人教版八年级数学 下册 第十九章 19.2.1 正比例函数 课件（2课时，共61张PPT）

(共61张PPT)
社会犹如一条船，每个人都要有掌舵的准备。


—— 易卜生
19.2.1　正比例函数
人教版八年级数学 下册




目标导航
1．探究比例函数的概念及应用；
2. 会画正比例函数的图象；
3．能根据正比例函数的图象和表达式y =kx（k≠0）理解k＞0和k＜0时，函数的图象特征与增减性。
目标导航一
正比例函数的概念和应用
1.函数的定义：一般的，在一个变化过程中有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
2.函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
3.函数的三种表示方法：
①列表法　　　②图象法　　　③解析式法
知识回顾
　　问题　下列问题中，变量之间的对应关系是函数关
系吗？如果是，请写出函数解析式．
　 （1）圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化；


　 （2）铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量 m（单位：g）
随它的体积 V（单位：cm3）的变化而变化；
知识回顾
　　问题　下列问题中，变量之间的对应关系是函数关
系吗？如果是，请写出函数解析式．
　 （3）每个练习本的厚度为0.5 cm，练习本摞在一起的
总厚度 h（单位：cm）随练习本的本数 n 变化而变化；


　 （4）冷冻一个0 ℃ 的物体，使它每分下降2 ℃，物体
的温度 T（单位：℃）随冷冻时间 t（单位：min）的变化
而变化．
知识回顾
认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式 常数 自变量 函数
（1）l=2πr
（2）m=7.8V
（3）h=0.5n
（4）T= －2t
这些函数有什么共同点？
这些函数都是常数与自变量的乘积的形式！
2π
r
l
7.8
V
m
0.5
n
h
－2
t
T
观察发现
认真阅读课本第86至87页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.
自主研学
知识点 正比例函数的定义
发现：它们都是 的形式.
常数与自变量的乘积
2、一般地，形如 （k是常数，k 0）的函数，叫做_______函数，其中 叫做__________。
正比例
比例系数
合作探究
注意：
（1）解析式：
函数是正比例函数其解析式可化为y=kx（k是常数，k≠0）的形式；

注意：
（2）解析式的特征：
正比例函数解析式y=kx（k是常数，k≠0）的特征：
①k≠0，
②自变量x的指数是1；

注意：
（3）自变量的取值范围：
一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数；在实际问题中或者是在具体规定取值范围的前提下，正比例函数自变量的取值范围就不是全体实数了。
例：下列函数中哪些是正比例函数？
（1）y =2x
（2）y=x2+1
是
不是

看变量之间是否
满足函数的定义：
即形如 y=kx
（k是常数，k≠0）
合作探究
（6） ．　　
（1）　　 ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；






　解：（1）（2）（5）表示y 是x 的正比例函数．
　　例　下列式子中，哪些表示y 是x 的正比例函数？
合作探究
1、下列式子中，哪些表示是的正比例函数？并说出正比例函数的比例系数是多少？
（1） ；

（2） ；

解：是正比例函数，比例系数是-0.1.
解：是正比例函数，比例系数是 .
（3） （4） .
解：不是正比例函数.
解：不是正比例函数.
即学即练
3、若 是正比例函数，则 .
2、下列各函数是正比例函数的是（ ）
A. B.

C. D.

C
1
即学即练
知识点 正比例函数的应用
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
解：乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需的时间为 1318 300 4.4 (h)
合作探究
（2）京沪高铁列车的行程 y（单位：km ）与运行时间 t（单位：k ）之间有何数量关系？
解：y=300t(0 t 4.6)
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1100km的南京南站？
解：300×2.5=750 (km)
因为750<1100，所以京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，还没经过了距始发站1100km的南京南站。
合作探究
解： ,这是正比例函数。
1、列式表示下列问题中的与的函数关系，并指出哪些是正比例函数.
（1）正方形的边长为 cm，周长为 cm；
解：
即
这是正比例函数。
（2）某人一年内的月平均收入为 元，他这年（12个月）的总收入为 元；

（3）一个长方形的长为2cm，宽为1.5cm，高为 cm，体积为 cm3.
解： ,这是正比例函数。
即学即练
2、1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？
解: (1)这只燕鸥大约平均每天飞行的路程为 25600 ÷ 128=200（千米）
答：这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米。
即学即练
(2)假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y （单位：千米）就是飞行时间x（单位：天）的函数，函数解析式为
y =200x (0 (2) 这只燕鸥的行程 (单位：千米)与飞行时间 (单位：天)之间有什么关系？
即学即练
(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？
(3)这只燕鸥飞行一个半月的行程， 即 ： x =45，
所以 y = 200×45 = 900（千米）
答：这只燕鸥飞行一个半月的行程大约是900千米。
即学即练
1、一般地，形如 （ 是常数， ）的函数叫做正比例函数，其中 叫做比例系数.
2、正比例函数都是常数与自变量的
的形式.

乘积
归纳小结
目标导航二
正比例函数的图象和性质
1、一般地，形如 ______（ 是常数，
）的函数叫做正比例函数，其中 叫做___________ .


2、若 是正比例函数，
则　　　______ .　　

y=kx
k
k≠0
k
比例系数
3
知识回顾
3、已知函数y=kx，当 =-1时， =6，
则 与 之间的函数关系为 ____________ .

4、用描点法画函数图象有哪几个步骤？

（1）_______，（2）_______，

（3）_______.
y=－6x
列表
描点
连线
知识回顾
认真阅读课本第87至89页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
知识点一 正比例函数的图象
例 画出下列正比例函数的图象：

（1） ， ；
解：①确定两个函数自变量的取值范围.

②列表：
合作探究
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
…






…
…






…
-6
-4
-2
0
0
2
4
6
-1
1
χ
y1
y2
合作探究
③画图象：
合作探究
④函数的图象都是一条经过_______和第

______、第_______象限的直线.
原点
一
三
合作探究
看图 , 在同一坐标系下，观察下列函数的图象，并对它们进行比较：

（1） （2）
合作探究
-
x







-5











-4











-3











-2











-1





5
4
3
2
1

-1 0
-2
-3
-4
-5







1











2











3











4











5












































x
y
















合作探究
-
比较上面的两个函数的图象的相同点与不同点 ，考虑两个函数的变化规律 ， 填写你发现的规律 ：
两函数图象都是经过原点的　　　　，
函数 y = 2x 的图象从左向右　　　　，经过第 象限；
函数 y = -2x 的图象从左向右　　　　，经过第　　　　象限．
直线
上升
一和三
下降
二和四
合作探究
图像： 正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。
性质：当k>0时,直线y= kx经过第一、三象限，从左向右上升，即y随着x的增大而增大；
当k<0时,直线y= kx经过第二、四象限，从左向右下降，即y随着 x的增大而减小。

发现规律


（1）正比例函数的图象是一条过原点的直线，画正比例函数的图象时，可以通过两点（0，0）和（1，k)而画出。
（2）根据正比例函数的性质，只要知道比例系数k的符号是正（或负），不用画出图象就能判断其图象的位置，以及y随x的增大而增大（或减少）情况，反之亦然。

注意：
(3)k的符号，图像的位置，函数的增减性，三者知道其一，就可知道其它两个。
例 画出下列正比例函数的图象：
（2） ， ；
解：①确定两个函数自变量 的取值范围.

②列表：
合作探究
x … -2 -1 0 1 2 …
y1 … …
y2 … …
3
1.5
0
-1.5
-3
8
4
0
-4
-8
…
…
…
…
合作探究
③画图象：
合作探究

④函数的图象都是一条经过_______

和第 _______ 、第 ________ 象限的

直线。
原点
二
四
合作探究
思考 怎样画正比例函数图象最简单？　　　　　　为什么？
解：因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数 （ ）的图象.一般地，过原点和（1，k）(k是常数，k≠0）的直线，即正比例函数
（ k≠0 ）的图象.
k≠0
合作探究
结论 因为两点确定一条直线，所以经过原点与点（ ， ）（ k 是常数，
）的直线，即是正比例函数
（ ）的图象。
1
k
合作探究
1、用你认为最简单的方法画出下列函数图象：
（1） ； （2）
… 0 1 …
… …
… …
0
0
－3
解：列表：
即学即练

描点并连线：
即学即练

2、下列函数① , ② ,

③ , ④ ，⑤ 中，

随 的增大而减小函数是__________ ， 随 的增大而增大的函数是__________ .
②④⑤
①③
即学即练

3、函数y=-5x的图象在第_______ 象限内，经过点（0， ）与点（1， ），y随x的增大而________ .
二、四
0
-5
减小
4、正比例函数 的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（ ）

A. m=1 B. m＞1 C. m＜1
D.m≥1
B
即学即练
　　5、　在平面直角坐标系中，正比例函数y =kx
（k＜0）的图象的大致位置只可能是（　　）．
x



y
O



x
y
O



x
y
O



x
y
O
A
B
C
D
A
即学即练

1、最简单画正比例函数图象的方法：

⑴在平面直角坐标系只选取两点：（0， ）与点（1， ）；

⑵把这两点连成一条_________，这条直线就是正比例函数y=kx（k≠0）的图象.
0
k
直线
归纳小结

2、正比例函数y=kx（k≠0）的性质：

⑴当k＞0时，正比例函数y=kx经过第_____ 、第____ 象限，函数y随x自变量的增大而________ .

⑵当k＜0时，正比例函数y=kx经过第___ 、第_____ 象限，函数y随自变量x的增大而________ .
一
三
增大
二
四
减小
归纳小结
1、在下列图像中，表示函数y=-kx
(k＜0)的图像是（ )


x
y
0

A


x
y
0

B


x
y
0

C


x
y
0

D
A
检测目标


B
2、正比例函数y=(m-1)x的图象经过一、三象限，则m的取值
范围是（ ）
A、m=1 B、m＞1
C、m＜1 D、m≥1
检测目标
3、 正比例函数 y=kx(k≠0) 的图象是一条 ，它一定经过点 （0， ）和（1， ）。
直线
0
k
检测目标
4、如果 是正比例
函数,且y随x的增大而减小,
那么m= 。
2
检测目标
　　5、　对于正比例函数y =kx，当x 增大时，y 随x的增大而增大，则k的取值范围（ ）．
　　A．k＜0　　　　　　B．k≤0
　　C．k＞0　　　　　　D．k≥0
C
即学即练
　　6、　 比较大小：
　 （1）k1 k2；（2）k3 k4；
　 （3）比较k1， k2， k3， k4大小，并用不等号连接．
＜
k1＜k2 ＜k3 ＜k4


4
2
-2

-4
4
x
y
O
y =k4 x
-4
-2
2



y =k3 x
y =k2 x
y =k1 x
＜






















即学即练

7、已知y与x成正比例，且x=2时，y=-6，则当x=9时，求y的值。
解:∵y与x成正比例，
∴设解析式为y=kx.
代入x=2，y=-6，
解得，k=-3，
∴y=-3x.
∴当x=9时，
y=-3x=-3×9＝-27

你答对了吗
即学即练
我们已经站在了人生的起跑线上，为了实现心中的远大目标，我们正努力拼搏着。成功属于不畏困难、勇往直前的人。相信自己！
教师寄语

通过本课学习，你收获了什么？
课后作业：

完成教科书中相关练习题。