唯一确定的值与其对应吗？
答：有
（2）在我国人口数统计表中，对于每一个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？
答：是
归纳:一些用 或 表达的问题中，也能看到两个变量之间的联系.
图
表格
合作探究
　　如果当 x =a 时，对应的 y =b，
那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值。
合作探究
　函数的定义：
　一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。
在计算器中操作y=2x+5后填表：
答：是，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应。
显示的计算结果是输入数值的函数吗？为什么？
x 1 2 -4 0 101 -5.2
y
7
9
-3
5
207
-5.4
合作探究
例1 一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：千米）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/㎞.
（1）写出表示y与x的函数关系式.
（2）指出自变量x的取值范围.
（3） 汽车行驶200㎞时，油箱中
还有多少汽油？
合作探究
（2）因为x代表的实际意义为行驶路程，所以x不能取 .且行驶中的耗油量为 ，它不能超过油箱中现有汽油量的值50，即 因此，自变量x的取值范围是____________.
解：（1）y与x的函数关系式为y=_______
（3）汽车行驶x=200时，油箱中的汽油量是函数 在x=200时的函数值。即:y = ＝___
答：汽车行驶200时，油箱中还有30L汽油.
50-0.1x
负数
0.1x
0.1x≤50
0≤ x ≤ 500
y=50-0.1x
50-0.1×200
30
合作探究
　　问题1　请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
　 （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间
为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）；
　 （2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y．
　　函数的定义是，某一变化过程中有两个变量x，y，
对于变量x 每取一个确定的值，y 都有唯一确定的值与
之对应．
问题1（1）中，t 取-2 有实际意义吗？
问题1（2）中，n 取2 有意义吗？
合作探究
　　根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取
任意值吗？

　　在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限
制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个
范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的
数值范围叫函数的自变量取值范围．
合作探究
　　确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系
式有意义，而且还要注意问题的实际意义．
　　问题2　你能用含自变量的式子表示下列函数，并
说出自变量的取值范围吗？
　 （1）等腰三角形的面积为12，底边长为 x，底边上
的高为 y，y 随着 x 的变化而变化；
　 （2）把边长为10 cm 的正方形纸板的四个角都截去
一个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖的长方体，该
长方体的体积 V（单位：cm3）随 x（单位：cm）的变化
而变化．
合作探究
温馨提示：确定自变量的取值范围时
①要使 有意义.

用关于自变量 ______表示 ___与_____之间的关系，这种式子叫做___ ,
它是描述函数的常用方法.
函数关系式
数学式子
函数
自变量
函数解析式
问题
②要符合 的实际意义.
合作探究
　　例2　小明想用最大刻度为100℃的温度计测量食用
油的沸点温度（远高于100℃），显然不能直接测量，
于是他想到了另一种方法，把常温10℃的食用油放在锅
内用煤气灶均匀地加热，开始加热后，每隔10 s 测量一
次油温，共测量了4次，测得的数据如下：



　　他测量出把油烧沸腾所需要的时间是160 s，这样就
可以确定该食用油的沸点温度．他是怎样计算的呢？
时间t/s 0 10 20 30
油温w/℃ 10 25 40 55
列表法、解析法
合作探究
1、在y=3x+1中，如果 是自变量， 是x的函数.
2、下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式.
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积s随之改变。
解：边长x是自变量 ，面积S是x的函数
函数解析式为 s=x2
x
y
即学即练
（2）每分向一水池注水0.1m3，注水量y（单位：m3）随注水时间x（单位：min）的变化而变化。
解：时间x是自变量, 水量y是x的函数
函数解析式为 y=0.1x
（3）秀水村的耕地面积是106㎡，这个村人均占有耕地面积y（单位：㎡）随这个村人数n的变化而变化。
解：人数n是自变量, 面积y是n的函数
函数解析式为 y=
即学即练
（4）水池中有水10L，此后每小时漏水0.05L，水池中的水量V(单位：L)随时间T（单位：t）的变化而变化。
解：时间T是自变量,水量V是T的函数
函数解析式为 V=10-0.05T
你答对了吗
即学即练
3、梯形的上底长2，高3，下底长大于上底长但不超过5.写出梯形面积关于的函数解析式及自变量的取值范围。
解：函数解析式为S=
自变量x的取值范围 2＜x≤5
即s=3+1.5x
即学即练
1、一般地，在一个变化过程中，如果
有 变量x和y，并且对于x的 ，y都有___________ 与其对应，那么我们就说x是 ，y是x的 。
2、如果当x＝a时，y＝b，那么 叫做当自变量的值为 时的函数值.
3、用关于 表示 ___之间的关系，这种式子叫做函数的解析式.
唯一确定的值
函数变量
函数
b
a
自变量的式子
自变量
两个
每一个确定的值
归纳小结
我们已经站在了人生的起跑线上，为了实现心中的远大目标，我们正努力拼搏着。成功属于不畏困难、勇往直前的人。相信自己！
教师寄语

通过本课学习，你收获了什么？
课后作业：

完成教科书中相关练习题。