北师大版九年级数学下册1．4解直角三角形教案

1．4解直角三角形
教学目标：
1．了解解直角三角形的意义，知道三角形的六个要素．
2．掌握解直角三角形所用的边角关系，能适当地选择锐角三角函数解直角三角形．
3．培养观察、分析、概括和转化的能力，提高运算能力．
教学重点与难点：
重点：解直角三角形．
难点：灵活运用锐角三角函数解直角三角形．
课前准备：教材、笔记本、课堂练习本、多媒体课件．
教学过程
一、情景导入，明确目标
活动内容1：情境导入
今天来到学校，我发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在墙壁上，严重影响了同学们的行走安全．我将拖把挪动位置，使其倾斜角为75°，如果拖把的总长为1．80m，你能帮助我算一下我拓宽了行路通道多少米吗？
处理方式：老师提出问题，拿一个拖把边说边演示，让学生体会、讨论、交流，进而引入新课，和学生一块走进直角三角形的世界，去解决有关直角三角形的问题 ，并板书课题．
设计意图：从学生熟悉的生活例子入手，激发学生学习的兴趣，吸引学生的眼球，让学生快速的投入到课堂中来，并且让学生来帮助老师解决问题，给学生以成功的体验．亲身示范，把问题化难为易，为后面解决这个问题做好铺垫．
活动内容2：明确目标
1．了解解直角三角形的意义，知道三角形的六要素．
2．掌握解直角三角形所用的边角关系，能适当地选择锐角三角函数解直角三角形．
设计意图：使学生做到心中有数，整堂课做到有的放矢．
二、自主学习，合作探究
探究活动1——解直角三角形的概念
在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
①三边之间关系，
②两锐角之间关系，
③边角之间关系。


总结：由直角三角形中已知的元素，求出__________________________，叫做解直角三角形．
处理方式：整个过程师生共同完成，教师问学生答，预计前两个问题学生会很快反应出来，学生齐答即可．第三个问题由个别学生说，预测学生会说：“sinA=，cosA=，tanA=，sinB=，cosB=，tanB=”教师可借此机会告诉学生它们之间的关系“sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=，tanB=”说得同时板书到黑板上，让学生进一步明确这两个锐角的三角函数的关系．最后老师抛出问题：a、b、c、∠A、∠B这五个元素，我们知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？学生分组讨论，给出各类情况，最后，学生总结出解直角三角形的定义并根据学生讨论出的问题过渡到探究活动2．
设计意图：直角三角形的三边关系和两角关系对学生来说张口就来，所以让学生齐答．对于第三个问题，估计学生会单独说出∠A、∠B的三角函数，教师可以在学生回答的基础上进行总结，这样可以渗透的互余两角三角函数存在的关系．由学生讨论得出各类情况主要让学生分析问题进而解决问题，给学生成功的体验，让学生在自己的发现中学到了新知识，体现了以生为本的理念．并且也自然而然的过渡到探究活动2．
探究活动2——解直角三角形
类型1：已知两边，解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c、且a=，b=，求这个三角形的其他元素．
类型2：已知一边和一锐角，解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c、且∠B=30°b=30，求这个三角形的其他元素．
处理方式：课堂上可以再给学生2分钟的时间讨论交流课下自己预习存在的问题，能够在小组自己解决的自己解决．2分钟后由两名学生讲解，讲解后其他学生若有不同解法，再加以补充，类型一预测学生可能会通过sinB来求∠B的度数，也可能会通过tanB来求∠B的度数让学生比较它们的优劣，学生能够得出最好选取tanB来算的原因，尽量选取原始数据而非中间数据．类型二的做法也很多，和类型一的处理方式一样，最后和学生一快总结出一般的解法和最优的解法．最后可引导学生总结出口诀：“有斜用弦，无斜用切，取原避中”的原则．
设计意图：这两种类型是解直角三角形的基本类型，主要由学生在预习的基础上小组交流，学生能自己解决的问题让学生自己解决，让他们体会学习给自己带来的快乐．让学生讲解主要是让学生学进去，讲出来，充分相信学生的能力，出现问题也不要紧，让同学们帮助来解决，让同学们在这种互帮互助中学到了知识，其乐融融．最后让学生去总结解决这两类问题的一般做法和最优解法．其意图是进一步锻炼学生的总结和反思的能力，数学只有在学生的不断反思中得到升华．
当堂训练：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c、根据下列条件求出直角三角形的其他元素．
⑴已知a=4，c=8 (2)已知∠B=60°，a=8 (3)已知c=20，∠A=45°
处理方式：这三道题找三名学生演做，其余同学在导学案上完成，学生做完后师生共评，针对学生出现的问题重点加以强调．
设计意图：这三道题是对上面两道题的巩固和补充，前面已知两边是两直角边，这里的第（1）题是一直角边和一斜边，前面的已知一角和一边的是一锐角和它的对边，这里的第（2）题已知的是一锐角和它的邻边，这里的第（3）题已知的是一锐角和斜边，主要让学生多角度去训练学生，进而形成分析问题解决问题的能力．
探究活动3——我来问，你来答
活动内容：师生做游戏，游戏的名字是：“我来问，你来答”，一位学生提出直角三角形中的两个已知条件，由其余学生求出直角三角形中的其他未知元素（边、角）．
处理方式：师生共同完成，先有教师提问一名学生，然后由这名学生继续提问，再找一名学生回答，如此继续下去．教师可先提一名比较优秀的学生做个表率，先由教师问，这名学生答，教师可问：a=5，c=10，预测学生会很快答出b=5，∠A=30°，∠B=60°有了这名学生的示范，学生有了信心，然后有这名同学接着提问，再选一名同学回答，如此循环下去……．
设计意图：在例题和即时练习处理完的基础上，加入这个游戏环节，其主要目的一是活跃气氛，引入竞争机制，激励学生人人都争做最优秀的那个；二是相信学生经过前面的学习，一定学得不错，给他们一个展现自我的平台，让他们知道自己其实很优秀；三是在已经学会的基础上接受老师的提问，这实际上对孩子是一种很好的锻炼，锻炼他们快速反应的能力，实际上也是对解题能力的一种提高．
探究活动4——解直角三角形的应用
活动内容1：长为4米的梯子搭在墙上与地面成60°角，
则此时梯子的顶端距离地面多少米？


活动内容2：如图，东西两炮台A、B相距2000米，
同时发现入侵敌舰C，炮台 A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，
炮台B测得敌舰C在它的正南方，
试求敌舰与两炮台的距离．

活动内容3：通过上面的学习，你能解决引例中的问题了吗？
今天来到我们学校，我发现在教学楼走廊上有一拖把
以15°的倾斜角斜靠在墙壁上，严重影响了同学们的
行走安全．我将拖把挪动位置，使其倾斜角为75°，
如果拖把的总长为1．80m，你能帮助我算一下我拓宽了
行路通道多少米吗？
（结果保留三位有效数字，参考数据sin15°≈026，cos15°≈097）
处理方式：这里有三个实际问题，第一个问题比较简单，先由学生独立完成，多媒体展示学生的做法即可，最后由学生总结做此类问题应注意的问题．
第二个问题指导学生先画出草图，在思考的基础上，在小组内交流自己的解题思路，在交流的基础上，鼓励学生发言讲述各自的解法，教师给予激励性评价．在学生阐述自己的解题过程中，教师提问“为什么选择这个关系式？”剖析解决问题的关键，即两个已知与一个未知之间的关系式．从而理清解直角三角形的思路。学生讨论得出各法．预设学生的解法为：
解法1：在Rt△ABC中，因为∠CAB＝90°－∠DAC＝50°，
tan∠CAB＝BC/AB， COS∠CAB=AB/AC．
所以BC＝AB·tan∠CAB＝2000×tan50°，
AC＝AB/COS∠CAB＝2000/COS50°
解法2：可以先求出∠C为40°，因为tan∠C=AB/AC，然后求出BC＝2000/tan50°，进一步根据勾股定理得：AC=。
师又问：以上两种解法皆可，请观察，哪一种的结果更精确些呢？
分析比较，得出——使用题目中原有的条件，尽量不使用除法，可使结果更精确。
第三个问题是引例中的问题，学生的兴趣应该比较大， 师生共同讨论如何解决这个问题．预测学生解决这个问题的方法比较多，估计会有以下做法：（1）在Rt△ABC中运用余弦求出BC，再在Rt△CDE中运用正弦求出CD，BC-CD即可求出BD(2)运用全等把CD转化为AC，进而只解Rt△ABC即可．在这道问题的处理上，让学生各抒己见，发表自己的看法，进而达到整堂课的高潮．
设计意图：数学来源于生活，又应用于生活，这里我设计了两道生活中的数学问题，第一个问题比较简单，主要是从简单的问题入手，让学生学会怎样在实际问题中抽象出数学模型，进而提高学生分析问题解决问题的能力．第二个问题主要训练学生的作图能力的同时，进一步渗透“数学建模”的思想；第三个问题是引例中的问题，引导学生去解决，学生比较有兴趣，帮助老师解决问题比较兴奋．对于这道题的处理要挖深一些，可以一题多解，也可以引导学生转化问题，比如，在解Rt△CDE时求CD时用cos75°也可以解，但题目中并没有给出怎么办呢？引导学生想办法解决，可以根据互余两角的三角函数关系转化为sin15°．在这里渗透数学思想方法的教学．还有结果让学生保留三位有效数字主要达到复习旧知的目的．
三、归纳总结，拓展提高
活动内容：通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些困惑？
处理方式：这个环节主要由学生发表观点为主，无论学生说它的收获是什么，老师都给予肯定，每个学生的收获肯定会有不同，多提几个学生谈谈，本堂课的知识点和数学思想方法都会展现出来，相信我的学生们．
设计意图：使学生对所学知识有一个完整而深刻的印象学生先回答，老师归纳总结，体现“学生为主体，教师为主导”的教学思想学生回顾探究的整个过程，体会学习的成果，感受成功的喜悦，产生后继学习的激情
四、达标检测，应用提升
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c、根据下列条件求出直角三角形的其他元素．
(1)已知a=6，b=6 (2)已知a=36，∠B=30°

2．在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=，
求BC的长．


处理方式：在导学案自主完成，教师认真巡查对于第1题学生完成后教师出示答案，学生互换批改，然后更正；对于第2题，有能力的同学解答并讲解．
设计意图:必做题要求学生在8分钟内完成，规定时间和内容，一方面可以了解学生对本节课所学习内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速、准确解决问题的能力．促进对学习及时进行反思，为教师全面了解学生的学习状况，改进教学，实施因材施教提供重要依据初三的教学不同于初一初二，让学生看一看中考的题目是什么样子的，不要让他们感觉中考那么神秘，那么可怕，让学生树立信心，若有时间，可以把这道题进行变式，若知道BC=+1，求AC呢?这样的话，直接解就解不出来，怎么办呢？引导学生建立方程解决问题，进而有渗透方程的数学思想．让学生体会运用方程来解决一些几何问题，往往会收到事半功倍的效果．



板书设计：
1．4 解直角三角形
一、直角三角形⑴三边：⑵三角：⑶边角： 二、典例分析1．类型1：已知两边 解直角三角形2．类型2：已知一边和一锐角 解直角三角形 学生练习区达标测试





C

B

D

A

E