人教新课标A版选修4-4第二章 参数方程 曲线的参数方程(共38张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修4-4第二章 参数方程 曲线的参数方程(共38张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-05 22:18:51 | ||
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文档简介
(共38张PPT)
某救援飞机给灾区投放救援物，已知飞机离地面有500米，飞机以100m/s的速度作水平直线运动，为事救援物准确落于灾区指定地面，飞行员应如何确定投放时机呢？
导入新课
由物理知识可知，物资投
出机舱后的运动轨迹如图，
它是这两种运动的合成：
（1）沿OX方向以的速度作匀速直线运动；
（2）沿OY反方向作自由落体运动.
物资出舱后，在时刻t，水平方向的位移x=100t，
离地面的高度y=500-（1/2）gt2,
即：x=100t
y=500-（1/2）gt2
在t的取值范围内，给定t的值，就能确定 x，y的值，即：当t确定时，点M的位置就确定.
由上所述，公式
可以确定物资投放后的每一个时刻的位置，还可以确定物资投放的时机.
x=100t
y=500-（1/2）gt2
一般地，在平面直角坐标系中如果
曲线上任意一点的坐标x 、y都是某个变数t 的函数，
即：
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组 就叫做这条曲线的参数方程.联系x、y变数t叫做参变数，简称参数.
参数方程与普通方程的同异点
（1）普通方程F（x,y）=0直接给出了曲线上点x, y的坐标之间的关系，由于一个方程中含有两个变量，因此自由变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值,都可以由方程F（x,y）=0确定另一个变量的值；
1.已知曲线C的参数方程是
x=3t,
y=2t2+1 （t为参数）
（1）判断点M1（0,1）,M2（5,4）与曲线C的位置关系；
（2）已知点M1（6，a）在曲线C上，求a的值.
解:（1）把点M1（0，1）的坐标代入方程组中，得t=0，所以点M1在曲线C上；同理，把点M2（5，4）代入方程组中,得
5=3t 此方程组无解，即点不在曲线上.
4=2t2+1
（2）因为点M2（6，a）在曲线C上，
所以: 6=3t
a=2t2+1 解得t=2,a=9
上节课我们学习了参数方程的概念，也了解参方程和普通方程的同异之处.现在大家来想想：圆心在原点半径为r的圆，我们用什么样的参数方程去表示它呢？
导入新课
并且对于 的每一个允许值,由
方程组①所确定的点P（x,y）在圆O上.
我们把方程组①叫做圆心在原点、
半径为 r的圆的参数方程，为参数.
2.已知点P是圆上的一个动点，该圆的半径为4，点Q（12,0）是X轴上的一定点，当点P在圆上运动时，求线段PQ的中点M的轨迹.
解：设点M的坐标为 ，点P的坐标为 ，取 ，圆O的参数方程为：
（ 为参数）
（1）
又因为点M是线段PQ的中点，点P的
坐标为 ,点Q的坐标为Q（12,0） ，
根据线段的中点坐标公式得：
（2）
连立（1）（2）式，解得：
3.已知圆的直径AB上有两点C,D，|AB|=10， |AC|=|BD|=4,P为圆上一点， 求|PC|+|PD|的最大值.
解：如图建立直角坐标系，因为
|AB|=10，所以圆的参数方程为
（ 为参数）
因为|AC|=|BD|=4,所以C,D的坐标为 C（-1,0）, D（1,0）
因为点P在圆上，所以可求得点P的坐标为：
所以，
当 时，
所以 的最大值为 .
你能由以下参数方程
直观地看出此方程代表的是什么类型的曲线吗？
动动脑哦...
导入新课
似乎直接判断该方程代表的曲线类型并 不容易，但如果将参数方程转化为我们熟悉的普通方程，即：
现在，我们可以很直观地看出该方程
代表的曲线是圆心 ，半径为1的圆 .
（圆心随a的变化而移动）
将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型.
1.把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线.
（1） x=3-2t,
y=-1-4t （t为参数）
（2） x=t+1/t
y=t-1/t （t为参数）
解:（1）由x=3-2t,得
将此式代入y=-1-4t ，得y=-7+2x,
即2x-7-y=0（直线）
（2）由x=t+1/t， y=t-1/t 得
所以
（双曲线）
为常数,
化为普通方程：
（1）
2.分别在下列两种情况下， 把参数方程
（2） 为常数， 为参数
为参数
解:（1）当 时，
即 ，当 时，
而
即
，
（2）当 时， ，
即
当 时， ，
即
当 时，得
，
即：
得
即：
将参数方程化为普通方程的常用方法有：
（1）代入法，先由一个方程求出参数的
表达式（用直角坐标变量表示），
再代入另一个方程.（如例1）
（2）利用代数或三角函数中的恒等式
消去参数，例如对于参数方程
如果 是常数， 是参数，
那么可以利用公式 ；
如果 是常数， 是参数，
那么适当变形后可以利用
1.已知动圆方程
为参数），那么圆心的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.椭圆的一部分
C.抛物线 D.抛物线的一部分
解：圆心轨迹的参数方程为：
消去参数得 ：
D
课堂练习
2.把方程 化为以 为参数的参数
方程是（ ）
A B C D
D
3.长为3a的线段的端点分别在x、y轴上滑动，
M为AB的一个三等分点，则M的轨迹方程是
___________________（提示：利用等分比公式）
（2019 广东卷）
若直线 （ 为参数）与
直线 （ 为参数）垂直，则
___ .
.
解： ，得
高考链接
（2016年全国高考题）点P（1,0）到
曲线
（其中参数t∈R）
上的点的最短距离为（ ）
A、0 B、1 C、 D、2
解：消去参数t，知曲线为开口向右的
抛物线y2=4x，知点P（1,0）恰是抛物线的焦点，
设M（x0，y0）是抛物线上任一点，
由焦半径公式得，|PM|=1+x0≥1，即当M在
原点时，最短距离为1，故选B.
B
1.解：取投放点为原点，飞机飞行航线所在直线为X轴，过原点和地心的直线为Y轴建立平面直角坐标系，得到被投放物资的轨迹方程为：
（t是参数，表示时间）
令 解得 ，当 时，
由方程得到
即飞机投放救灾物资时飞机高度约为490m
教材习题答案
2.解：设经过时间t,动点的位置是
M（x,y）,那么：x-2=3t，y-1=4t
于是点M的轨迹方程的参数为：x=2+3t,
y=1+4t
3.解：不妨设的外接圆的半径为1，建立如图
平面直角坐标系，使点B,C关于X轴
对称，那么外接圆的参数方程是：
A
B
C
O
（t为参数）
（θ为参数）
A,B,C的坐标分别为（1，0），
设点M ，则
4.解：（1） 直线；
（2） 以
为端点的一段抛物线弧
（3） 双曲线
5.解（1） （ 为参数）
（2） （ 为参数）
某救援飞机给灾区投放救援物，已知飞机离地面有500米，飞机以100m/s的速度作水平直线运动，为事救援物准确落于灾区指定地面，飞行员应如何确定投放时机呢？
导入新课
由物理知识可知，物资投
出机舱后的运动轨迹如图，
它是这两种运动的合成：
（1）沿OX方向以的速度作匀速直线运动；
（2）沿OY反方向作自由落体运动.
物资出舱后，在时刻t，水平方向的位移x=100t，
离地面的高度y=500-（1/2）gt2,
即：x=100t
y=500-（1/2）gt2
在t的取值范围内，给定t的值，就能确定 x，y的值，即：当t确定时，点M的位置就确定.
由上所述，公式
可以确定物资投放后的每一个时刻的位置，还可以确定物资投放的时机.
x=100t
y=500-（1/2）gt2
一般地，在平面直角坐标系中如果
曲线上任意一点的坐标x 、y都是某个变数t 的函数，
即：
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组 就叫做这条曲线的参数方程.联系x、y变数t叫做参变数，简称参数.
参数方程与普通方程的同异点
（1）普通方程F（x,y）=0直接给出了曲线上点x, y的坐标之间的关系，由于一个方程中含有两个变量，因此自由变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值,都可以由方程F（x,y）=0确定另一个变量的值；
1.已知曲线C的参数方程是
x=3t,
y=2t2+1 （t为参数）
（1）判断点M1（0,1）,M2（5,4）与曲线C的位置关系；
（2）已知点M1（6，a）在曲线C上，求a的值.
解:（1）把点M1（0，1）的坐标代入方程组中，得t=0，所以点M1在曲线C上；同理，把点M2（5，4）代入方程组中,得
5=3t 此方程组无解，即点不在曲线上.
4=2t2+1
（2）因为点M2（6，a）在曲线C上，
所以: 6=3t
a=2t2+1 解得t=2,a=9
上节课我们学习了参数方程的概念，也了解参方程和普通方程的同异之处.现在大家来想想：圆心在原点半径为r的圆，我们用什么样的参数方程去表示它呢？
导入新课
并且对于 的每一个允许值,由
方程组①所确定的点P（x,y）在圆O上.
我们把方程组①叫做圆心在原点、
半径为 r的圆的参数方程，为参数.
2.已知点P是圆上的一个动点，该圆的半径为4，点Q（12,0）是X轴上的一定点，当点P在圆上运动时，求线段PQ的中点M的轨迹.
解：设点M的坐标为 ，点P的坐标为 ，取 ，圆O的参数方程为：
（ 为参数）
（1）
又因为点M是线段PQ的中点，点P的
坐标为 ,点Q的坐标为Q（12,0） ，
根据线段的中点坐标公式得：
（2）
连立（1）（2）式，解得：
3.已知圆的直径AB上有两点C,D，|AB|=10， |AC|=|BD|=4,P为圆上一点， 求|PC|+|PD|的最大值.
解：如图建立直角坐标系，因为
|AB|=10，所以圆的参数方程为
（ 为参数）
因为|AC|=|BD|=4,所以C,D的坐标为 C（-1,0）, D（1,0）
因为点P在圆上，所以可求得点P的坐标为：
所以，
当 时，
所以 的最大值为 .
你能由以下参数方程
直观地看出此方程代表的是什么类型的曲线吗？
动动脑哦...
导入新课
似乎直接判断该方程代表的曲线类型并 不容易，但如果将参数方程转化为我们熟悉的普通方程，即：
现在，我们可以很直观地看出该方程
代表的曲线是圆心 ，半径为1的圆 .
（圆心随a的变化而移动）
将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型.
1.把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线.
（1） x=3-2t,
y=-1-4t （t为参数）
（2） x=t+1/t
y=t-1/t （t为参数）
解:（1）由x=3-2t,得
将此式代入y=-1-4t ，得y=-7+2x,
即2x-7-y=0（直线）
（2）由x=t+1/t， y=t-1/t 得
所以
（双曲线）
为常数,
化为普通方程：
（1）
2.分别在下列两种情况下， 把参数方程
（2） 为常数， 为参数
为参数
解:（1）当 时，
即 ，当 时，
而
即
，
（2）当 时， ，
即
当 时， ，
即
当 时，得
，
即：
得
即：
将参数方程化为普通方程的常用方法有：
（1）代入法，先由一个方程求出参数的
表达式（用直角坐标变量表示），
再代入另一个方程.（如例1）
（2）利用代数或三角函数中的恒等式
消去参数，例如对于参数方程
如果 是常数， 是参数，
那么可以利用公式 ；
如果 是常数， 是参数，
那么适当变形后可以利用
1.已知动圆方程
为参数），那么圆心的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.椭圆的一部分
C.抛物线 D.抛物线的一部分
解：圆心轨迹的参数方程为：
消去参数得 ：
D
课堂练习
2.把方程 化为以 为参数的参数
方程是（ ）
A B C D
D
3.长为3a的线段的端点分别在x、y轴上滑动，
M为AB的一个三等分点，则M的轨迹方程是
___________________（提示：利用等分比公式）
（2019 广东卷）
若直线 （ 为参数）与
直线 （ 为参数）垂直，则
___ .
.
解： ，得
高考链接
（2016年全国高考题）点P（1,0）到
曲线
（其中参数t∈R）
上的点的最短距离为（ ）
A、0 B、1 C、 D、2
解：消去参数t，知曲线为开口向右的
抛物线y2=4x，知点P（1,0）恰是抛物线的焦点，
设M（x0，y0）是抛物线上任一点，
由焦半径公式得，|PM|=1+x0≥1，即当M在
原点时，最短距离为1，故选B.
B
1.解：取投放点为原点，飞机飞行航线所在直线为X轴，过原点和地心的直线为Y轴建立平面直角坐标系，得到被投放物资的轨迹方程为：
（t是参数，表示时间）
令 解得 ，当 时，
由方程得到
即飞机投放救灾物资时飞机高度约为490m
教材习题答案
2.解：设经过时间t,动点的位置是
M（x,y）,那么：x-2=3t，y-1=4t
于是点M的轨迹方程的参数为：x=2+3t,
y=1+4t
3.解：不妨设的外接圆的半径为1，建立如图
平面直角坐标系，使点B,C关于X轴
对称，那么外接圆的参数方程是：
A
B
C
O
（t为参数）
（θ为参数）
A,B,C的坐标分别为（1，0），
设点M ，则
4.解：（1） 直线；
（2） 以
为端点的一段抛物线弧
（3） 双曲线
5.解（1） （ 为参数）
（2） （ 为参数）