人教版八年级数学 下册 17.1 勾股定理 课件（3课时，共54张PPT）

(共54张PPT)
没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和-谐性。


——卡罗斯
17.1　勾股定理
人教版八年级数学 下册




目标导航
1．经历勾股定理的探究过程，归纳勾股定理内容。　　
2．能用勾股定理解决一些简单问题，证明直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理。
3.体会勾股定理在数学中的地位和作用。
目标导航一
认 识勾 股 定 理
　　国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术
会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如
图就是大会的会徽的图案．
　　问题1　你见过这个图案吗？
它由哪些基本图形组成？
趣味数学
　　追问　由这三个正方形
A，B，C的边长构成的等腰
直角三角形三条边长度之间
有怎样的特殊关系？
　　问题2　三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？　　
A
B
C
趣味数学
　　追问　正方形A、B、C
所围成的直角三角形三条边
之间有怎样的特殊关系？
　　问题3　在网格中的一般的直角三角形，以它的三
边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积
关系？
A　
B　
C　
趣味数学
　　问题4　通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？
趣味数学
　　这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周
髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根
据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图
围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄
色）．勾股定理在数学发展中起
到了重大的作用，其证明方法据
说有400 多种，有兴趣的同学可
以继续研究，或到网上查阅勾股
定理的相关资料．
c
b
a
（
b
-
a
）
2
黄实
朱实
趣味数学
认真阅读课本第22页到第24页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
广东省怀集县马宁镇初级中学 徐志才
自主研学
知识点一 勾股定理的探究



1、如图，邮票图案的三个
正方形小方格中间是一个直
角三角形，如果1个小方格
为1个单位面积，那么直角
三角形的两直角边长分别是
____和____，
斜边长是____；

三个正方形的面积分别是_____、_____和____.

4
3
5
16
9
25
合作探究


2、上题三个正方形面积之间的关系是
_____________________________________.

两个小正方形的面积之和等于大的正方形面积
知识点一 勾股定理的探究
合作探究


知识点一 勾股定理的探究
3、把上题三个正方形的面积关系，转化为直角三角形三边的关系，则得到什么结论？
结论：直角三角形两直角边的 __ _____
等于 .
?
命题1（勾股定理） 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 .
平方和
斜边的平方
a2+b2=c2
合作探究

1、判断题
(1)若a、b、c是三角形的三边，则 . （ ）
(2)直角三角形中，两边的平方和等于第三边 的平方. （ ）
×
×
即学即练
2、　求图中字母所代表的正方形的面积．　　
A　
A　
A　
Ｂ　
225
144
80
24
17
8
知识点二 勾股定理的证明
1、赵爽弦图利用了_______关系进行勾股定理的证明.

2、剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，其中直角三角形的两直角边分别是a、b，则中间的小正方形的边长为________，利用面积证明勾股定理.

面积
b-a
合作探究
∵ S大正方形
＝4S直角三角形+S小正方形
＝4×_______+（____）2
＝___________________
＝___________________
又∵S大正方形＝C2

∴______2+______2=_______2
b-a
2ab+b2-2ab+a2
a2 +b2
a
b
C
知识点二 勾股定理的证明
合作探究
如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12，求最大正方形E的面积.

A
B
C
D
E
H
F
K
G
即学即练
解：如图所示
正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12,
设直角三角形的斜边长为c ,由勾股定理知
122+162=c2，c=20 ，即正方形F边长为20.
同理可得， 正方形G的边长为15
故直角三角形的两直角边分别为20，15.设它的斜边长为k，由勾股定理知
202+152=k2，k=25
正方形E的边长为25，S正方形E=25×25=625
1、勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 .
2、赵爽弦图利用了___ ____关系进行勾股定理的证明.
a2+b2=c2
面积
归纳小结
目标导航二
应用勾股定理求距离
　　已知一个直角三角形的两边，应用勾股定理可以求
出第三边，这在求距离时有重要作用．
　　勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边
长为c，那么a2+b2=c2．
认真阅读课本第25页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
　　例1　一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽
2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
　　解：在Rt△ABC中，根据勾股
定理，得　AC2=AB2+BC2=12+22=5．
　　　　　AC= ≈2.24．
因为 大于木板的宽2.2 m，所以
木板能从门框内通过．

　　将实际问题转化为数学问
题，建立几何模型，画出图形，分
析已知量、待求量，让学生掌握解
决实际问题的一般套路．


A
B

C

D

1 m

2 m
合作探究
1、如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m，AC=20m.求A、B两点间的距离（结果取整数）.
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
答：A、B两点间的距离约为57m
即时练习
　　例2.今有池方一丈，芦苇生其中央，出水一尺，引芦苇赴岸，适与岸齐．问水深、芦苇长各几何？
A
B
C
　　分析：
可设AB=x,则AC=x+1，
有　AB2+BC2=AC2，
可列方程，得　x2+52= ，
通过解方程可得．
合作探究
　　利用勾股定理解决实际问题
的一般思路：
（1）重视对实际问题题意的
正确理解；
（2）建立对应的数学模型，
运用相应的数学知识；
　 （3）方程思想在本题中的运
用．
A
B
C
　　例2.今有池方一丈，芦苇生其中央，出水一尺，引芦苇赴岸，适与岸齐．问水深、芦苇长各几何？
合作探究
株树之间的垂直距离是____米，水平距离是 米.
2、如图，山坡的坡角为30°,山坡上两株树木之间的坡面距离是
米，
则这两
6
即时练习
例3 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
O
B
D




CＣ

A


C


A
O
B
O
D

合作探究
解：在Rt△AOB中，根据勾股定理，
OB2=________=__________=___
OB=____=___
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=________=_______________=______
OD=_____≈______
BD=OD-OB≈_______=______.
所以______________________
____________________________________
3.15
1.77
1
AB2-OA2
2.62-2.42
1
CD2-OC2
2.62-(2.4-0.5)2
1.77-1
0.77
梯子的顶端下滑0.5m时，梯子底端
并不是也外移0.5m，而是外移0.77m.


3、一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处.木杆折断之前有多高？
解：依题意得,PR=3,PQ=4
在Rt△RPQ中,根据勾股定理，
RQ=
所以木杆折断之前高度为PR+RQ=3+5=8m
即时练习
4、如图，在平面直角坐标系中有两点（5,0）和B（0,4）.求这两点之间的距离.
解：依题意得,OA=5,OB=4
在Rt△AOB中,根据勾股定理，
AB=
所以这两点之间的距离为
广东省怀集县永固镇初级中学 方慧吾
如果直角三形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
1、勾股定理：
__________________________________
_____________________

2、勾股定理有广泛的应用.
归纳小结
目标导航三
应用勾股定理证“HL”
　　问题1　在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
　
学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
认真阅读课本第26至27页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.
知识点一 勾股定理的应用
已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C' 中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
自主研学
′
′
′
′
′
′
　　已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A B C 中，∠C=
∠C =90°，AB=A B ，AC=A C ．
　　求证：△ABC≌△A B C ．
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
　　证明：在Rt△ABC 和
Rt△A B C 中，∠C=∠C′
=90°，根据勾股定理，得
′
′
′




A
B
C
A
B
C′
′
′
合作探究




A
B
C
A
B
C′
′
′
′
′
′
∴　△ABC≌△A B C
（SSS）．
′
′
′
′
′
′
　　证明：
∵ AB=A B ，
AC=A C ，
∴　BC=B C ．
　　已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A B C 中，∠C=
∠C =90°，AB=A B ，AC=A C ．
　　求证：△ABC≌△A B C ．
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
合作探究
1、如图,等边三角形的边长是6,
求:（1）高AD的长；
（2）这个三角形的面积
解:(1)∵AD是等边三角形
ABC的高
∴AD平分∠BAC,∠BAC=30°
BD= AB=3
根据勾股定理：AD2=AB2-BD2
=62-32=27 ∴AD=
即学即练
（2）这个三角形的面积
解:
= AB.AD
= ×6×3
=9


　2、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一点．求证：AD2 +
DB2 =DE2．
　　证明：∵　∠ACB =∠ECD，
∴　∠ACD +∠BCD=∠ACD +∠ACE ，
∴　∠BCD =∠ACE．
又　 BC=AC， DC=EC，
∴　 △ACE≌△BCD．
A
B
C
D
E
即学即练

A
B
C
D
E
　　证明：∴ AE=DB，∠B =∠CAE=45°，
∠DAE =∠CAE+∠BAC
　　　 =45°+45°=90°．
∴　AD2 +AE2 =DE2．
∵　AE=DB ，
∴　AD2 +DB2 =DE2．
　　3、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一点．求证：AD2 +
DB2 =DE2．
即学即练
知识点二 在数轴上作出表示无理数的点
1、两条直角边都是1的直角三角形的斜边长=____;
2、直角三角形一直角边长是3,另一直角边长是2,那么它的斜边长=_______.

合作探究
　　　我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
作法：
(1)在数轴上找到点A,使OA=3；
(2)过点A作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=2,那么OB=________；
(3)以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则OC=________.
如图,在数轴上,点C为表示_______的点.
2、在数轴上作出表示 点

A

l

B



C
合作探究
4、利用勾股定理,可以作出长为 、 、
…的点.

作法与提示：

A
(1)在数轴上标记点A,经过点A作OA的垂线m

　

m
(2)在m上取点K,使AG=1,连接OG

　

G


(3)以O为圆心OG为半径作弧,弧与数轴交于点B,
则点B的坐标就是

　

B
(4)类似于作 的步骤,标出 和 的点

　








“数学海螺”
类比迁移
1、在数轴上作出表示 的点(不写作法).

作法与提示：
(1)在数轴上标记点4为点A,经过点A作OA的
垂线n

　

A

n
(2)在直线n上取一点B使得AB=1,连接OB

　

B


(3)以O为原点OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,
则点C的坐标就是

　

C
即学即练
2、如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点,在图中画一个三角形,使它的三边分别为3, , .








作法与提示：
(1)在网格中,分别画出长度为3， ， 的线
段,并如图标记点A、B、C、D

　
A
B
3
C
D
(2)以B为圆心,BC为半径作弧
以A为圆心,AD为半径作弧

　


(3)两弧交于点O,连接AO,BO
则△ABO就是所求三角形

　
O


即学即练
1、勾股定理的应用（HL）；
2、如何在数轴上作出表示无理数的点.
归纳小结
我们已经站在了人生的起跑线上，为了实现心中的远大目标，我们正努力拼搏着。成功属于不畏困难、勇往直前的人。相信自己！
教师寄语

通过本课学习，你收获了什么？
课后作业：

完成教科书中相关练习题。