人教新课标A版选修4-4第二章 参数方程 渐开线与摆线(共30张PPT)

(共30张PPT)
把一条没有弹性的细绳绕在
一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅
笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲
线，这条曲线的形状怎样？
导入新课
y
我们来解决新课导入中的问题：
先分析动点（笔尖）所满
足的几何条件，如图所示，
设开始时绳子外端为 于点A，
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角是一
段弧AB，展开后成为切线BM，所以切线BM
的长就是弧AB的长，这是动点满足的条件，
我们把笔尖画出的曲线叫圆的渐开线，
相应的圆叫做渐开线的基圆.
）
根据动点的几何条件，设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x,y)，显然，点M由角 唯一确定.取 为参数，点B的坐标为
，从而：

由于向量 是与 同方向的单位相量，所以向量
与向量 同方向的单位向量，因此
即：
解得： （ 为参数）

这就是圆的渐开线的参数方程
渐开线的应用：在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力，由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形.设计这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程.
1.当 时，求出渐开线
上对于点A,B,并求出
点A,B间的距离.
解：将 分别代入
得到A,B两点的坐标是，


由两点间的距离公式得，
如果在自行车的轮子上喷一
个白色印记，那么当自行车在笔
直的道路上行驶时，白色印记会
画出什么样的曲线呢？
导入新课
我们来解决新课导入中的问题：
如下图，轮子在滚动过程中会形成如下图
形，设B为圆心，圆周上的定点为M,开始时
位于O处，圆在直线上滚动时，点M绕圆心
滚动作圆周运动，转过 角后，圆与直线
相切于点A，线段OA的长等于弧MA的长，
即OA=r ,
这就是圆周上定点M在圆B沿直线滚动
过程中满足的几何条件，我们把该曲线
的叫平摆线，简称摆线，又称旋轮线
x
y
根据题意建立如图
直角坐标系，设圆的半径为r，
设开始时定点M 在原点，
圆滚动了 后与x轴相切于点A，圆心在点B,
从点M分别作AB,x轴的垂线，垂足为C,D,设点M的
坐标为（x,y）取 为参数,依题意得
因此摆线的参数方程为

（ 为参数）
x
y
一、选择题（本题每小题7分，共42分）
1.曲线 与X轴交点的直角坐标为（ ）
2.直线 上对应两点间的距离为（ ）
课堂练习
3.直线 （t为参数）的倾斜角是（ ）
4.椭圆 （ 是参数的 两个交点的坐标是（ ）
5.直线 是参数被圆 截得的弦长是（ ）
6.在方程 （ 为参数）所表示的曲线
上的点是（ ）
二.填空题（每小题6分，共24分）
1.直线x+y=1的一个参数方程是____
2.椭圆 （ 为参数）的离心率为___
3.将参数方程 转化为直角坐标方
程是___，该曲线上的点与定点A(-1,-1)距离的最
小值是____
4.O是坐标原点，P是椭圆 （ 是参数）
上离心角为 所对应的点，那么直线OP
的倾斜角的正切值是______
三.解答题（本大题共2小题，每小题17 分）
1.已知直线L经过点P（1，1），倾斜角为
（1）写出直线的参数方程；
（2）设直线与圆 相交于两点A,B，
求点P 到A,B两点的距离之积。
2.圆的直径AB上有两点C,D，且
|AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为圆上一点，
求|PC|+|PD|的最大值.
一.选择题：
1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C
二.填空题：
1.
参考答案
三.解答题：
1.解：（1）直线的参数方程为
（ 是参数）
（2）因为点A,B都在直线上，可设对应的 参数分别t1,t2，则点A,B的坐标分别为


将直线的参数方程代入圆的方程
并整理得
因为t1,t2是方程的解,从而t1t2=-2, 所以
2.解：因为|AB|=10,所以圆的参数方程为
因为|AC|=|BD|=4，所以
C,D的坐标为:
因为点P在圆上,可设点P的坐标为
所以：
当 时


所以 最大值为
参 数 方 程
参数方程的概念
特殊曲线的到参数方程
参数方程与普通方程的互化
圆锥曲线的参数方程
直线的参数方程
渐开线与摆线的参数方程
本讲知识结构
1.解：因为基圆的直径是225cm，所以基圆的半径是112.5，AB所在的渐开线的参数方程是
（ 是参数）
2.解：将 分别代入


教材习题答案
得到A,B两点的坐标是，

由两点间的距离公式得，
3.解：设轮子的圆心为B，BM的延长 线与直线轨道垂直时的一个垂足O为原点， 直线轨道为X轴建立直角坐标系，
设圆滚动使点M绕圆心B转过角 后
点M的坐标为（x,y），则

所以点M的轨迹方程为
（ 是参数）
x
4.解：如图建立直角坐标系，设点M的坐标为（x,y）
此时 因为OB=4CB,
所以
由于



所以点M的参数方程为