人教新课标A版选修4-4第二章 参数方程 圆锥曲线的参数方程(共35张PPT)

(共35张PPT)
前几节课我们学习了圆
的参数方程是 那么，对于椭圆

，它的参数方程用什么来表示呢？
导入新课
从几何变换的角度看，通过伸缩变换

椭圆 可以变成


圆 ，利用圆的参数方程

可以得到椭圆的参数方程为：
1.如图,以原点O为圆心，
分别以a,b（a>b >0）为半径，作两个同心圆，
点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作
，垂足为N.过点B作
，垂足为M，求当半径
OA绕点0旋转时,点M的
轨迹的参数方程.
解：设点M的坐标为（x,y）， 是以
为始边,OA为终边的正角，取 为参数.
那么,

即所求点M的轨迹参数方程为.


这是中心在原点O，焦点在X轴上的椭圆
2.求椭圆 上的点P到直线
的最大距离及此时P点的坐标.
解：由已知，可得椭圆的参数方程为
∵椭圆上的点

到直线 的距离


当
1.在椭圆 上求一点P,使P

到直线 的距离最小.
课堂练习
P的坐标为
类似于探究椭圆参数方程的方法我们
来探究双曲线

的参数方程.
导入新课
如图,以原点O为圆心，a,b（a>0,b>0）为半径
分别作同心圆C1,C2.
设A为圆C1上任意
一点，作直线OA,
过点A作圆C1的
切线 与X轴交于
点 ，过圆C2与
x轴的交点B作切线 与直线OA交于点 .
过点 分别作y轴,x轴的平行线
交于点M.
设OX为始边，
OA为终边的角为
，点M的坐
标为（x,y），那么
点 的坐标为（x,0）
点 的坐标为（b,y）.
因为点A在圆上，所以点A的坐标为
所以

因为
所以
从而
这是中心在原点，焦点在X轴上的双曲线，
通常规定参数 的范围是
且
1.设M为双曲线
上任意一点，O为原点，
过M作双曲线两渐渐线，
分别与两渐渐线交于A,B两点，
求平行四边形MAOB的面积，
由此得出什么结论？
y
解：双曲线的渐渐线方程为

设M为双曲线右支上一点，
其坐标为 ，
其直线MA的方程为

将 代入此方程，解得点A的横坐标为，
y
同理可得，点B的横坐标为

设 则
因此平行四边形MAOB的面积为



因此，平行四边形的面积恒为定值， 与点M在双曲线上的位置无关.
y
1.设双曲线 （a＞0,b＞0）

的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的

离心率等于（ ）

A、 B、2 C、 D、
C
课堂练习
2.求证：双曲线

上任一点P到两渐近线距离之积为定值
前面曾经得到以时刻t作参数的抛物线的参数方程:
（ 为参数且 ）

想想对于一般的抛物线，建立怎样相应的
参数方程呢？
导入新课
如图，设抛物线的普通方程
y=2px , P点表示焦点到
准线的距离,设M（x,y）为抛物线除顶点外的一点，以射线OM为终边的角记为
由三角函数 定义可得：
解得，

这就是抛物线的参数方程.
令 ，
则有,抛物线y2=2px的参数方程为
（ 为参数）
当t=0，此参数方程表示抛物线的顶点（0，0）,因此，当

此参数方程表示整条抛物线，参数t
表示抛物线上除顶点外的任意一点
与原点连线的斜率的倒数.
1.如图，
A,B是抛物
上异于顶点的两动点，
且 ,
并与AB相交于点M，
求点M的轨迹方程.
y
0
解：根据条件，设点M,A,B的坐标分别为


则

因为 所以
即
所以
（2019年全国）
1.已知椭圆 的右焦点为 ,
右准线为 ，点 ，线段 交C于点
若 ,则 =（ ）
A、 B、2
C、 D、3
A
解:过点B作 于M,并设右准线 与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,
故 .又由椭圆的第二定义,得:
,故选A
2.设双曲线 （a＞0,b＞0）的渐近

线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率
等于（ ）
A、 B、2 C、 D、
C
（2019年辽宁）
解：设切点 ，则切线的斜率为
.由题意有
又
解得, .
3.已知直线
与抛物线 相交于A,B两点，F为C
的焦点，若 则 （ ）
A、 B、 C、 D、
（2017年海南）
D
2017年（理工农医类）（北京卷）
4.已知双曲线 的离心率为

右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）设直线 是圆 上动点
处的切线，
与双曲线交于不同的两点 ，
证明的 大小为定值.
解:（Ⅰ）由题意，得，

解得，
∴ ,
∴所求双曲线的方程为
（Ⅱ）点 在圆 上，

圆在点 处的切线方程为

化简得
由
及
得，
∵切线 与双曲线C交于不同的两点A、B， 且，
∴ 且

设A、B两点的坐标分别为
则，


又
所以 的大小为90°
且