人教版八年级数学 下册 17.2 勾股定理逆定理 课件（2课时，共45张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学 下册 17.2 勾股定理逆定理 课件（2课时，共45张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 843.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-03 15:45:15 | ||
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文档简介
(共45张PPT)
社会犹如一条船，每个人都要有掌舵的准备.
—— 易卜生
17.2 勾股定理逆定理
人教版八年级数学 下册
目标导航
1.探究勾股定理的逆定理及二者关系。
2.得出逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。
3.应用勾股定理的逆定理解决实际问题。
目标导航一
勾股定理逆定理
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
题设（条件）：直角三角形的
两直角边长为a，b，斜边长为c ．
结论：a2+b2=c2．
问题1 回忆勾股定理的内容．
形
数
复习回顾
思考 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是否是直角三角形？
逆向思考
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长
绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间
距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，
其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果三角形的三边分别
为3，4，5，这些数满足
关系：32+42=52，围成的
三角形是直角三角形．
逆向思考
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的 平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm）， 它们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．
（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角 的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
实验操作
A1
B1
C1
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
？
三角形全等
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
a
证明结论
作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形．
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
形成定理
知识点一 勾股定理的逆定理
画△ABC，使①a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm；
②a＝2.5cm，b＝6cm，c＝6.5cm；
③a＝4cm，b＝7.5cm，c＝8.5cm.
以上a、b、c的关系都满足__________；
△ABC是________ 三角形.
a2+b2=c2
直角
认真阅读课本第31至32页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.
自主研学
知识点一 勾股定理的逆定理
结论：命题2（勾股定理的逆定理）
如果三角形的三边长a、b、c，满足 ，
那么这个三角形是 三角形.
直角
自主研学
如果三条线段长a、b、c满足 ，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
解：
根据题意，因为三角形的三边长度a、b、c满足a2＋b2＝c2 ，则根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
即学即练
知识点二 证明勾股定理的逆定理
已知：△ABC的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2. 求证：∠C＝90°.
合作探究
知识点二 证明勾股定理的逆定理
证明：作Rt△A′B′C′,使∠C′＝ 90°，B′C′＝ BC ＝ a, A′C′＝ AC ＝ b.
∵A'B'2=B'C'2+A'C'2= ________＝____
∴A'B' =_______
在△ABC和△A'B'C'中
________________________
________________________
________________________
AB=A'B'
AC=A'C'
BC=B'C'
∴_________≌________（SSS）
∴∠C=_______=90°.
BC2+AC2
AB2
AB
∠ C'
△ABC
△ A'B'C'
合作探究
知识点三 勾股定理的逆定理的运用
例1 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a＝15,b＝8,c＝17.
（2）a＝13,b＝14,c＝15.
解：（1）因为152+82= __________= _____
172=_____
所以 + = ，
根据________________，这三角形是直角三角形.注：像8,15,17这样能够成为_____________ ________的三个__ ____，称为勾股数
225+64
289
289
152
82
172
勾股定理的逆定理
直角三角形三
条边长
正整数
合作探究
知识点三 勾股定理的逆定理的运用
例1 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a＝15,b＝8,c＝17.
（2）a＝13,b＝14,c＝15.
(2）因为132+142= ___________= _____
152=_____
所以 + ≠ ，
根据_______ _______，这个三角形不是直角三角形.
169+16
185
225
132
42
152
勾股定理的逆定理
合作探究
1、下列四组数中：
①1、、2；②32，42，52 ；③9，40，41；④3k、4k、5k（k为正整数）.
属于勾股数的有__________(填序号).
③④
即学即练
（1）a=7，b=24，c=25（2）a= ，b=4，c=5
（3）a= ，b=1，c= （4）a=40，b=50，c=60.
解：(1)因为a2+b2=49+576=625，
c2=252=625 a2+b2=c2
所以，根据勾股定理的逆定理，
a、b、c组成的三角形是直角三角形
即学即练
2、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(2)因为b2+c2=16+25=41， a2=41
b2+c2=a2
所以，根据勾股定理的逆定理，a、b、c组成的三角形是直角三角形
解：(3)因为c2+b2=
a2= ， c2+b2=a2
所以，根据勾股定理的逆定理，a、b、c组成的三角形是直角三角形
解：(4)因为a2+b2=1600+2500=4100， c2=3600 ， a2+b2≠c2
所以，根据勾股定理的逆定理，a、b、c组成的三角形不是直角三角形
勾股定理的逆定理：
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么a2+b2=c2．
归纳小结
正整数
能够成为直角三角形三条边长的三个____________，称为勾股数.
目标导航二
勾股定理逆定理的应用
1、命题1（勾股定理） 如果直角三角形的两
条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
__________.
a2+b2=c2
2、命题2（勾股定理的逆定理）
如果三角形的三边长a、b、c，满足
那么这个三角形是 ___________ 三角形.
a2+b2=c2
直角
理论梳理
认真阅读课本第31至33页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.
原命题、逆命题和逆定理
自主研学
1、上面命题1与命题2的题设和结论正好______.像这样的两个命题叫做_____，命题;如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的__________.
相反
互逆
逆命题
2、一般地，原命题成立时，它的逆命题
既可能成立，也可能不成立.如果一个定理
的逆命题经过证明是_______________，
那么它也是一个定理，我们称这两个定理
互为逆定理.
正确的
合作探究
定理与逆定理
我们已经学习过哪些互逆的定理?
（1）任何一个命题都有逆命题；
原命题与逆命题的关系是题设和结论相互转换
（2）原命题正确，逆命题不一定正确；原命题不正确，逆命题可能正确。
（3）一个定理未必有逆定理。
（1）等腰三角形的两底角相等
原命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两底角相等。
逆命题：如果一个三角形的两底角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
写出下列命题的逆命题并判断它们是否成立:
（2）两直线平行，同位角相等
原命题：如果两条直线平行，那么同位角相等。
逆命题：如果同位角相等，那么两直线平行。
（3）三内角之比为1:2:3的三角形为
直角三角形
原命题：如果一个三角形三内角之比为1：2：3，
那么这个三角形是直角三角形。
逆命题：如果一个三角形是直角三角形，
那么这个三角形三内角之比为1：2：3。
1、说出下列命题的逆命题.这些逆命题
成立吗？
⑶全等三角形的对应角相等；
⑷在角的内部，到角的两边距离相等的点
在角的平分线上.
答：逆命题为：对应角相等的三角形全等 。
不成立
答：逆命题为：在角平分线上的点到角的两
边距离相等。 成立
即学即练
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命
题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
（2）对顶角相等；
逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的
垂直平分线上．真命题．
任何一个命题都有逆
命题；原命题是真命题，其
逆命题不一定是真命题．
即学即练
例1 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，
CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13，
∴ AC2+CD2=52+122=169．
又∵ AD2=132=169，
即 AC2+CD2=AD2，
∴ △ACD是直角三角形．
∴ 四边形ABCD的面积为 ．
A
B
C
D
合作探究
1、已知2条线段的长分别为3cm的长为_______cm时，这3条线段能组成一个直角三角形.
即学即练
2、A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？
即学即练
3、小明向东走80米后，沿另一方向
又走了60米，再沿第三个方向走100
米回到原地.小明向东走80米后是向哪
个方向走的？
解：根据题意得： ∵802+602=1002
∴小明行走的轨迹，是直角三角形.
∴小明向东走80米后是向南或向北走的。
即学即练
4、一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,你说这个零件符合要求吗?
即学即练
解：∵32+42=52,52+122=132；
即AD2+AB2=BD2，BD2+BC2=DC2;
∴∠A和∠DBC都是直角
∴这个零件符合要求.
即学即练
问题 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了
像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大
家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什
么关系？
追问1 类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否
也是勾股数？如何验证？
追问2 通过对以上勾股数的研究，你有什么样的
猜想？
即学即练
问题 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了
像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大
家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什
么关系？
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck
（k为正整数)也是一组勾股数．
拓展练习
1、勾股定理的逆定理是判定
______________________的一个依据.
一个三角形是不是直角三角形
2、互逆命题：两个命题的题设和结论正
好相反.像这样的叫做 _________.如果把
其中一个叫做原题，那么另一个叫做它的
__________.
互逆命题
逆命题
3、如果一个定理的逆命题经过证明是正
确的，那么它也是一个定理，我们称这
两个定理_________
互为逆命题
归纳小结
我们已经站在了人生的起跑线上，为了实现心中的远大目标，我们正努力拼搏着。成功属于不畏困难、勇往直前的人。相信自己！
教师寄语
通过本课学习，你收获了什么？
课后作业：
完成教科书中相关练习题。
社会犹如一条船，每个人都要有掌舵的准备.
—— 易卜生
17.2 勾股定理逆定理
人教版八年级数学 下册
目标导航
1.探究勾股定理的逆定理及二者关系。
2.得出逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。
3.应用勾股定理的逆定理解决实际问题。
目标导航一
勾股定理逆定理
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
题设（条件）：直角三角形的
两直角边长为a，b，斜边长为c ．
结论：a2+b2=c2．
问题1 回忆勾股定理的内容．
形
数
复习回顾
思考 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是否是直角三角形？
逆向思考
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长
绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间
距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，
其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果三角形的三边分别
为3，4，5，这些数满足
关系：32+42=52，围成的
三角形是直角三角形．
逆向思考
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的 平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm）， 它们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．
（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角 的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
实验操作
A1
B1
C1
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
？
三角形全等
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
a
证明结论
作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形．
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
形成定理
知识点一 勾股定理的逆定理
画△ABC，使①a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm；
②a＝2.5cm，b＝6cm，c＝6.5cm；
③a＝4cm，b＝7.5cm，c＝8.5cm.
以上a、b、c的关系都满足__________；
△ABC是________ 三角形.
a2+b2=c2
直角
认真阅读课本第31至32页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.
自主研学
知识点一 勾股定理的逆定理
结论：命题2（勾股定理的逆定理）
如果三角形的三边长a、b、c，满足 ，
那么这个三角形是 三角形.
直角
自主研学
如果三条线段长a、b、c满足 ，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
解：
根据题意，因为三角形的三边长度a、b、c满足a2＋b2＝c2 ，则根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
即学即练
知识点二 证明勾股定理的逆定理
已知：△ABC的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2. 求证：∠C＝90°.
合作探究
知识点二 证明勾股定理的逆定理
证明：作Rt△A′B′C′,使∠C′＝ 90°，B′C′＝ BC ＝ a, A′C′＝ AC ＝ b.
∵A'B'2=B'C'2+A'C'2= ________＝____
∴A'B' =_______
在△ABC和△A'B'C'中
________________________
________________________
________________________
AB=A'B'
AC=A'C'
BC=B'C'
∴_________≌________（SSS）
∴∠C=_______=90°.
BC2+AC2
AB2
AB
∠ C'
△ABC
△ A'B'C'
合作探究
知识点三 勾股定理的逆定理的运用
例1 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a＝15,b＝8,c＝17.
（2）a＝13,b＝14,c＝15.
解：（1）因为152+82= __________= _____
172=_____
所以 + = ，
根据________________，这三角形是直角三角形.注：像8,15,17这样能够成为_____________ ________的三个__ ____，称为勾股数
225+64
289
289
152
82
172
勾股定理的逆定理
直角三角形三
条边长
正整数
合作探究
知识点三 勾股定理的逆定理的运用
例1 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a＝15,b＝8,c＝17.
（2）a＝13,b＝14,c＝15.
(2）因为132+142= ___________= _____
152=_____
所以 + ≠ ，
根据_______ _______，这个三角形不是直角三角形.
169+16
185
225
132
42
152
勾股定理的逆定理
合作探究
1、下列四组数中：
①1、、2；②32，42，52 ；③9，40，41；④3k、4k、5k（k为正整数）.
属于勾股数的有__________(填序号).
③④
即学即练
（1）a=7，b=24，c=25（2）a= ，b=4，c=5
（3）a= ，b=1，c= （4）a=40，b=50，c=60.
解：(1)因为a2+b2=49+576=625，
c2=252=625 a2+b2=c2
所以，根据勾股定理的逆定理，
a、b、c组成的三角形是直角三角形
即学即练
2、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(2)因为b2+c2=16+25=41， a2=41
b2+c2=a2
所以，根据勾股定理的逆定理，a、b、c组成的三角形是直角三角形
解：(3)因为c2+b2=
a2= ， c2+b2=a2
所以，根据勾股定理的逆定理，a、b、c组成的三角形是直角三角形
解：(4)因为a2+b2=1600+2500=4100， c2=3600 ， a2+b2≠c2
所以，根据勾股定理的逆定理，a、b、c组成的三角形不是直角三角形
勾股定理的逆定理：
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么a2+b2=c2．
归纳小结
正整数
能够成为直角三角形三条边长的三个____________，称为勾股数.
目标导航二
勾股定理逆定理的应用
1、命题1（勾股定理） 如果直角三角形的两
条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
__________.
a2+b2=c2
2、命题2（勾股定理的逆定理）
如果三角形的三边长a、b、c，满足
那么这个三角形是 ___________ 三角形.
a2+b2=c2
直角
理论梳理
认真阅读课本第31至33页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.
原命题、逆命题和逆定理
自主研学
1、上面命题1与命题2的题设和结论正好______.像这样的两个命题叫做_____，命题;如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的__________.
相反
互逆
逆命题
2、一般地，原命题成立时，它的逆命题
既可能成立，也可能不成立.如果一个定理
的逆命题经过证明是_______________，
那么它也是一个定理，我们称这两个定理
互为逆定理.
正确的
合作探究
定理与逆定理
我们已经学习过哪些互逆的定理?
（1）任何一个命题都有逆命题；
原命题与逆命题的关系是题设和结论相互转换
（2）原命题正确，逆命题不一定正确；原命题不正确，逆命题可能正确。
（3）一个定理未必有逆定理。
（1）等腰三角形的两底角相等
原命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两底角相等。
逆命题：如果一个三角形的两底角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
写出下列命题的逆命题并判断它们是否成立:
（2）两直线平行，同位角相等
原命题：如果两条直线平行，那么同位角相等。
逆命题：如果同位角相等，那么两直线平行。
（3）三内角之比为1:2:3的三角形为
直角三角形
原命题：如果一个三角形三内角之比为1：2：3，
那么这个三角形是直角三角形。
逆命题：如果一个三角形是直角三角形，
那么这个三角形三内角之比为1：2：3。
1、说出下列命题的逆命题.这些逆命题
成立吗？
⑶全等三角形的对应角相等；
⑷在角的内部，到角的两边距离相等的点
在角的平分线上.
答：逆命题为：对应角相等的三角形全等 。
不成立
答：逆命题为：在角平分线上的点到角的两
边距离相等。 成立
即学即练
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命
题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
（2）对顶角相等；
逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的
垂直平分线上．真命题．
任何一个命题都有逆
命题；原命题是真命题，其
逆命题不一定是真命题．
即学即练
例1 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，
CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13，
∴ AC2+CD2=52+122=169．
又∵ AD2=132=169，
即 AC2+CD2=AD2，
∴ △ACD是直角三角形．
∴ 四边形ABCD的面积为 ．
A
B
C
D
合作探究
1、已知2条线段的长分别为3cm的长为_______cm时，这3条线段能组成一个直角三角形.
即学即练
2、A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？
即学即练
3、小明向东走80米后，沿另一方向
又走了60米，再沿第三个方向走100
米回到原地.小明向东走80米后是向哪
个方向走的？
解：根据题意得： ∵802+602=1002
∴小明行走的轨迹，是直角三角形.
∴小明向东走80米后是向南或向北走的。
即学即练
4、一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,你说这个零件符合要求吗?
即学即练
解：∵32+42=52,52+122=132；
即AD2+AB2=BD2，BD2+BC2=DC2;
∴∠A和∠DBC都是直角
∴这个零件符合要求.
即学即练
问题 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了
像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大
家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什
么关系？
追问1 类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否
也是勾股数？如何验证？
追问2 通过对以上勾股数的研究，你有什么样的
猜想？
即学即练
问题 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了
像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大
家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什
么关系？
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck
（k为正整数)也是一组勾股数．
拓展练习
1、勾股定理的逆定理是判定
______________________的一个依据.
一个三角形是不是直角三角形
2、互逆命题：两个命题的题设和结论正
好相反.像这样的叫做 _________.如果把
其中一个叫做原题，那么另一个叫做它的
__________.
互逆命题
逆命题
3、如果一个定理的逆命题经过证明是正
确的，那么它也是一个定理，我们称这
两个定理_________
互为逆命题
归纳小结
我们已经站在了人生的起跑线上，为了实现心中的远大目标，我们正努力拼搏着。成功属于不畏困难、勇往直前的人。相信自己！
教师寄语
通过本课学习，你收获了什么？
课后作业：
完成教科书中相关练习题。